從“數學好玩”走向“玩好數學”
———《圓的認識》教學實錄與思考

陳 軍（特級教師）

【教學內容】

北師大版六年級上冊、人教版六年級上冊、蘇教版五年級下冊《圓的認識》。

【課前思考】

一、教材的邏輯起點是什么

1．縱向梳理。

《圓的認識》內容隸屬“圖形與幾何”領域，是小學、初中、高中數學中重要的教學內容。小學階段認識圓是整體的、直觀的；初中階段是局部的、具體的；高中階段是方程的、數形結合的。雖然各階段要求不一，但貫穿主線一致，即關于圓的本質特征的認識——普遍存在性、廣泛的對稱性、各點均勻性，使學生的思維拾級而上。

在小學階段，圓是學生最后研究的一個平面圖形，也是學生第一次真正開始理性認識曲線圍成的圖形，無論是研究方法還是研究角度，都與之前研究直線圖形有本質的不同，重點是通過對圓的本質特征的認識，培養學生的空間觀念。

2．橫向對比。

在教材內容編排上，不同版本大同小異。以北師大版、人教版、蘇教版為例，都安排了“圓的認識、圓的周長、圓的面積”。在綜合與實踐部分略有差異，北師大版充分挖掘數學的教育價值，安排了“欣賞與設計、圓周率的歷史”，意在培養學生發現、欣賞、創造生活中的數學美，了解數學發展的歷史和人類對數學知識的不斷探索過程，感受數學魅力，激發學生研究數學的興趣；人教版在“數學與體育”中安排了“確定起跑線”；蘇教版則安排了“環形面積、畫出美麗的圖案”。

《圓的認識》在課時結構安排上，不同版本各不相同，各具優勢，爭奇斗艷，異彩紛呈。由于教材關注的側重點不同，因此背景素材的數量、數學活動的形式、練習呈現的方式等各不相同，課時的劃分也有很大差異（見附表）。

二、學生的認知起點是什么

學生的知識儲備：一是直線圖形相關知識與技能，研究方法與思想；二是形成了一定的長方體、正方體空間觀念，能由實物的形狀想象出幾何圖形，進行幾何體與其展開圖之間的二、三維轉化，能根據條件做出立體模型或畫出圖形，能運用圖形形象地描述問題，利用直觀圖形進行思考。

學生的認知經驗：一是借助身邊直觀、可感的空間世界，借助原先的生活經驗，主動地關注、初步地認識了周圍的圖形世界。二是在參與、體驗、操作等實踐中，積累了大量的活動經驗，如通過“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫、涂一涂、做一做、想一想”等具體的活動方式，親自觸摸、觀察、測量、制作、實驗，把視覺、聽覺、觸覺等協同起來，促進活動內化，掌握圖形特征，形成積極探究的活動經驗。

三、教學設計的可能高度是什么

從玩陀螺的益智游戲引入，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的完整過程。在動態變化的視角中，直觀地感悟圓“一中同長”的本質特征，從感性的“數學好玩”走向理性的“玩好數學”。

1．學科內整合：“圓的認識”揭示的數學本質是什么？

數學教育改革的理念一直以“自主、合作、探究”為主要訴求。但數學改革不能僅限于教學方法層面，更需要思考教學內容。于漪老師說：“教什么要放到課堂教學的第一位來考慮，目標是課堂教學的主宰。”本節課的教學要給學生揭示的數學本質究竟是什么，難道僅僅是關于半徑、直徑的概念辨析，圓規畫圓的技能訓練？華應龍老師說：“教是因為需要教。”我思考，著力點是不是應該落在讓學生主動探究出圓“一中同長”的最本質特征，讓學生在數學好玩中學會求真。

2．學科間整合：“圓的認識”還能給學生哪些價值生長？

數學是對客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學的基礎，而且在人文科學和社會科學中發揮著越來越大的作用。作為工具學科，從學科整合的角度，“圓的認識”還能讓學生獲得哪些價值生長？馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”我思考，是不是應該讓學生在玩好數學中學會求實，在學以致用中注入數學的理性思考，數學地解釋生活現象，如車輪為什么要做成圓形的？井蓋為什么是圓的？

