鋼筋混凝土靶侵徹的可壓縮彈-塑性 動態空腔膨脹阻力模型*

鄧勇軍，宋文杰，陳小偉，姚 勇

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999； 2.西南科技大學土木工程與建筑學院， 四川 綿陽 621000； 3.西南科技大學工程材料與結構沖擊振動四川省重點實驗室，四川 綿陽 621000； 4.北京大學工學院力學與工程科學系，北京 100871； 5.北京理工大學前沿交叉科學研究院，北京 100871)

鋼筋混凝土廣泛應用于民用建筑以及軍事設施，譬如地下指揮工事、武器彈藥庫、油料庫和機庫等，是主要的抗沖擊防護結構。當這些重要建筑物作為攻擊目標時，如何有效摧毀目標和有效發揮其防護功能成為主要關注問題。彈體侵徹素混凝土靶，在經驗模型、實驗研究、理論建模和數值分析方面已形成了一套相對完善的設計方法[1-4]。但實際的防護工程通常為鋼筋混凝土結構，相對于素混凝土，侵徹過程中彈體所受到的阻力應該是由混凝土和鋼筋共同決定，且鋼筋強度、直徑、配筋間距等因素也會嚴重影響彈體侵徹的最終結果。

素混凝土方面，比較成熟的侵徹理論為基于球形和柱形動態空腔膨脹的剛性彈動力學模型。Forrestal等[5-7]在這方面進行了大量工作，并將其成功應用于混凝土、巖石和土壤介質的侵徹分析中。球形動態空腔膨脹理論中假定：在無限大介質中，一個空腔從半徑為零開始以速度V向外膨脹，其周圍介質逐漸被壓縮并向外擴展，產生不同的響應區。對于混凝土類脆性材料來說，當膨脹速度V較低時(通常約為1 000 m/s左右)，大致可以分為5個響應區，如圖1所示：

(1) 空腔區(cavity region)，大小一般為彈體直徑；

(2) 粉碎區(crushed region)，混凝土各個方向(徑向、環向)均發生破壞，環向拉伸斷裂，徑向壓縮潰裂，形成完全破壞；

(3) 破裂區(cracked region)，混凝土環向應力達到其抗拉強度值，發生環向拉伸斷裂破壞，而徑向一般未達到使混凝土發生破壞的應力值，不形成徑向潰裂。最終僅表現為環向單向拉伸裂紋；

(4) 彈性區(elastic region)，混凝土處于彈性階段；

(5) 未擾動區(undisturbed rigion)，彈性波未達到區域，即不受力區域。

圖1 低速時混凝土空腔膨脹響應分區Fig.1 Regions of concrete cavity at low expanding speed

圖2 彈性-粉碎區模型Fig.2 Model of elastic-crushed region

不同分區的邊界由界面傳播速度所確定。粉碎區邊界由r=Vt及r=ct確定，破裂區邊界由r=ct及r=c1t確定，彈性區邊界由r=c1t與r=cdt確定。其中，r為徑向歐拉坐標，t為時間，V為空腔膨脹速度，c和c1分別為粉碎區-破裂區、破裂區-彈性區的界面速度，cd為彈性波速度。當空腔膨脹速度較大時，界面速度c將超過c1，破裂區消失，形成粉碎區-彈性區模型，如圖2所示，此時c表示粉碎區-彈性區界面傳播速度。

Forrestal等[7]結合不同的情況，給出了素混凝土不可壓縮彈-塑性模型、可壓縮彈-塑性模型、不可壓縮彈性-破裂-粉碎區模型及可壓縮彈性-破裂-粉碎區模型。以 Forrestal等[7]的研究為基礎，Chen等[3]和Li等[8]總結給出了控制剛性彈侵徹力學的2個無量綱特征參數，即撞擊函數和彈體幾何函數，并據此進一步給出了混凝土靶侵徹/穿甲的初始彈坑、隧道區及剪切沖塞三階模型。

