誘導式教學在優化與最優控制中的運用

李衍杰

摘要：誘導式教學通過學生對結論的猜想、發現和驗證，讓學生體會到探索的樂趣，從而培養學生的探索精神。本文主要結合誘導式教學方法，探討了該方法在優化與最優控制中的運用。誘導式教學注重于引導，而非簡單地灌輸。通過循序漸進的誘導式教學，培養建立起學生的研究意識和創新能力。本文結合優化與最優控制課程中的知識點，對誘導式教學進行了初步闡述，以期能夠增強學生對課程知識點的掌握和提高學生的探索研究精神。

關鍵詞：誘導式教學；優化與最優控制；研究探索

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）33-0112-03

誘導式教學強調學生是學習的主體，老師的主要作用在于引導，在課堂上充分調動學生的積極性和參與感，讓學生體會到科研探索和猜想的重要性。在教學過程中，通過誘導式教學重現知識的發現過程，通過老師的誘導，讓學生利用自己已有的知識去發現問題的根源，掌握知識點形成的整個過程。在誘導式教學過程中，學生由已知到未知，符合人類的認知過程，有助于增加學生的成就感。誘導式教學是將老師的教和學生的思結合起來，弱化老師教的作用，引導學生多思考。本文針對最優控制課程中的幾個關鍵知識點，展開對誘導式教學方法的運用，以期培養學生的探索精神并深化對知識點的掌握。

一、循序漸進，由點到面

在凸優化理論的相關教學過程中，首先從一般優化問題入手，強調一般優化問題的求解難度，然后轉而誘導學生思考是不是所有優化問題都是難以求解的，當學生處于一籌莫展時，引導學生能不能找到容易求解的優化問題。從而引入線性規劃和最小二乘問題，然后講解這兩類問題的相關結論，重點突出它們是容易求解的，同時結合幾個實際應用的實例，加深學生對兩類問題的理解和運用。在此基礎上，進一步的誘導學生思考，除了這兩類問題之外，能不能找到其他的優化問題是易于求解的，能不能找到更廣泛的易求解優化問題。為此，首先引導學生觀察最小二乘問題目標函數的特點，讓學生注意到最小二乘問題的2-范數形式min‖Ax-b‖ ，在此基礎上，引導學生回顧2-范數滿足三角不等式，即

‖αx+βy‖ ≤α‖x‖ +β‖y‖ （1）

而同時，讓學生注意到線性規劃的目標函數為線性函數，滿足

f（αx+βy）=αf（x）+βf（y） （2）

此時，讓學生觀察（1）式和（2）的不同，誘導學生思考能否將兩式結合起來得到一類更廣泛的函數類，即結合三角不等式和線性等式，該函數應該滿足下列不等式

f（αx+βy）≤αf（x）+βf（y）

從而引出凸函數和凸優化的概念。通過這樣循序漸進的過程，由最小二乘和線性規劃兩個點拓展到凸優化問題整個面。不僅可以讓學生理解凸優化和最小二乘及線性規劃的關系，而且這種由特殊到一般的推理思考過程有助于鍛煉學生的科研探索能力。

二、知其然，知其所以然

對偶性理論是凸優化理論的難點，其中不乏有大量的函數定義，譬如拉格朗日函數、對偶函數等，很多教材和專著出于邏輯性的考慮，往往直接給出這些函數的定義，對于為什么引入這個概念多不給出解釋。學生對這些概念和定義可以倒背如流，對知識點往往是不假思索、囫圇吞棗式地接受，學生多數處于被動式的接受。為了加深學生對這些概念的認識同時理解引入這些概念的原因，可以采用誘導的方式，追根溯源，建立起對這些知識點起源的探索與思考。回到優化問題的這個基本點上，優化問題的核心問題是解決下列帶有約束的優化問題

首先，引導學生思考如何處理約束的影響。一種最簡單的思路是將帶約束的優化問題轉變為無約束的優化問題，為此，可以考慮構造一個函數M（x）使得下式成立：

M（x）=f （x） x∈D∞ x？埸D （3）

這里D為原優化問題的可行域。從而原約束問題轉化為無約束優化問題minimize M（x），然后，誘導學生思考如何構造函數M（x），學生可能想出很多種構造方法，挑出其中幾種講解其合理性和不合理性。在這些基礎上，老師引導構造一種如下最簡單的構造方式：

