極限演繹，讓結(jié)構(gòu)化思維走向深刻

單群貴

鄭毓信教授在《新教育哲學(xué)》中提到：“努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展是數(shù)學(xué)教育最為重要的一個目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)將‘思維看作全部數(shù)學(xué)教學(xué)工作的核心?！碧丶壗處熢S衛(wèi)兵認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識是整體的，也是有結(jié)構(gòu)的，用整體性和結(jié)構(gòu)化的思維引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一條非常重要的路徑。”所謂結(jié)構(gòu)化思維，是以探尋事物結(jié)構(gòu)為目標(biāo)，以得出事物發(fā)展的一般規(guī)律為導(dǎo)向，以建構(gòu)事物整體關(guān)聯(lián)為抓手的一種思維方式。結(jié)構(gòu)化思維，能夠讓學(xué)生更清晰、更高效地思考，更接近事物的本質(zhì)，更有效地用數(shù)學(xué)思維的方式去思考并解決生活中的實(shí)際問題。下面，筆者就以蘇教版五年級上冊“圖形面積期末復(fù)習(xí)”教學(xué)為例，談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中，如何對學(xué)生進(jìn)行必要的結(jié)構(gòu)化思維訓(xùn)練。

一、讓結(jié)構(gòu)化思維在知識聚焦中凸顯

在教學(xué)“圖形面積期末復(fù)習(xí)”時，教師首先呈現(xiàn)了幾種曾經(jīng)學(xué)過的平面圖形，并讓學(xué)生回憶其面積計算公式，隨后以小組討論的形式，交流這些多邊形面積公式的推導(dǎo)過程，最后讓學(xué)生嘗試用學(xué)具探究各種圖形面積之間的關(guān)系：長方形的面積公式是“根”，其他圖形面積公式是“枝”，即其他圖形的面積都可以轉(zhuǎn)化成長方形的面積，從而推導(dǎo)出其面積計算公式。圖形面積的“知識樹”由此在學(xué)生腦海中生根發(fā)芽。整個學(xué)習(xí)過程充分關(guān)注了學(xué)生對知識系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程體驗，使教學(xué)目標(biāo)得到了很好的落實(shí)。

圖1是教材第25頁的“練習(xí)與應(yīng)用”的第1題，教師對這道練習(xí)題作了“個性化”的處理：先是呈現(xiàn)“裸圖”（無點(diǎn)格的圖形），讓學(xué)生說說這些圖形的面積，學(xué)生感到束手無策；隨后給出點(diǎn)格圖，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法比較圖形面積，尋找它們之間的關(guān)系；最后，再將研究目光聚焦到三角形上，通過幾何畫板軟件演示，拉動兩個與其同底等高的三角形，讓學(xué)生尋找面積相等的三角形，從而使其初步感知等積變形的多種可能性。

下面4個圖形的面積有什么關(guān)系？你是怎樣想的？

從以上教學(xué)片段中，我們不難發(fā)現(xiàn)：教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)的本源，立足知識的整體性，尋找知識的關(guān)聯(lián)性，從小處入手，以聚焦“三角形等積變形”為抓手，關(guān)注課時知識間的前后聯(lián)系與整合，更好地梳理和構(gòu)建橫向的邏輯框架，為培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維提供可能。

二、讓結(jié)構(gòu)化思維在動態(tài)研究中深化

當(dāng)學(xué)生初步具備了“等積變形”的意識和操作能力后，教師立即將研究的目光“平移”至梯形，即同時給出三個梯形（圖2），提問：“圖中面積相等的梯形有哪些？”問題一拋出，便有少部分學(xué)生很快應(yīng)答：“它們的高都是相等的，上底和下底的和也是相等的，所以它們的面積都是相等的。”教師并沒有滿足于此，而是組織學(xué)生繼續(xù)想象：“如果繼續(xù)照樣子變形下去，可能會出現(xiàn)什么情況？”學(xué)生反饋：“可以變出三角形、長方形、平行四邊形……”（圖3）一切皆有可能，學(xué)生的一句“學(xué)到現(xiàn)在，我還是第一次發(fā)現(xiàn)梯形的面積計算公式有這么大的威力”恰恰說明了這樣的設(shè)計是能夠助推學(xué)生的求異思維，幫助學(xué)生在運(yùn)動變化的聯(lián)系中更直觀地發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，為后續(xù)更高階段的結(jié)構(gòu)化思維奠定了良好的基礎(chǔ)。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師在充分保證上底和下底之和不變的情況下，研究了梯形的動態(tài)“變形記”，得出梯形最終可能變成長方形、平行四邊形、三角形等的結(jié)論。讓學(xué)生理解了：在必須保持面積不變的情況下，要想得到不同的圖形，可以改變梯形上底和下底，上底變短了，下底就變長了，這樣就把“靜態(tài)”的學(xué)習(xí)變成了“動態(tài)”的研究，而這種由“靜”到“動”的過程，其實(shí)就是結(jié)構(gòu)化思維深化的過程。

三、讓結(jié)構(gòu)化思維在鞏固練習(xí)中明晰

練習(xí)是課堂教學(xué)的延續(xù)，其目的在于鞏固所學(xué)知識。練習(xí)的方式盡可能要“以少勝多”，從而達(dá)到“簡約而不簡單”的教學(xué)效果。許衛(wèi)兵老師認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中都存在一個對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“理解”或“消化”的過程。即只有學(xué)生能根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗對所學(xué)內(nèi)容做出“解釋”，這樣的學(xué)習(xí)才有意義與價值。為此，教師在設(shè)計練習(xí)時，不妨讓學(xué)生對問題“回頭再多看一眼”，去尋找知識間存在的顯性或隱性的聯(lián)系與區(qū)別，從而更好地把握知識的本質(zhì)屬性。

譬如，教師在呈現(xiàn)教材中“練習(xí)與應(yīng)用”的第2題（圖4）時，先讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，繼而在集體匯報交流時，殺了一個漂亮的“回馬槍”——再次將研究的目光聚焦到梯形面積公式上，即向?qū)W生提問：“既然梯形的面積公式是萬能的，那我們在計算平行四邊形以及三角形面積的時候，為什么不用梯形的面積公式呢？”這樣的“回馬槍”不僅讓學(xué)生知道，知識間是有聯(lián)系的，是相通的，用同一種方式可以解決不同的問題，從不同的角度去觀察事物，就會有不同的理解，而且便于學(xué)生掌握圖形面積之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而讓學(xué)生能全面地把握“空間與圖形”領(lǐng)域的知識框架結(jié)構(gòu)圖。

總之，高度結(jié)構(gòu)化的知識是不容易被遺忘的，即使已被遺忘，它也可以順著多種途徑被找回。為此，教師在日常教學(xué)中，要合理進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)嘗試，適時地借助極限演繹的方法，闡述“變”與“不變”的函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生從錯綜復(fù)雜的“變化”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)知識間千絲萬縷的“聯(lián)系”與“區(qū)別”。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識碎片才能夠及時、有序地納入到新的知識體系中去，從而使他們的知識結(jié)構(gòu)越來越穩(wěn)固，越來越豐滿，最終實(shí)現(xiàn)“用思維方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容”的教學(xué)愿景。

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘小學(xué)）