“圓的面積”教學與思維能力培養

魏萬茂

摘 要：“圓的面積”是小學數學教學中的重要內容，它無論對培養學生解決實際問題的能力，還是對培養學生的思維能力、想象能力、動手操作能力都是很好的教材。特別是對培養學生的探究思維能力、轉化思維能力、極限思維能力等具有非常重要的作用。

關鍵詞：圓的面積；探究思維能力；轉化思維能力；極限思維能力

“圓的面積”是小學數學教學的重要內容，具有舉足輕重的地位和作用，它無論對培養學生解決實際問題的能力，還是對培養學生的思維能力、想象能力、動手操作能力都是很好的教材。這里就“圓的面積”教學中學生思維能力的培養談些粗淺的看法，以便拋磚引玉。

一、探究思維能力的培養

在明確了“什么是圓的面積”的基礎上，進一步引導學生探究：圓的面積大小與什么因素有關？有什么樣的關系？

憑借日常生活經驗，第一個問題不難回答，（無論是回答與半徑有關，與直徑有關，還是回答與周長有關，歸根結底都是與半徑有關），對第二個問題的回答就不是輕而易舉的，此時，教師應緊緊抓住培養學生探究思維能力的契機，由淺入深，由易到難，逐步啟發引導學生深入探究：圓的面積大小與半徑有關，有什么樣的關系？

先引導學生對圓的面積的范圍進行粗略的界定：□<圓的面積<□

探究得出：內接正方形的面積<圓的面積<外切正方形的面積 （參閱浙教版教材）

即2r2

然后，逐步“縮小包圍圈”，直到精確推導出圓的面積的計算公式。

具體的探究過程可以參閱下面轉化思維能力的培養和極限思維能力的培養，這里就不贅述。

二、轉化思維能力的培養

在引導學生深入探究“圓的面積”與半徑有什么樣的關系的過程中，不可避免地要用到轉化思想，下面談談轉化思維能力的培養。

《怎樣解題》的作者波利亞說：“解題就意味著轉化，將尚未解決的問題轉化為已經解決的問題?！薄皥A的面積”就是我們期待解決的新問題，新就新在以前學過的面積都是直線圖形的面積，“圓的面積”是曲線圖形的面積。能不能將曲線圖形的面積轉化為直線圖形的面積？怎樣將曲線圖形的面積轉化為直線圖形的面積？這正是需要我們解決的問題。

在明確思路的基礎上，引導學生探究怎樣將“圓的面積”轉化為已經學過的直線圖形的面積？這可以像青島版教材那樣，在探究圓的面積與圓內接正方形和圓外切正方形的關系的基礎上，引導學生進一步探究，把正方形增加為正8邊形、正16邊形、正32邊形……圓的面積與圓內接正多邊形和圓外切正多邊形的關系，得出結論：邊數越多，正多邊形的面積就越接近于圓的面積。當然也可以反過來說成：邊數越多，圓的面積就越接近于正多邊形的面積，這樣，圓的面積就轉化為正多邊形的面積，轉化為直線圖形的面積。

此時，圓被分割成無數個小扇形，如果把這些小扇形穿插、拼接起來，就會形成類似平行四邊形的形狀。分得越細，越接近于平行四邊形，當分得無限細的時候，類平行四邊形就變成了平行四邊形、長方形，圓的面積就轉化成了長方形的面積。

當然，圓的面積也可以轉化成我們學過的其他直線圖形的面積。這里就不再贅述。

三、極限思維能力的培養

在引導學生進行轉化思維的過程中，我們涉及了極限思維，下面談談極限思維能力的培養。

在把“圓的面積”轉化為直線圖形面積的過程中，有一個重要的步驟，就是將圓分割、拼接。先是平均分割成8分，進行穿插、拼接，得到類平行四邊形，但它并不是嚴格意義上的平行四邊形，因為它的邊沿是波浪形的，不是直的。再平均分成16等分，32等

分……進行穿插、拼接，得到的四邊形越來越接近于平行四邊形，它的邊沿波浪越來越細，但它仍不是嚴格意義上的平行四邊形。

這時，就要不失時機地啟發學生的想象力：假如我們把圓分割得無限細，小扇形就變成了小三角形，穿插、拼接得到的四邊形的外沿就不再是波浪線，就變成了直線，這時的四邊形就變成平行四邊形、長方形。這樣，由簡單到復雜，由具體到抽象，由有限到無限，借助學生的想象能力，很好地培養了學生的極限思維能力。