一道考研題的六種解法

薛維順

【摘要】研究生入學(xué)考試中，基礎(chǔ)題目的考查占了很大比例。重基礎(chǔ)一直是研究生入學(xué)考試的主旨。本文通過對一道考研題目分別利用等價無窮小、洛必達法則、泰勒展開式、三角公式等方法求解，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、夯實基礎(chǔ)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】重要極限 等價無窮小 泰勒公式 洛必達法則 三角公式

【中圖分類號】O171 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）45-0153-01

等價無窮小是函數(shù)求極限的一種重要工具，洛必達法則有時也會起到重要作用，甚至有時會用到泰勒公式以及三角公式。而對于一題多解，不僅有利于夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，也會加深學(xué)生對所學(xué)知識的靈活應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。下面就對一道考研選擇題進行分析，給出6種不同的方法，供學(xué)生學(xué)習(xí)。

例（2017年數(shù)學(xué)二考研試題）：若函數(shù)f（x）=■，x>0b， x≤0在x=0連續(xù)，則（ ）

A.ab=■ B.ab=-■ C.ab=0 D.ab=2

分析：本題考查的是在一點出函數(shù)連續(xù)的定義。最終結(jié)果是要求函數(shù)在0點的右極限等于0點的函數(shù)值。而本質(zhì)是求函數(shù)在0點的右極限。

解法1利用等價無窮小的替代

在求極限的過程中，等價無窮小的替換是一個非常重要的步驟，本題的解題過程中用到了（1-cosx～■x2，x→0）

■■=■■=■=f（0），故ab=■

解法2利用洛必達法則

好多同學(xué)在求極限的過程中喜歡用洛必達法則，也有的不判定是否滿足洛必達法則的條件而直接用。本題正好是■型，且滿足洛必達法則的條件，故可以用洛必達法則

■■=■■

再利用重要極限■■=1和函數(shù)的連續(xù)可得ab=■

解法3利用泰勒展公式的開式

利用泰勒展公式的開式也是求極限的一種方法，本題可以直接利用cosx的麥克勞林展開式計算

■■=■■=■，由函數(shù)的連續(xù)得出ab=■

解法4利用三角函數(shù)的和差化積公式

利用三角函數(shù)的運算時解決三角函數(shù)極限的一種方法，本題中可以把1用cos0代替，利用三角函數(shù)的和差化積公式求解

■■=■■=■■

而后利用重要極限和函數(shù)的連續(xù)得到ab=■

解法5利用三角函數(shù)的倍角公式

對于三角函數(shù)的運算，應(yīng)該熟記倍角公式，本題就可以利用三角函數(shù)的倍角公式求解。

■■=■■

然后利用重要極限和函數(shù)的連續(xù)性求得ab=■

解法6利用三角函數(shù)的平方和公式

在三角函數(shù)的計算過程中，三角函數(shù)的平方和為1是經(jīng)常利用的結(jié)果，本題巧妙的利用平方差公式來構(gòu)造平方和公式的變形。

■■=■■=■■=■■

然后利用極限的四則運算和重要極限以及函數(shù)的連續(xù)性可得ab=■

通過上述解法可以看出，方法1最簡單。而在等價無窮小的替換過程中一定要注意是否滿足等價無窮小的替換，如果不滿足，就會產(chǎn)生錯誤的結(jié)果；對于方法2是未定式的求極限過程中用得最多的方法，在用之前一定要判定是否滿足洛必達法則的使用條件，當(dāng)然，用等價無窮小替換后在用洛必達法則往往會起到事半功倍的效果；方法3也是求函數(shù)極限需要掌握的一種方法，有些極限題目只能用泰勒展開式求解，在這里就不再舉例；對于三角函數(shù)類的題目求極限一定要注意利用三角公式。

通過上述解法我們注意到，在日常的教學(xué)中不僅要注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)，更要注重解題方法的培養(yǎng)，注重一題多解、多題一解不僅使學(xué)生掌握解題利器，更能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

參考文獻：

[1]李永樂等.數(shù)學(xué)歷年真題權(quán)威解析（數(shù)學(xué)二）[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2017：2.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145.endprint