基于穩健回歸理論的發動機數學模型研究

劉常青

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10.16638/j.cnki.1671-7988.2018.18.036

基于穩健回歸理論的發動機數學模型研究

劉常青

（陜西重型汽車有限公司，陜西 西安 710200）

文章引入穩健回歸理論建立發動機外特性數學模型，并對比分析了最小二乘法建立的發動機模型，穩健回歸相對最小二乘法可以提高發動機數學模型的精度，同時有效降低試驗數據中誤差點對發動機數學模型的影響，為建立整車模型打下良好基礎。

發動機；數學模型；穩健回歸

前言

發動機是車輛的心臟，準確的發動機數學模型是整車性能仿真模型建立的基礎。發動機數學模型一般通過插值法或擬合法建立。插值法的優點是精度高，缺點是需求試驗數量樣本量大、精度高，計算速度較低；擬合法一般采用最小二乘法擬合，優點是模型處理、應用方便，對數據樣本量及精度要求低，缺點是精度較低，尤其是試驗數據不很規則時誤差很大。

最小二乘法擬合在實際應用過程中應用最廣，本文針對其擬合的不足之處，引入穩健回歸理論建立發動機外特性和萬有特性數學模型，在保留模型處理、應用方便，對數據樣本量及精度要求低的優點基礎上，同時可以有效降低試驗數據中誤差點對發動機數學模型的影響，提高發動機數學模型的精度。

1 發動機外特性數學模型建立

發動機使用外特性中扭矩T可以看成轉速n的函數。數學模型為：

式中：T表示扭矩m，n表示轉速r/min，A表示擬合系數，k是多項式的階數。

2 穩健回歸理論方法的確定

估計的穩健性是統計學穩健估計中的一種方法，主要是將對異常值十分敏感的經典最小二乘回歸中的目標函數進行修改，減少大量隨機誤差和少量奇異值對待估參數的影響。

穩健估計中M估計是應用最為廣泛的一種穩健估計方法，基本思想是采用迭代加權最小二乘估計回歸系數，可以認為是一種廣義極大似然估計。

表1列出了常用的8種權重函數。

表1 常用權重函數

對于線性回歸模型：

然而，該方法會導致那些遠離數據群體的數據(很可能是奇異值)對殘差平方和的影響比其他數據大得多。由于最小二乘回歸為達到極小化殘差平方和的目的，必須遷就遠端的數據，奇異值對于參數估計相當敏感。

M估計穩健回歸的基本思想是采用迭代加權最小二乘估計回歸系數，根據回歸殘差大小確定各點的權重，以達到穩健的目的。其優化的目標函數為：

其中σ為誤差項的標準偏差估計。標準偏差估計σ由下式計算：

其中medi()表示取中位數。

定義權重函數為（r）為（r）/r，并( )令表示n階對角矩陣。

3 發動機數據擬合對比

分別用最小二乘法和穩健回歸法對發動機進行外特性擬合，完成了多項式階數從2到7的兩種方法的對比圖，得到外特性曲線如圖1、圖2所示，圖中“*”表示試驗得到的數據點。

圖1 發動機外特性曲線（最小二乘法擬合）

圖2 發動機外特性曲線（穩健回歸法擬合）

由圖可以看出在階數4時擬合曲線與試驗數據吻合度最好，并且相同階數擬合時，穩健回歸擬合曲線吻合度要優于最小二乘法擬合曲線。

4 結論

通過仿真結果對比表明，采用穩健回歸理論建立的發動機外特性數學模型，其精度優于最小二乘法，能夠較為精確的反應發動機特性，為建立汽車動力性和燃油經濟性仿真模型的建立打下良好基礎。

[1] 余志生.汽車理論[M].北京:機械工業出版社,2003.

[2] 莊志.發動機使用外特性曲線的一種擬合方法[J].客車技術.2002 (2):24-25.

[3] 胡義函,張小剛,陳華,等.一種基于魯棒估計的極限學習機方法[J].計算機應用研究,2012,29(8):2926-2930.

Research on engine mathematical model based on robust regression theory

Liu Changqing

（Shaanxi Heavy Duty Automobile Co., Ltd, Shaanxi Xi'an 710200）

This paper introduces the robust regression theory to establish the mathematical model of engine performance, and the comparative analysis of the engine model. It is built up by the least square method, robust regression, relative least square method, can improve the accuracy of the mathematical models of the engine, and effectively reduce the influence of error in test data of the engine mathematical model, The car model lays a good foundation.

engine; model; Robust regression

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1671-7988(2018)18-106-02

U467

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1671-7988(2018)18-106-02

CLC NO.: U467

劉常青，就職于陜西重型汽車有限公司汽車工程研究院軍品研究所。