淺議矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系

王甘赟 夏燕

摘要：本文研究了矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：矩陣；線性方程組；向量組

1 引言

矩陣、線性方程組和向量組是線性代數(shù)的主要研究對象，很多學(xué)生在初學(xué)線性代數(shù)這門課程的時(shí)候只是單純的掌握矩陣、線性方程組、向量組等內(nèi)容各自的基本知識，對他們之間相互關(guān)系不是很了解，這樣就容易造成知識點(diǎn)分散不成體系，不能靈活運(yùn)用這些知識，所以很有必要對矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系做一個(gè)歸納總結(jié)。

2 主要內(nèi)容

先來研究一下矩陣和線性方程組之間的關(guān)系，我們由消元法解線性方程組的過程可以看出：線性方程組 的解的情況由他的系數(shù)矩陣 和增廣矩陣 完全確定，具體關(guān)系反映在如下定理：

元線性方程組

（i）無解的充分必要條件是 ；

（ii）有惟一解的充分必要條件是 ；

（iii）有無限多解的充分必要條件是

具體在求解線性方程組的時(shí)候通常是先由系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩的關(guān)系判斷線性方程組解的情況，具體操作就是把增廣矩陣化成行階梯型矩陣然后分別看系數(shù)矩陣和增廣矩陣的非零行的行數(shù)，如果無解即系數(shù)矩陣非零行數(shù)小于增廣矩陣非零行數(shù)直接下結(jié)論不用繼續(xù)再往下做；如果是有唯一解或是無窮解即系數(shù)矩陣非零行和增廣矩陣非零行數(shù)相等且等于 或小于 ，則需要進(jìn)一步把增廣矩陣的行階梯型矩陣化成行最簡形然后求解。這樣就避免解線性方程組上來就盲目把增廣矩陣化階梯型和最簡形，提高了求解效率。進(jìn)一步可以推廣到矩陣方程 有解的充分必要條件是： 。

由于向量組包含有限向量組和無限向量組，先來看有限向量組和矩陣的關(guān)系：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組，由此可以看到矩陣的列向量組和行向量組都是只含有有限個(gè)向量的向量組；反之，一個(gè)含有限個(gè)向量的向量組總可以構(gòu)成一個(gè)矩陣。對于無限向量組，他自己的最大無關(guān)組則是有限向量組，而且有結(jié)論無限向量組和自身的最大無關(guān)組是等價(jià)的，這樣掌握了最大無關(guān)組就掌握了向量組的全體，特別的，當(dāng)向量組為無限向量組就能用有限向量組來代表，凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可以推廣到無限向量組的情形中去。矩陣和向量組都有秩的概念，他們之間的關(guān)系是：矩陣的秩等于列（行）向量組的秩。

最難掌握的就是向量組和線性方程組的關(guān)系，由于向量組中就有一個(gè)向量能由向量組線性表示；一個(gè)向量組能用另外一個(gè)向量組線性表示；兩個(gè)向量組等價(jià)以及向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等諸多概念，再結(jié)合上線性方程組和矩陣的秩和向量組的秩等內(nèi)容往往讓學(xué)生云里霧里理不出頭緒。要解決這個(gè)問題首先是要掌握有關(guān)向量組的基本概念，其次就要掌握線性方程組和向量組的關(guān)系。線性方程組和向量組的關(guān)系可以總結(jié)歸納如下：

線性方程組 有解當(dāng)且僅當(dāng)向量 能由向量組 線性表示；

矩陣方程 有解當(dāng)且僅當(dāng)向量組 能由向量組A線性表示；

向量組 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) 元齊次線性方程組 有非零解；

向量組 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) 元齊次線性方程組 只有零解；

3 總結(jié)

以上就是矩陣、線性方程組、向量組之間的關(guān)系的簡單總結(jié)，理清他們之間的關(guān)系再加上對各自內(nèi)容的掌握必能做到融會貫通、運(yùn)用自如。

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