全國名校等差數列拔高卷(B卷)

■山東省棗莊市第二中學 王中華

編者的話：強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納,是學好數學的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設此欄目,希望同學們能認真練習。

一、選擇題

1.x+3與y-3的等差中項為20,則x+y等于( )。

A.60 B.40 C.20 D.不確定

2.等差數列{an}中,若a8-a3=40,則a2025-a2020=( )。

A.40 B.30 C.25 D.20

3.已知等差數列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10,則a2019=( )。

A.2 017 B.2 015

C.-2 017 D.-2 015

4已知{an}是等差數列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9的值是( )。

A.24 B.27 C.30 D.33

5.已知等差數列{an}中,其前n項和為Sn,若a3+a4+a5=42,則S7=( )。

A.98 B.49 C.14 D.147

6.設Sn為等差數列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )。

A.-12 B.-10 C.10 D.12

8.若等差數列{an}滿足a5=11,a12=-3,數列{an}的前n項和Sn的最大值為M,則lgM=( )。

A.1 B.2 C.10 D.100

9.《九章算術》之后,人們進一步用等差數列求和公式來解決更多的問題,《張丘建算經》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第二天開始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現在一月(按30天計),共織390尺布”,則從第二天起每天比前一天多織( )尺布。

10.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

11.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當Sn取最小值時,n等于( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

12.設{an}是公差為-2的等差數列,若a1+a4+a7+…+a97=50,則a3+a6+a9+…+a99等于( )。

A.82 B.-82 C.132 D.-132

13.已知數列{an}是首項為1,公差為d(d∈N*)的等差數列,若81是該數列中的其中一項,則公差d不可能是( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

14.《九章算術》是我國古代一部重要的數學著作,書中有如下問題:“今有良馬與駑馬發長安,至齊。齊去長安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬,問幾日相逢。”其意為:“現在有良馬和駑馬同時從長安出發到齊去。已知長安到齊的距離是3000里,良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里;駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里。良馬到齊后,返回去迎駑馬,多少天后兩馬相遇?”利用我們所學的知識,可知離開長安后的第( )天,兩馬相逢。

A.15 B.16 C.17 D.18

15.已知等差數列{an}的公差為正數,前n項和為Sn,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,則S20為( )。

A.180 B.-180 C.90 D.-90

16.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若S9=18,Sn=240,an-4=30,則n的值為( )。

A.14 B.15 C.16 D.17

17.在正整數100至500之間能被11整除的數的個數為( )。

A.34 B.35 C.36 D.37

18.等差數列{an}中,已知a1=-6,an=0,公差d∈N*,則n(n≥3)的最大值為( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

19.已知數列{an}滿足a1=15,且3an+1=3an-2,若ak·ak+1＜0,則正整數k=( )。

A.24 B.23 C.22 D.21

20.若數列{an}是等差數列,首項a1＞0,a2003+a2004＞0,a2003·a2004＜0,則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數n是( )。

A.4005 B.4006

C.4007 D.4008

21.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S5=13,S15=63,則S20=( )。

A.90 B.100 C.110 D.120

24.(2017屆湖南省長沙市一中高三月考)“珠算之父”程大位是我國明代的偉大數學家,他的應用數學巨著《算法統宗》的問世,標志著我國的算法由籌算到珠算轉變的完成。程大位在《算法統宗》中常以詩歌的形式呈現數學問題,其中有一道“竹筒容米”問題:“家有九節竹一莖,為因盛米不均平,下頭三節三升九,上梢四節貯三升,唯有中間兩節竹,要將米數次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明。”([注釋]三升九:3.9升。次第盛:盛米容積依次相差同一數量。)用你所學的數學知識求得中間兩節的容積為( )。

A.1.9升 B.2.1升

C.2.2升 D.2.3升

A.16 B.14 C.12 D.10

28.等差數列{an}有兩項am,ak(m≠k),滿足a=,a=,則該數列前mk項mk之和為( )。

29.等差數列{an}的公差d＜0,且=014,若數列{an}的前n項和Sn最大,Sm=0,則m-n的值( )。

32.把正整數按“S”型排成了如圖1所示的三角形數表,第n行有n個數,對于第n行按從左往右的順序依次標記第1列,第2列,…,第m列(比如三角形數表中12在第5行第4列,18在第6行第3列),則三角形數表中2015在( )。

圖1

A.第63行第2列

B.第62行第12列

C.第64行第30列

D.第64行第60列

33.若一個等差數列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數列的項數為( )。

A.13 B.12 C.11 D.10

34.在等差數列{an}中,對任意n∈N*,都有an＞an+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的兩根,且前15項的和S15=m,則數列{an}的公差是( )。

A.-2或-3 B.2或3

C.-2 D.-3

35.已知函數f(x)在(-1,+∞)上單調,且函數y=f(x-2)的圖像關于x=1對稱,若數列{an}是公差不為0的等差數列,且f(a100)=f(a101),則{an}的前200項的和為( )。

