基于正態分布的爆破振動評價與安全藥量計算*

張小軍,汪旭光,王尹軍,于亞倫,吳春平,楊德強

(1.北京科技大學土木與資源工程學院,北京 100083; 2.北京礦冶研究總院,北京 100160)

20世紀以來，工程爆破已深入到國民經濟建設的各個領域，工程爆破是完成人力和機械力所不能勝任的一種非同尋常的施工方法。但是爆破引起的振動是最突出的爆破公害之一，所以進行爆破振動的安全評價是實現對它的準確預報、有效控制和安全實施爆破的迫切需要。爆破引起的質點振動速度峰值，常用薩道夫斯基公式進行計算，但是爆破引起的巖土質點振速實際峰值v往往隨機性比較大，它與Q1/3/R的關系并不是一般意義上的“函數關系”，v與Q1/3/R的關系是“隨機變量”的“相關關系”。其原因是，巖土是經過漫長地質年代形成的地質體，其內部包含大量的裂隙，這些裂隙相當復雜，造成巖石內部的不連續和不均質性，從爆破測振用回歸分析計算K、α，也說明了這一點。

饒運章等[1]利用SPSS(statistical product and service solutions)軟件進行了爆破振速衰減規律計算；胡建華等[2]利用多元線性回歸方法，分析了單孔爆破條件下的振動衰減規律；盧文波等[3]基于柱面波理論、長柱狀裝藥中的子波理論以及短柱藥包的應力波場Heelan解的分析，推導了巖石爆破中質點峰值振動速度的衰減公式，對現有的公式進行了改進；言志信等[4]探討了爆破振動峰值速度預報的公式法和Fourmap法，特別地還嘗試了利用人工神經網絡預報了爆破振動峰值速度；高振儒等[5]對測試數據用不同的置信度進行擬合，確定系數K、α，用安全系數對回歸式預報爆破振動強度的安全性進行評估；呂濤等[6]通過線性回歸法和非線性回歸法，得到薩道夫斯基公式和其修正公式，研究爆破振動衰減規律。上述研究基本解決了各類爆破振動衰減公式的求解問題，即對薩道夫斯基公式中K、α的確定，但對質點振速實際峰值v與Q1/3/R的關系是“隨機變量”的“相關關系”的特性并沒有研究。

本文中，基于概率論中的正態分布對“隨機變量”爆破振速峰值v和Q1/3/R的“相關關系”特性進行分析，利用隨機變量v的分布函數提出爆破振動安全評價的方法，給出安全炸藥量的計算方法，并通過案例進行驗證[7-8]。

1 隨機變量v的分布函數

由于薩道夫斯基公式所表達的是v與Q1/ 3/R的函數關系，即對于給定的Q1/3/R，通過該公式計算的v0只是質點振速實際峰值v的期望值或估計值，實際值va落在v0的附近，具體在v0的多遠處與概率有關，可以看作近似服從正態分布。通過分析可以看出，只計算出K、α，求出的v，可靠度是不高的，要獲得更高的可靠度，必須得出隨機變量v的分布函數，當然求解過程仍然離不開薩道夫斯基公式。

1.1 線性回歸法確定K、α

為了確定薩道夫斯基公式中的K、α，需要根據最小二乘法原理[9]，對實測數據使用線性回歸法進行擬合。薩道夫斯基公式為：

(1)

式中:v為質點的最大振速(cm/s)；Q為單段最大炸藥量(kg)；R為測點至爆源的距離(m)；K、α為與爆破點地形、地質等條件相關的系數和衰減指數；ρ為比例藥量。

從式(1)可以看出，v與Q1/3/R不是線性關系，為了便于回歸分析，需處理成線性關系。對式(1)的兩邊取對數，得到：

(2)

設：

(3)

則式(2)變成：

y=a0+a1x

(4)

式(4)是線性關系，根據最小二乘法原理以及實測數據，求常數a0和a1。那么其方程組為：

(5)

式中：m為現場爆破實驗次數，wi=1。通過方程組得到a0、a1，再根據式(3)的變量代換關系，可得：

K=ea0,α=a1

(6)

1.2 正態分布函數

隨機變量ξ與任一實數x的關系式“ξ≤x”表示一個事件，即為{w|ξ(w)≤x}。其概率P(ξ≤x)與實數x有關，應為實數變量x的函數，稱為隨機變量的分布函數[10]，記作Fξ(x)：

Fξ(x)=P(ξ≤x)

(7)

根據v與Q1/ 3/R關系分析可以看出，對于任意給定的Q1/3/R，實際值va會落在薩道夫斯基公式計算的v0附近，偏離v0越遠，可能性越小，越靠近v0，可能性越大。根據這個性質，可以近似視隨機變量v服從正態分布N(μ，δ2)，μ指按最小二乘法曲線擬合公式的計算值，δ2指實際爆破振速峰值偏離擬合公式計算值的程度：

(8)

(9)

式中：vmea為實際爆破振速峰值測量值；vcal為通過最小二乘法擬合的薩道夫斯基公式計算的爆破振速峰值；m為現場爆破實驗次數。所以隨機變量v服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態分布，記作v～(μ,σ2)；相應的分布函數是：

(10)

2 爆破振動評價和安全炸藥量計算

根據隨機變量v的分布函數，可以計算振速小于目標設施安全振速的概率，也就是對目標設施在爆破過程中得到保護的情況進行評價，同時根據分布函數，可以推導目標設施滿足一定可靠性條件的安全炸藥量計算的概率公式。

2.1 振動評價

在概率論與數理統計中，稱N(0,1)為標準正態分布，其分布函數常記為：

(11)