鋼筋的加入使得非均勻的混凝土材料更為復雜，目前人們對鋼筋混凝土的侵徹機理認識并不完善，即便是在剛性彈正侵徹這種特殊的侵徹條件下，在侵徹阻力計算模型中如何考慮鋼筋作用的阻力項，也沒有較為合理的計算方法。已有鋼筋混凝土靶侵徹實驗表明[9]：鋼筋混凝土中的彈體侵徹阻力相對于素混凝土顯著增加。目前對鋼筋混凝土介質侵徹問題的研究中，通常忽略鋼筋或簡單地等效簡化鋼筋作用[10-12]，或將其等效為強度增強的均勻混凝土介質[13-15]，以及混凝土和薄鋼板的疊壓夾層結構等，這些都較少涉及具體配筋對侵徹過程的影響。值得指出的是，Chen等[16]在先前提出的混凝土靶穿甲三階段模型基礎[3]上，將配筋率和鋼筋單軸拉伸強度作為侵徹過程中的主要影響因素，引入鋼筋無量綱參數Θ建立了侵徹模型。

綜上所述，可以看到，盡管學者對鋼筋混凝土侵徹問題進行了不同程度的理論建模，但基本上都是將鋼筋混凝土進行等效增強處理，即使部分學者考慮配筋率及鋼筋直接作用的影響，但由于模型局限，仍然尚未提出令人信服的有效、可靠的理論研究方法。對于鋼筋混凝土，鋼筋將對混凝土破裂區及粉碎區產生約束并影響各區域分布，由此顯著影響侵徹阻力的積分效應，從而影響侵徹過程中彈體的侵徹阻力。如何考慮鋼筋對混凝土破裂區及粉碎區的約束及對應的空腔膨脹理論完善，目前尚沒有相關分析工作。

本文中，以Forrestal等[7]提出的混凝土可壓縮彈-塑性模型，即彈性-粉碎區理論模型為基礎(如圖1～2所示)，考慮粉碎區鋼筋對混凝土的環向約束作用，建立鋼筋混凝土空腔膨脹的理論模型，以期為提高精確打擊及防護工程設計提供參考。

1 鋼筋的簡化及引入

1.1 基本假設

防護工程中，鋼筋通常分層布置在混凝土不同位置。本文中，假設鋼筋混凝土靶為圖3所示的配筋結構，在彈體沿z軸正侵徹情況下，建立剛性彈體侵徹鋼筋混凝土的理論模型，作以下假設：

(1) 對于彈性-粉碎區模型，假設彈性區鋼筋對混凝土的約束作用可以忽略，僅考慮粉碎區以內的鋼筋對混凝土的約束作用，且粉碎區以內鋼筋全部受拉屈服；

(2) 僅考慮鋼筋的環向約束作用，不考慮徑向作用；

(3) 暫不考慮彈體直接撞擊鋼筋的阻力作用。

1.2 鋼筋的約束作用

根據1.1節假設，設鋼筋混凝土部分的尺寸為：B×L×H(如圖3所示)，共m層鋼筋分層水平布置在靶體中，層間距為H1，各層鋼筋呈網格形式布置，網格尺寸為a×a(如圖4所示)，鋼筋直徑為d。

圖3 鋼筋混凝土靶示意圖Fig.3 Schematic of reinforced concrete target

圖4 靶體鋼筋布置Fig.4 Steel distribution in target

鋼筋混凝土結構通常采用體積(或截面)配筋率描述鋼筋配置情況，其中體積配筋率即單位體積中鋼筋含量。根據假設，可知體積配筋率表達式為：

(1)

由于鋼筋網格沿x、y軸方向均為等間距(a×a)布置，則體積配筋率與x、y軸方向的截面配筋率有以下關系：

γx=γy=γV/2

(2)

在鋼筋混凝土中選取微元體dB×dL×dH(圖6)，建立鋼筋與混凝土在微元體上力平衡關系，得到粉碎區鋼筋帶來的混凝土等效環向應力(以x方向為例)：

(3)

圖5 膨脹過程中鋼筋變形示意圖Fig.5 Steel deformation while cavity expanding

圖6 鋼筋混凝土微元Fig.6 Infinitesimal of reinforced concrete

由式(2)和(3)可得：

(4)

2 鋼筋混凝土彈性-粉碎區理論

Forrest等[7]在球形空腔膨脹理論基礎上，給出了完整的素混凝土侵徹理論模型，其中彈性-粉碎區模型如圖2所示。

考慮混凝土材料可壓縮性時，彈性區由楊氏模量E和泊松比ν確定，其粉碎區采用線性壓力-體應變關系和Mohr-Coulomb屈服準則描述：

式中：p為靜水壓力，ρ0、ρ分別為變形前后的材料密度；η為體積應變；K為體積模量，且有E=3K(1-2ν)；σr、σθ(或σφ)分別為素混凝土的徑向、環向柯西應力(壓為正)；λ和τ分別為壓力硬化系數和內聚力；Y為單軸抗壓強度。