3．超學科整合：“圓的認識”核心數學思想在哪里？

數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一位公民應該具備的基本素養。從學科與生活整合的角度，“圓的認識”培養學生用數學的眼光觀察世界，學會從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，從動態的視角去研究現象，用數學的方式去理解世界，建立數學模型，體會到事物是普遍聯系的辯證唯物主義思想。更進一步，通過極限思想的滲透，讓學生體悟有限到無限的辯證統一，自覺在審美的視野中行走，主動發現真善美，創造美好的生活。

【教學過程】

一、游戲引入，提出問題

1.游戲情境、激發興趣。

（課件出示：陀螺）

師：這是老師小時候最常玩的玩具。你們玩過陀螺嗎？

生：玩過，不過我玩的是鋼片做的。

2.生活信息、發現問題。

師：看到陀螺，你有什么數學問題？

生：這種陀螺是怎么做出來的？

生：我知道，陀螺是在一張硬紙片上畫一個圓，用剪刀剪下圓，再在圓上畫上美麗的圖案，用針在中心扎一個眼兒，插上火柴棒即可。

師：還能提出什么數學問題？

生：陀螺的形狀一定是圓形嗎？正方形或其他形狀是不是也能旋轉呢？

生：可以是其他形狀，我上次買的陀螺就有三角形的。

生：圓上的圖案轉動起來，看到的還是這個圖案嗎？

師：還能從數學的角度提出什么問題？

生：火柴棒是不是一定要扎在中心呢？

師：這個問題提得非常好！

生：一定要插在中心，否則轉動得會不平穩。

3.揭示課題，提出問題。

師：今天我們就來研究陀螺中的數學問題。讓我們從玩開始！

二、玩轉陀螺，探尋本質

1.玩轉陀螺，驗證猜想。

師：如果用這些形狀的紙做陀螺，火柴固定在什么位置，陀螺轉得最穩？

生：扎在中心點。（板書：定點）

師：如果在硬紙板上再畫一個紅點，如下圖，旋轉陀螺，紅點的軌跡會是一個什么圖形？

生：圓形。（板書：動點）

師：四人小組拿出①號信封，每人抽取一個圖形，先動手做再驗證猜想，并互相交流驗證結果。

（課件動態演示紅點轉動形成的軌跡）

2.反思質疑，問題驅動。

師：如果火柴棒不扎在中心，如下圖，旋轉陀螺，紅點的軌跡又是什么圖形？

生：還是一個圓。

生：不是一個圓，這根本就轉動不起來。

師：四人小組拿出②號信封，每人抽取一個圖形，動手做，驗證猜想，并互相交流驗證結果。

（學生動手做，驗證交流，發現轉動得不平穩，手一松開就倒了：也有的學生手捏住火柴棒不松開，順時針、逆時針來回轉動，能看到紅點的軌跡是一個圓）

3.透過現象，歸納本質。

（課件動態演示紅點轉動形成的軌跡）

師：為什么形狀不同，火柴棒扎的位置不同，紅點的軌跡都是一個圓的呢？

生：因為火柴棒扎的這個點和紅點之間的距離總是一樣的。

生：火柴棒扎的是定點，紅點是動點，無論怎么轉動，紅點與黑點距離總是一樣的。（板書：定長）

（課件動態演示，隱去紙片，只留下定點和動點，轉動形成圓的過程。再動態演示，長方形硬紙變成一條線段，形成動點繞定點運動后的軌跡。從而揭示圓的本質特征“一中同長”）

師：說一說圓是怎樣形成的？

生：繞一個固定的點，保持同樣的距離旋轉。

師：知道這個定點、定長在圓中的名稱嗎？

生：定點就是圓心，用大寫字母O表示，定長就是半徑，用小寫字母r表示。

師：我國古代思想家墨子曾說“圓，一中同長也。”你知道這句說的是什么意思嗎？