由于正態分布在概率理論與應用中特殊的重要地位，一般的概率統計著作往往都附有Φ(x)的函數表。而有關任何正態分布N(μ，σ2)的概率計算問題，常常需要借助這些數表來解決。事實上，根據式(11)，設ζ～N(μ，σ2)，在計算P(ξ

(12)

所以為了便于描述，常將正態變量作數據轉換。將一般正態分布轉化成標準正態分布。若

服從標準正態分布，通過查標準正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率。設保護目標設施的安全振速為vsaf，單段最大炸藥量為Q0，爆心距R0，根據式(12)得：

(13)

(14)

令：

(15)

通過查表得：

Φ(m0)=P0

(16)

所以在對爆破設計的振動安全評價過程中，認為單段最大炸藥量為Q0、爆心距R0處的目標設施得到保護的概率為P0。

2.2 安全炸藥量計算

爆破測振確定振動公式常數的目的是為了用它來控制振速，使它小于目標設施的安全振速vsaf。在已知爆心距R時，只有通過控制炸藥量Q來控制振速。使質點振速峰值v小于或等于安全振速vsaf的炸藥量稱為安全炸藥量。設使目標設施得到保護的概率達到P1，通過查表得到Φ(m1)=P1；根據式(13)，得到：

(17)

即：

(18)

根據式(14)，得到：

(19)

所以：

(20)

將式(15)代入,得到：

(21)

通過式(21)，可以求出指定設施安全概率條件下的單段最大炸藥量，即使目標設施得到保護的概率[11]達到P1的安全炸藥量為Q。該式稱為計算爆破安全炸藥量的概率公式。

3 應用案例

3.1 工程概況

西部礦業股份公司錫鐵山鉛鋅礦位于青海省柴達木盆地北緣。在鉛鋅礦井下2 702 m水平1025采場爆破過程中，距爆破點50 m處是運輸大巷，里邊有一些重要的設備設施。

圖1 數據擬合曲線Fig.1 Data fitting curve

為了防止由于爆破振動而使巷道損壞，從而造成巷道內設備設施的破壞，需要對此次爆破設計進行振動評價和單段最大炸藥量計算。

3.2 振速峰值的分布函數

根據錫鐵山鉛鋅礦之前相同水平其他采場的爆破振動監測數據來進行對1025采場爆破設計，其數據見表1。表中，Q為最大一段藥量，R為爆心距，v為水平徑向爆破振動速度峰值。

根據表1，采用線性回歸法[9]擬合薩道夫斯基公式，得到數據擬合曲線圖(見圖1)：

v=210.2(Q1/3/R)1.59

(22)

根據式(14)～(15)，對表1數據進行處理，得到數據處理結果,見表2。其中，方差為0.122 cm2/s2。

表1 錫鐵山鉛鋅礦爆破振動監測數據Table 1 Blasting vibration experiment data

表2 數據處理結果Table 2 Data processing results

所以隨機變量v服從正態分布[10]，記作v～(vcal,0.122)；相應的分布函數是：

(23)

3.3 振動評價和安全藥量

根據GB 6722-2014《爆破安全規程》，礦山巷道的安全允許振速15～30 cm/s。為了安全起見，在這里選取其下限作為安全判據，即vsaf=15 cm/s。根據保護目標的重要性，設此次爆破中巷道得到保護的概率應大于95%。通過查表得到：

Φ(1.65)=0.950 5

(24)

根據式(21)，取m1=1.65，σ=0.349，R0=50 m，vsaf=15 cm/s，求解得出：

Q=797.89 kg

(25)

那么在爆破設計的過程中，單段最大藥量控制在797.89 kg以內，巷道得到保護的概率在95%以上。如果按照薩道夫斯基公式即式(22)計算，求解得出：

Q=858.73 kg

(26)

即單段最大炸藥量控制在858.73 kg以內。此時巷道在爆破過程中得到保護的概率根據式(13)、式(15)～(16)計算：

P(v

(27)

通過查表得：

Φ(0)= 0.50

(28)

即在爆破過程中，巷道得到保護的概率只有50%。

在薩道夫斯基公式和正態分布函數公式計算下，單段最大藥量和爆破后設施得到保護概率見表3。

可以看出，用薩道夫斯基公式計算出的單段最大炸藥量比概率公式多60 kg左右，但是根據概率公式計算出的單段最大炸藥量，其可靠性在95%以上，比應用薩道夫斯基公式計算值的可靠性(僅為50%)要高的多。因此，根據之前爆破震動監測數據及分析結果，建議采用式(21)的概率公式來計算安全藥量，以保證施爆期間1025采場運輸大巷的安全。

表3 單段最大藥量和設施安全概率Table 3 Single biggest dosage and facilities security probability

4 結 論

通過對正態分布函數分析、爆破振動評價與安全藥量計算，現得出如下結論：

(1)巖土內部含有大量復雜的裂隙，巖石內部是不連續和不均質性的，爆破引起的質點振動的實際振速峰值v是隨機變量，v=K(Q1/3/R)α是實際測點質點振動速度峰值的期望值或估計值。

(2)對任一確定的Q1/3/R，爆破實際振速峰值v小于目標設施安全振速的概率可以計算出，即對保護對象的振動安全性可以作出評價。

(3)為了保證使目標設施得到保護，有較高的可靠性，安全炸藥量的計算要應用概率公式。

(4)該計算方法用于爆破的振動安全評價和安全藥量計算是可行的、合理的，為爆破振動安全評價和安全藥量計算提供了新的方法。