A.-200 B.-100

C.0 D.-50

圖2

37.如圖2所示,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*,P≠Q表示點P與點Q不重合。若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( )。

二、填空題

38.(2018年高考北京理數第9題)設{an}是等差數列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項公式為。

39.(2018年高考北京文數第15題改編)設{an}是等差數列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2,則數列{an}的通項公式為。

40.(2018年福建省“四地六校”聯考)在數列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1,記Sn是數列{an}的前n項和,則S200=。

41.(2017年高考課標Ⅱ卷理數第15題)等差數列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=。

42.已知數列{an},{bn}都是公差為1的等差數列,其首項分別為a1,b1,且a1+b1=5,a1＞b1,a1、b1∈N*,n∈N*,則數列{abn}的前10項的和等于。

43.在數列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則是這個數列的第 項。

44.一個卷筒紙,其內圓直徑為3cm,外圓直徑為15cm,一共卷了72層,若把各層都視為同心圓,π的值取3.14,則這個卷筒紙的長度大約為m(精確到個位)。

45.我國古代數學名著《張丘建算經》有“分錢問題”,如下:“今有人與錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉多一錢,與訖,還數聚與均分之,人得一百錢,問人幾何。”則分錢問題中的人數為。

46.中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2015,則該數列的首項為。

47.在等差數列｛an｝中,a1＞0,a10·a11＜0,若此數列的前10項和S10=36,前18項的和S18=12,則數列｛ an｝的前18項和T18的值是。

49.(湖北省黃岡市2017屆高三上學期期末考試數學(文)試題第16題)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”。1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲。1874年,英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”。“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題,現有這樣一個整除問題:將2至2017這2016個數中能被3除余1且被5除余1的數按由小到大的順序排成一列,構成數列{an},則此數列的項數為。

50.已知數列{an}的前n項和Sn滿足an+3Sn·Sn-1=0,n≥2,n∈N*,且a1=,則nan的最小值為。

52.正偶數按下列方法分組:{2},{4,6,8},{10,12,14,16,18},{20,22,24,26,28,30,32},…,記第n組中各數之和為An,則An=。

53.已知數列{an},{bn}滿足a1=1,a2=2,b1=-1,且對任意的正整數m,n,p,q,當m+n=p+q時,都有am-bn=ap-bq,則的值是。

56.已知數列{an}是以t為首項,2為公差的等差數列,數列{bn}滿足2bn=(n+1)·an。若對n∈N*都有bn≥b4成立,則實數t的取值范圍是。

三、解答題

57.在等差數列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn有最大值,并求出它的最大值。

58.(2018年全國Ⅱ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15。

(1)求{an}的通項公式;

(2)求Sn的表達式,并求Sn的最小值。

59.已知等差數列{an}中,a1=12,d=-2。

(1)分別求Sn單調遞增、單調遞減時n的取值范圍;

(2){Sn}中有多少項大于0?

60.已知數列{an}的前n項和為Sn=32n-n2,求數列{|an|}的前n項和Pn。

61.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動,甲第一分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m。

(1)甲、乙開始運動后,幾分鐘相遇?

(2)如果甲、乙到達對方起點后立即折返,甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續每分鐘走5m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇?

62.數列{an}的前n項和為Sn,且對一切正整數n都有Sn=n2+an。

(1)求證:an+1+an=4n+2;

(2)求數列｛an｝的通項公式。

63.已知數列{an}中,a2=p(p是不等于0的常數),Sn為數列{an}的前n項和,若對任意正整數n都有

(1)證明:數列{an}為等差數列;

64.一位學生參加市場營銷調查活動,從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料。資料顯示:從11月2日開始,每天的銷售量比前一天多t臺(t為常數),其間某天由于商家提高了家電M的價格,從當天起,每天的銷售量比前一天少2臺。11月份前2天共售出8臺,11月5日的銷售量為18臺。

(1)若商家在11月1日至15日之間未提價,試求這15天家電M的總銷售量;

(2)若11月1日至15日的總銷售量為414臺,試求11月份的哪一天,該商場售出家電M的臺數最多,并求這一天售出的臺數。

65.設Sn為數列{an}的前n項和,且Sn=2an-2n+1,n=1,2,3,…。

(1)求{an}的通項公式;

66.已知無窮等差數列{an}的前n項和為Sn。

(2)設數列{cn}滿足cn=2an-5,對于任意給定的正整數p,是否存在正整數q,r(p＜q＜r),使得成等差數列?若存在,試用p表示q,r;若不存在,請說明理由。

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式。

(2)將數列{an},{bn}的項按照“當n為奇數時,an放在前面;當n為偶數時,bn放在前面”的要求進行排列,得到一個新的數列:a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,…,求這個新數列的前n項和Pn。