生：一中，就是圓有一個圓心，也就是定點；同長，就是圓所有半徑都相等。

4.操作畫圓，自主總結。

師：如果讓你畫一個圓，你會怎么畫呢？

生：用圓規畫。

生：用圓形物體描。

生：用一根繩子，中間固定，拉直旋轉。

（隨著學生的回答，多媒體呈現學生畫圓的圖片）

師：請大家用圓規任意畫一個圓，并總結畫圓步驟和注意點。

生：分開兩腳距離，把有針尖的一腳固定，裝筆芯的一腳旋轉一周。

生：畫圓過程中，注意兩腳距離不能變動。

生：畫圓過程中，有針尖的一腳要扎緊。旋轉時，手要拿著圓規的頂端手柄。

師：圓內一些點、線還有特別的名稱，誰知道？

生：兩條半徑成一直線時這條線叫直徑，用字母d表示。

生：直徑是通過圓心，兩端都在圓上的線段。（板書：直徑）

師：畫一個直徑4厘米的圓。

師：大家畫的圓都一樣大嗎？（找出錯誤作業，當場化錯）

師：這說明圓的大小由什么決定？

生：半徑。

師：圓的位置呢？

生：圓心。

師：你覺得圓還有哪些特征？

生：圓的半徑、直徑都有無數條，直徑是半徑的2倍。（板書：d=2r）

生：圓還是一個軸對稱圖形。

生：直徑是它的對稱軸。

三、實踐應用，認識本質

1.回歸生活，尋找例證。

師：說一說生活中哪里有圓？

生：剪紙、瓷器、標志、建筑中、餐具……

生：世界最大單口徑射電望遠鏡“中國天眼”直徑500米。

（隨著學生的回答，課件呈現生活中圓的圖片）

師：為什么這么多地方都有圓形？

生：是因為圓很美。

師：難怪古希臘數學家畢達哥拉斯說：“在一切平面圖形中，圓最美。”

2.尋根究底，認識本質。

師：其實除了美之外，圓在生活中的應用還有其他原因。

請看：動物王國的運動盛會，你覺得誰能獲勝？說說你的理由。（課件播放視頻）

生：小猴能取勝，因為小猴的車輪是圓形的，轉起來比較平穩。

師：為什么比較平穩？

生：圓，一中同長。其他車輪，一中不同長。

（課件呈現比較的視頻）

師：如果車輪做成多邊形，又要行駛得平穩，不顛簸，有什么辦法能實現嗎？（課件呈現方輪汽車顛簸前行的動畫）

生：可以配合車輪，讓路面高低不平。

（課件呈現動畫）

師：其實生活中還真有這樣的車輪。（出示方輪自行車）

師：生活中到處是圓，不僅因為圓最美，更因為“圓，一中同長”的本質特征。

師：“一中不同長”的圖形與“一中同長”的圓之間有沒有什么聯系呢？（課件呈現）

生：隨著多邊形邊數的增加，這些“一中不同長”的圖形，中心到邊上的距離與到頂點的距離會越來越接近，當邊變成點時，就變成了圓。

師：這些正多邊形都是直線圖形，圓是曲線圖形。當正多邊形的邊數多到無數條時，它就成了一個圓，直線圖形也就成了曲線圖形，原來世間的事物既對立統一又相互轉化。（板書：直線圖形、曲線圖形）

師：接下來，咱們一起來做一個小游戲，用一張正方形紙如下圖這樣折疊4次，再沿虛線剪一刀，猜一猜打開后是會是什么圖形？如果折疊的次數再多一些，又會怎樣？你發現了什么？你覺得這樣做是利用了圓的什么知識？

生：打開后的圖形是一個圓。

生：打開后的圖形是一個正八邊形。

生：如果折疊的次數再多一些，會非常接近一個圓，但一定不是圓。

生：這是利用“一中不同長”的正多邊形邊數越多越趨近圓。

師：（課件呈現下左圖）猜一猜這是什么？

生：井蓋。

師：不錯，只要善于創造，生活中再不起眼的東西都會變得很美。不過生活中也有這樣的井蓋（課件呈現下右圖），你覺得井蓋做成圓形的好還是方形的好?

