圓周運動中的“最高點”與“最低點”問題

何兆訓

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）27-0171-01

除重力不計的帶電粒子在勻強磁場中的運動，豎直平面內的圓周運動一般都是變速圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發生變化，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點和最低點。變速圓周運動的問題一直是較為難以理解，特別是物體處于重力場和電場等復合場中在豎直平面內做圓周運動的問題更是高中物理的重點和難點內容，在物理教學中很受老師關注，在各類考試中也倍受命題老師的青睞，學生答題的出錯率非常高。分析學生出錯的原因不難發現，不能準確分析圓周的“最高點”和“最低點”以及物體在“最高點”和“最低點”處具有怎樣的特點與規律，是學生答題的最大障礙和瓶頸。那么有沒有一種較為容易理解的方法來解決這個困擾學生的難題呢？

高中物理教學和學習中所牽涉到復合場主要是重力場，電場和磁場的復合。而又以重力場和勻強電場的復合，重力場和勻強磁場的復合，重力場，勻強電場和勻強磁場的復合等為主要表現。不管是哪種復合，找出圓周運動的“最高點”和“最低點”的解決問題的關鍵。這里提到的“最高點”和“最低點”并不是空間位置中的最高點和最低點，在只有重力場的情況下我們知道豎直平面內的圓周運動的最高點就是最高的那一點，最低點也就是最低那一點。因為在重力場的情況下速度最小的位置在最高的那一點，這一點向心力最小，速度最大的位置在最低的那一點，這一點向心力最大。所以我們通常用“最高點”和“最低點”來代表速度最小和速度最大的兩個位置。那在復合場中我們又如何找出圓周運動速度最小的“最高點”和速度最大的“最低點”呢？這里我們可以從功能關系來得出答案。物體從“最高點”向“最低點”運動速度不斷增大，合外力與速度夾角小于900做正功，物體“最低點” 向“最高點”運動運動速度不斷減小，合外力與速度夾角大于900做負功。所以“最高點”和“最低點”應該是合外力與速度垂直的兩個位置，也就是速度最小和速度最大的兩個位置。其中重力與電場力的合力方向指向圓心的位置為“最高點”，那重力與電場力的合力方向背向圓心的位置也就是“最低點”。

例1：如圖1所示，在豎直平面內有一方向水平向右的場強為E=mg/q的勻強電場，一質量m，帶電量為+q的小球，用長L細繩拴住懸于電場中O點，當小球處于平衡時，問在平衡位置以多大的速度釋放小球，則能使之在電場中做豎直平面內的圓周運動？

分析：首先找出這個圓周運動的“最高點”和“最低點”，受力分析如圖，通過計算可知重力與電場力的合力為2mg，方向與豎直方向成θ=450角斜向右下方。所以如圖中的B點即為“最高點”，A點為“最低點”。而題目中出現的小球平衡時的位置就是指A點。 設小球在A點以速度V0釋放時剛好可以到達最高點B，則它在B點細繩剛好沒有拉力，有2mg=mV2B/L ①，從B到A運用動能定理有2mg×2L=mV20/2-mV2B/2 ②，由①②可得V0=（5gL）1/2

例2：如圖2所示，垂直紙面向里的場強為B的勻強磁場中，一質量m，帶電量為-q的小球，用長L細繩拴住繞電場中O點在豎直平面內做圓周運動，在最高點的速度為V1，問：V1為多少時小球可以做圓周運動？

分析：通過分析可知，圓周上的最高點就是小球在整個圓周運動中的速度最小的位置。由無支撐物的物體在豎直平面內做圓周運動的規律，在此位置速度最小的時候應該是細繩拉力剛好為0的時候。由mg+qVB= mV20/L，即可解得V0。當V1大于等于V0就可以保證小球在豎直平面內做圓周運動。這里值得注意的是，最高點的最小速度V0并不是等于（gL）1/2。

例3：如圖3所示，在豎直平面內有一方向水平向右的場強為E=mg/q的勻強電場和垂直紙面向里的場強為B的勻強磁場中，一質量m，帶電量為-q的小球，用長L細繩拴住繞電場中O點在豎直平面內做逆時針圓周運動，問小求在圓周運動過程中的什么位置速度最小，最小速度為多少？

分析：找出這個復合場中圓周運動的“最高點”和“最低點”，受力分析可知，重力與電場力的合力為2mg，方向與豎直方向成45°角斜向左下方。位置如圖中的M點，在該處速度與和外力垂直，也是速度最大的位置即 “最低點” 。M點關于圓心對稱的N點也就是速度最小的位置既“最高點”。由無支撐物的物體在豎直平面內做圓周運動的規律可知，在N點細繩拉力剛好為0時速度最小，設最小速度為V1，則由2mg-qV1B= mV21/L，便可解得V1的值。

變速圓周運動是高中物理力學中比較重要的一個知識，它同時又是圓周運動中最為復雜的一運動，因為它是速度和加速度都在時刻變化的一種變加速曲線運動。但不管多么難以理解的知識，都有克服和掌握它的方法。對于高中階段出現的幾乎所以的變速圓周運動問題，解決它們的基本思路和方法一般都有本質的聯系，動能定理的靈活運用是理解變速圓周運動的基礎，“最高點”和“最低點”的確定是突破變速圓周運動難點的關鍵，圓周運動規律的深刻把握是解決變速圓周運動的依據。