考慮鋼筋約束作用下，在歐拉坐標系下建立鋼筋混凝土粉碎區的質量及動量守恒方程：

此時：

(10)

式中：v為粒子速度(徑向為正)，σθ,sc為鋼筋混凝土的環向應力，σθ為素混凝土環向應力。

對于鋼筋混凝土，ρ0表示鋼筋混凝土變形前的密度，其表達式為：

ρ0=ρsγV+ρc(1-γV)

(11)

式中：ρs和ρc分別為變形前鋼筋和混凝土密度。

引入無量綱變量及相似變換：

(15)

ξ=r/(ct)

(16)

空腔表面邊界條件為：

U(ξ=ε)=ε

(17)

將控制方程化成適合“龍格-庫塔”方法[17]數值求解的標準形式：

當配筋率時，式(18)和(19)回歸到可壓縮素混凝土控制方程。與素混凝土理論類似，在彈性-粉碎區界面處滿足Hugoniot跳躍條件[18]：

式中：下標1和2分別代表彈性區及粉碎區;ρ為鋼筋混凝土密度，v為粒子速度。根據(20)，(21)可知界面處(ξ=1)徑向應力和粒子速度連續：

U2=U1,S2=S1,ρ2=ρ1

(22)

彈性區中，不考慮鋼筋對阻力的影響，故其解仍與文獻[19]一致，即彈性區中，密度為鋼筋混凝土未變形時的密度 ，楊氏模量仍為素混凝土的楊氏模量。

式中：cd為一維應變下的塑性體波波速，當ν=1/3時，cp=0.82cd。

可壓縮鋼筋混凝土模型求解的思路為：對于某一侵徹初速度，首先假設一個β的初值，求解出U2和S2，然后通過控制方程逐步向空腔壁面積分，得到無量綱的徑向應力及質點速度(對于彈性-粉碎區模型，其積分區間從彈塑性界面ξ=1到空腔壁面ξ=ε)，并判斷質點速度是否滿足邊界條件U(ξ=ε)=ε。若不滿足，更新β初始值，重復前面計算過程直到邊界條件滿足時，得到真實的β=c/cp值所對應的無量綱徑向應力S與V的關系。

3 算例驗證

Forrestal等[7]給出了素混凝土可壓縮情況下，侵徹速度與空腔表面無量綱徑向應力，彈性-粉碎區界面速度的關系。本文中采用Forrestal等[7]提供的數據進行理論模型的有效性驗證。算例中彈體直徑為76.2 mm，彈頭弧形半徑114.3 mm，彈體質量為5.9 kg。混凝土采用Forrestal等[7]給出的參數：體積模量K=6.7 GPa，抗壓強度Y=130 MPa，楊氏模量E=11.3 GPa，泊松比ν=0.22，抗拉強度f=13 MPa，密度ρc=2 260 kg/m3，壓力硬化系數λ=0.67，內聚力τ=100.97 MPa。鋼筋參數：直徑為6 mm，抗拉強度fs=400 MPa，楊氏模量Es=200 GPa，密度ρs=7 800 kg/m3。

通過式(18)和(19)，求出當配筋率為0時，鋼筋混凝土理論模型的空腔表面無量綱徑向應力和彈性-粉碎區界面速度值，與Forrestal等[7]素混凝土結果對比見圖7和圖8。從圖7、8可知，當配筋率為0時，鋼筋混凝土侵徹理論模型與Forrestal素混凝土模型[7]計算結果吻合，這表明本文的鋼筋混凝土侵徹理論模型對Forrestal素混凝土模型[7]是包容的。

圖7 配筋率為零時鋼筋混凝土 空腔表面徑向應力-侵徹速度關系Fig.7 Relationship between radial stress at cavity surface and penetration speed at zero reinforcement ratio

圖8 配筋率為零時鋼筋混凝土 塑性-彈性界面速度-侵徹速度關系Fig.8 Speed of plastic-elastic interface vs. penetration speed at zero reinforcement ratio