生：做成圓形的好，圓的直徑都相等，無論怎么轉動，都不會掉下去。

生：做成方形的，由于邊小于對角線的長，容易掉下去，造成安全隱患。

師：其實，一中同長，還可以創造出美麗的圖案。

師：任意一個圖形，如三角形、正方形、橢圓等，沿著某一點，按特定角度旋轉，都會出現美麗圖案呢。（課件呈現）

師：為了方便畫出這樣的美麗圖案，有人發明了“萬花尺魔幻工具”，如果有興趣，你也發明一個試試吧！

四、板書落成，總結延伸

師：今天《圓的認識》就講到這兒了，你對圓有什么新的認識？

生：圓，一中同長也。

師：這節課你有什么感受？

生：學會了用數學眼光洞察世界，用動態的視角研究現象，用數學的思維品味生活。

師：關于圓你還想研究什么？

生：研究圓的周長和面積。

【課后明辨】

一、關于圓的核心概念描述

教學圓之后，我曾對學生進行訪談，讓他們說一說“什么是圓？”結果，好多學生脫口而出的就是“圓，一中同長也。”既精準又頗有古人的音韻腔調。讓我充分領悟到中國古代數學文化的新時代價值，傳承的就是經典的，古人對圓本質特征的總結和概括是如此精煉準確。對于我們每一位中華兒女，都應該學好這些中國古代數學文化的瑰寶。作為一名教師，應該將這些中華古文明所積累的知識典籍介紹給學生。讓學生從小樹立文化的自信，民族的自豪感，擁有中國人的自信心。

二、關于問題解決能力的培養

近年來，中國學生參加PISA測試，在名次上絕對靠前，引起世界各國對中國教育的關注，但中國學生問題解決能力卻在倒數行列。這不得不讓人聯想到錢學森之問：“這么多年培養的學生，還沒有哪一個的學術成就能夠跟民國時期培養的大師相比。”“為什么我們的學校總是培養不出杰出的人才？”這是我們每一個教育者必須面對的現實和急需破解的命題，誠然，人才的培養不光是大學的責任，作為基礎教育工作者，我們也應該從奠基抓起，把學生的問題解決能力的培養始終放在首位。

在教學中，我嘗試將數學學習放在開放的社會大課堂視野中。學生在預學的基礎上，讓學生找到自己的認知起點，面對生活的真情境，自主地發現問題，自由地提出問題。“提出一個問題比解決問題更重要”（愛因斯坦）。教師在了解學情的基礎上披沙揀金，沿波討源，對學生的問題進行梳理、調整、編織，并將學習內容的原生價值，與學生學習的需求點和生長點有效連接，形成驅動學生好奇心與內生力的主問題、問題鏈或問題組。引導學生在一個開放的大問題主線上不斷地由淺入深，由低到高，層層遞進，螺旋上升式地整體帶動思維提升、情感發展。讓學生自始至終浸潤在深度的質疑思辨之中，全身心地投入到分析問題、解決問題過程之中。

附表：

版本 北師大版 人教版 蘇教版結構（1）觀察生活中的圓；（2）分析游戲的公平性；（3）用不同的工具畫圓；（4）給出圓心、半徑、直徑的概念；（5）解釋生活中的一些現象；（6）找圓心；（7）圓的軸對稱性，半徑與直徑的相互關系；（8）圓的旋轉對稱性；（9）欣賞與設計。（1）用圓形物體畫圓；（2）用紙質的圓對折；（3）給出圓心、半徑、直徑的概念；（4）半徑與直徑的屬性以及相互關系；（5）用圓規畫圓；（6）圓是軸對稱圓形，畫對稱軸；（7）練習題。（1）觀察生活中的圓；（2）用不同的工具畫圓；（3）用圓規畫圓；（4）給出圓心、半徑、直徑的概念；（5）畫、剪、折紙質的圓，尋找半徑與直徑的屬性以及相互關系，軸對稱性；（6）欣賞與思考。區別從學生已有的生活經驗和知識背景出發，結合具體情境和操作活動，激活已經存在于學生頭腦中的經驗，促使學生逐步歸納內化，上升到數學層面來認識圓，體會圓的本質特征。其安排更符合學生的認知規律。從知識的邏輯結構呈現教材，其安排有利于學生掌握圓的主要特征，形成系統的知識結構體系。從學生的認知結構呈現教材。其安排符合學生由感性認識過渡到理性認識的認知規律，有利于改善學生的學習方式。課時 4課時 2課時 3課時