這里I （u）為示性函數，即當u≤0時，I （u）=0，當u>0時，I （u）=∞；I （u）也為示性函數，當u=0時，I （u）=0，當u為其他值時，I （u）=∞。對于這個函數，明顯滿足條件（3）。誘導學生思考這個函數有什么缺點？然后點明I （u）和I （u）函數很奇怪，不連續，有些函數值是無窮大，這將導致M（x）函數的最小化非常難求解，為此，可進一步引導學生思考能不能找一些簡單的容易處理的函數來代替函數I （u）和I （u）。學生可能會給出很多不同的答案，此時，老師引導學生用線性函數代替函數I （u）和I （u）。因此，考慮下列函數：

這個函數是教材中給出的拉格朗日函數。誘導學生思考用函數L（x，λ，ν）替換函數替函數I （u）和

I （u）的可行性并產生懷疑，原因是因為函數L（x，λ，ν）不滿足條件（3）。讓學生展開討論，并說出自己的理由。在此基礎上，老師進一步解釋為什么不能直接用函數L（x，λ，ν）。考慮能不能將函數L（x，λ，ν）改造成一個符合條件（3）的函數。讓學生展開探討并說明相關的結果。如果學生沒有探討出結果，可給出下面函數：

然后詳細地講解上述函數是如何滿足條件（3），強調不等書約束f （x）≤0需要λ ≥0而等式h （x）=0則要求v 無約束。因而原優化問題可等價為 L（x，λ，ν）的最小最大問題。至此可再次設疑，讓學生思考這種變形能否有助于原優化問題的求解，引導學生思考最小最大是否可以交換順序，得到 L（x，λ，ν），其中函數 L（x，λ，ν）即為教材中的拉格朗日對偶函數。針對最小最大是否可以交換順序的問題，可誘導學生引出強對偶和弱對偶的概念。基于上述討論，把整個對偶性理論串聯起來，學生易于接受和理解，知其然，更知其所以然。

三、理論聯系實際，以研究心態探索知識

在教學過程中結合實例講解，往往取得事半功倍的效果。在優化與最優控制教學過程中，為了展示最小二乘、線性規劃和凸優化的應用，可從教材中的一個實例入手，探索最小二乘、權重最小二乘、線性規劃和凸優化等建模描述的過程，并且以研究的心態完成整個實例的講解。例如，以求解合適的燈泡功率使得路面的光照強度達到預期的要求為例，引導學生去研究這樣的實際問題。首先對問題進行建模，通過物理實驗采集光照強度與燈泡功率的數據。在此基礎上，通過合理性假設，得到光照強度與燈泡功率間的線性擬合關系，然后探索解決達到預期照明強度的方法，該過程可以通過由易到難、由特殊到一般的過程。首先假設所有燈泡的功率是一樣的，將問題簡化為單變量的優化問題，這樣學生也容易接受，然后探索最小二乘在該問題中的應用。為了避免最小二乘問題最優解超出可行范圍的缺陷，可引導學生引入帶有權重的最小二乘問題。此外，可引導學生將最小二乘問題的2-范數改為1范數，探索線性規劃在該問題中的應用。最后，通過引入對數函數，將問題最終建模為凸優化問題。通過一步步的改進，模擬在實際研究工作中不斷改進和完善的過程，最終讓學生體驗到研究是如何完成的。

四、前后貫通，觸類旁通

最優控制問題在多數的教材中基本上是與最優化問題隔離開的，特別是在講解如何處理控制量受約束時，主要采用的最大值原理和動態規劃離散化求解。為了增加最優化問題與最優控制問題的聯系，在課程中，可引導學生采用將帶有約束的最優控制問題轉化為一般的無約束的最優控制問題的思路。譬如考慮如下最優控制問題：

通常情況下，可采用最大值原理來求解上述帶有控制約束的最優控制問題。在授課過程中，讓學生回顧凸優化中將約束優化問題轉化為無約束問題的思路，引導學生思考如何將最優控制問題轉化為無約束優化問題。為此，借鑒凸優化中內點法的障礙函數的構造思路引導學生構造一個障礙函數來約束控制u（t） 在可行的范圍內，從而引導學生在一般優化問題與最優控制問題之間建立起更多的聯系，做到前后貫通，觸類旁通。

五、結論

本文結合最優控制中的知識點，通過誘導式教學方法，引導學生對所學內容展開思考，這樣不僅增強了學生對課程內容的理解和掌握，也極大增加了學生對所學知識的研究興趣，從而有助于樹立研究生的研究探索意識。

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