極限的若干種求法研究

摘 要：數學分析中最重要的基本概念就是極限，而且極限是對變量數學進行研究的重要工具之一，同時又是積分法和微分法的理論基礎。對極限的求法的熟練運用是為學好數學分析做基礎準備。然而求解極限的方法非常繁冗，想要達到運用自如，并非易事。本文歸納和總結部分極限求法。

關鍵詞：正項級數；極限；求法；函數；數列

一、 利用極限定義驗證極限

要點：已知數列（函數）的極限值

利用四則運算求極限

二、 數列的極限

（一） 利用初等變形求極限

要點：用初等數學的方法將xn變形，再求極限。（主要將xn寫成緊縮形式）

（二） 利用單調有界定理求極限

單調有界定理：在實數系中，單調數列有界必然極限存在且收斂，并且單調增（減）數列收斂到該數列的上（下）確界。（注：一個收斂到確界的數列，不一定是單調數列）

要點：做題時通常觀察所求極限式的特點，預估其上下界的值，然后用數學歸納法等方法證明要求解的極限的單調性和有界性，并對上下界在證明單調性的應用方面引起注意，最后常通過建立方程求得極限值，并對根的取舍予以重視。

（三） 利用夾逼定理求極限

要點：當不易直接求得極限時，可以適當的放大和縮小所求極限，使兩個新極限的極限值等同，或僅相差一個任意小的正數，則原極限存在極限值且與兩個新極限的極限值等同。

作者簡介：

姜婷婷，天津市，天津師范大學數學科學學院。