為分析鋼筋約束作用對空腔壁面無量綱徑向應力的影響，在鋼筋混凝土內通過改變鋼筋網格的層間距以獲得不同的配筋率。此處結合工程實際，分別考慮了體積配筋率為0(素混凝土)、0.6%、3%、6%的結果，分別對應于Sliter[12]和Chen等[16]文中截面配筋率分類：低配筋率(低于0.3%)、中配筋率(0.3%～1.5%)以及高配筋率(1.5%～3%)。

由圖1可知，在彈性-粉碎區模型中，c在一定程度上反映了空腔膨脹過程中粉碎區的幾何尺寸變化。

圖9給出了不同配筋率下粉碎區-彈性區界面速度-侵徹速度關系，從圖9中可以看出：對于可壓縮情況，可以發現，隨著配筋率的增大，界面速度c幅值呈減小的趨勢，表明混凝土受鋼筋的環向約束作用的影響，彈性-粉碎區界面速度降低，即粉碎區的尺寸相對減小，說明鋼筋對混凝土粉碎區產生約束并影響了各區域分布。

圖10給出了不同配筋率條件下無量綱徑向應力與侵徹速度的關系。結果表明：初始侵徹速度一定時，隨著配筋率的增加，徑向應力顯著增大。如初始侵徹速度為600 m/s、體積配筋率為3%時，徑向應力增大比例為4.91%；當體積配筋率達到6%時，徑向應力增大比例增加至9.67%。同一配筋率下，初始侵徹速度增加，徑向應力增大幅度加大。如體積配筋率為6%、初始侵徹速度為200m/s時，徑向應力增大比例為8.07%；初始侵徹速度為800 m/s時，徑向應力增大比例達到9.91%，說明在侵徹速度較高時，鋼筋約束效應對侵徹阻力影響較為顯著。從圖10中還可看出，體積配筋率為3%(截面配筋率為1.5%)及以下時，鋼筋的作用較小，與Sliter[12]給出的結論一致。

圖9 不同配筋率下粉碎區-彈性區界面速度-侵徹速度關系Fig.9 Speed of plastic-elastic interface vs. penetration speed at different reinforcement ratios

圖10 不同配筋率下徑向應力-侵徹速度關系Fig.10 Relationship between radial stress and penetration speed at different reinforcement ratios

圖11 可壓縮系數A、B、C與體積配筋率變化關系Fig.11 Relationship between coefficients of A, B, C and reinforced ratios

為便于在工程中應用，對于素混凝土彈-塑性模型，Forrestal等[7]根據理論解，對空腔壁面的徑向應力表達式采用如下公式進行簡化：

(26)

式中：A0=4.50，B0=0.75，C0=1.29。對于鋼筋混凝土靶，由圖10結果可知，仍然可以采用Forrestal[7]的方法，將空腔壁面的徑向應力表達式進行如下簡化：

(27)

與Forrestal等[7]不同的是，式(27)中A、B、C為體積配筋率γV的函數。根據不同配筋率下多種工況的計算，得到不同配筋率情況下的多組待定系數(A、B、C)，然后通過分析，找到待定系數與配筋率的簡易關系。對計算的數據進行擬合，發現A、B、C與體積配筋率γV呈線性關系，如圖11所示。

根據擬合，得到：

A(γV)=A0+A1γV,B(γV)=B0+B1γV

C(γV)=C0+C1γV

(28)

本次算例中A1=1.79,B1=4.26,C1=0.95。則鋼筋混凝土徑向應力可表示為混凝土+鋼筋應力形式：

(29)

當γV=0時，表示素混凝土。模型中未考慮彈與靶的接觸摩擦阻力，且常數A0、A1、B0、B1、C0、C1根據不同的初始參數確定。

4 結 論

本文基于球形動態空腔膨脹理論模型，在Forrestal素混凝土彈性-塑性區模型[7]的基礎上，提出了一個適用于剛性彈侵徹鋼筋混凝土靶的計算模型。通過與素混凝土理論結果對比分析，得到以下結論：(1) 相對于素混凝土模型，鋼筋對混凝土的環向約束效應提高了空腔表面的徑向應力，且徑向應力隨配筋率的增加而增大;(2) 鋼筋對混凝土的約束作用影響了空腔膨脹過程中混凝土各區域大小的分布;(3) 模型中通過引入配筋率因素，可以全面地反映配筋間距，網格尺寸等具體的配筋情況對侵徹過程的影響。