應用正余弦定理破解三角形問題

■湖北省襄陽市田家炳中學 梁 銳

應用一：利用正(余)弦定理解三角形

解析：設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得:

在△ABD 中,因為AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。

點評:正、余弦定理的應用原則:

(1)解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到。

(2)三角形解的個數的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷。

應用二：利用正(余)弦定理判斷三角形形狀

例2 已知△ABC的內角A、B、C所對的 邊 分 別 為a、b、c,滿 足 tanA=

(2)若a+c=bcosC+3bsinC,試判斷△ABC的形狀。

解析：(1)由余弦定理知得b2+c2-a2=2bccosA。

(2)a+c=bcosC+3bsinC ,由正弦定理知sinA+sinC=sinBcosC+3sinBsinC。

而A=π-(B+C),故sinBcosC +cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinBsinC 。

點評:第一問結合余弦定理,得到角A的三角函數值從而求出A的大小;第二問先由正弦定理得到cosBsinC+sinC=sinBsinC ,再化簡得到角B,根據第一問求得的A,得到三角相等,可以知道三角形為等邊三角形。

應用三：利用正(余)弦定理解決與三角形面積有關的問題

例3 設△ABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且cosB=,b=2。

(1)若A=30°,求a;

(2)求△ABC面積的最大值。

例4 在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b(1-2cosA)=2acosB。

(1)證明:b=2c;

(2)若a=1,tanA=22,求△ABC的面積。

解析：(1)因為b(1-2cosA)=2acosB,所以由正弦定理得sinB(1-2cosA)=2sinAcosB,即sinB=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin(A+B)=2sinC,故b=2c。

(2)與面積有關的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化。

方法與規律小結

1.三角形中常見的結論：

(1)A+B+C=π。

(2)在△ABC中,A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B。

(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊。

(5)在△ABC中,A,B,C成等差數列的充要條件是B=60°。

(6)△ABC為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數列且a,b,c成等比數列。

2.判定三角形形狀的兩種常用途徑：

(1)通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷;

(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數恒等變換,求出邊與邊之間的關系進行判斷。