二元驅動串并聯機器人結構參數約束條件分析

杜幸運，趙 慧，徐鵬成

（武漢科技大學 機械自動化學院，湖北 武漢 430081）

1 引言

隨著工業技術的發展，人們希望能夠用最少的輸入來產生較多維數空間運動的機械結構，使機器結構簡單、制造容易、高效可靠、維修方便、節能減排的目的[1]，因此研究新型機構將成為實現這一目標的良好途徑。二元驅動器（binary actuators）是驅動器中的特殊一類，只具有兩個離散的穩定狀態，標記為0和1，分別對應于驅動器的兩個極限位置。和傳統的機器人系統相比，二元驅動串并聯機器人不需要反饋控制、成本低、且具有高負載能力、定位和重復定位精度高、魯棒性強等優點，但其缺點是工作空間不連續，很難求逆解。

國際上對二元驅動串并聯機器人離散系統研究較為有影響力的團隊分別是JHUChirikjian團隊和MITDubowsky團隊。文獻[2]提出了一種基于齊次變換的運動學正解計算方法，研究了二元驅動串并聯機器人平面變幾何珩架機構（VGT）正運動學求解算法并驗證了算法的有效性。同時，文獻[3]通過改變二元驅動器驅動腿變化量，研究了其對工作空間的影響，并提出了用于二元驅動串并聯機器人拾取任務的優化算法。文獻[4]研究二元驅動串-并聯機器人離散系統參數綜合問題。提出了二元機器人驅動智能裝置BRAID（Binary Robotic Articulated Intelligent Device）的概念，并進行了大量相關理論和實驗技術研究，文獻[5]對基于BRAID的二元驅動串-并聯機器人系統的結構設計、驅動器及控制、運動學等做了研究。文獻[6-7]研究了使用介質聚合物二元驅動器的BRAID的運動學以及驅動器優化。文獻[8]分別研究二元驅動串-并聯機器人平面（2-D）和空間（3-D）的正運動學問題并提出基于連續變量優化方法的運動學反解方法。JHU Chirikjian團隊和MIT Dubowsky團隊的研究工作重點放在對其末端位置空間的研究，其姿態問題很少考慮，尤其是二元驅動串并聯機器人末端姿態與結構參數的關系更未考慮。文獻[9]研究了空間并聯機器人末端動平臺位置空間和姿態歐拉角，但并沒有定量的給出驅動腿變化量與結構參數變化關系，因為此關系對機器人末端姿態歐拉角存在與否有重要的影響。在一個二元驅動的離散系統中，工作空間由一系列離散點組成，因此分析離散系統的工作空間即為分析空間內工作點的分布云圖，文獻[10]分析得出結構參數對系統工作空間點分布范圍及系統的精度具有明顯的影響，但是并沒有考慮驅動腿與結構參數取值關系影響末端姿態歐拉角的存在，也未考慮驅動腿變化量與結構參數之間的定量關系。

以平面變幾何桁架機構（VGT）作為二元驅動串并聯機器人基本模塊，研究其正運動學并分析其不同驅動腿變化量對末端位置空間的影響。進一步的研究了不同結構參數對末端姿態的影響，根據上、下平臺之間相對姿態轉角為實數的約束條件，用MATLAB語言編寫正運動學計算公式，求出末端動平臺姿態轉角，對結構參數和驅動腿變化量進行大量的取值計算，得出不同驅動腿變化量對應不同的結構參數的取值范圍。因此得出結論：結構參數的合理取值，可以避免因為結構參數的選取不當，無法求得相應的姿態歐拉角，另外，在執行精度較高的任務場合時，不僅可以通過控制機器人驅動腿變化量來改變末端姿態，還可以同時通過控制改變結構參數值實現機器人末端位姿的變化。

2 VGT正向運動學分析

二元驅動串并聯機構，如圖1所示。共有5個完全相同的模塊組成，且末端執行器位于最高一級模塊平臺中心處。其中每個單元模塊有三條腿，每條腿由氣動驅動，只有兩個穩定狀態。這樣，3條驅動腿，可以實現8種構型，因此，末端執行器所能達到的空間位置將隨模塊串聯數的增加而呈指數增長。五級二元驅動串并聯機器人可以達到的空間位置點數為85，如圖1所示。

圖1 五級二元驅動串并聯機器人Pro/E三維結構簡圖Fig.1 Five-Stage Binary Actuators Series-Parallel Robot of Pro/E Three-Dimensional Structure Diagram

根據機器人機構學的知識，機器人正向運動學表示各關節參數q和結構參數w與機器人末端執行器空間位置的關系[3]，因此機器人的正運動方程可以表示：

式中：x—末端的位置和姿態矢量；w—結構參數，它是根據機器人結構的不同而異，如圖2所示。結構參數為除了驅動腿之外的所有桿件的寬度為w，且w∈—關節參數。

對于N個基本模塊串聯一起構成的二元驅動串并聯機器人離散系統，第i級的關節參數只有兩個狀態qmin、qmax。按照逆時針方向分別標注 3 條驅動腿為 qi，1、qi，2、qi，3，將笛卡爾坐標系原點置于底部桿件中心點處。

圖2 VGT基本模塊Fig.2 VGT Basic Module

離散系統的關節參數是一組離散變量，它的取值是一定數值的集合，該集合表示為qi∈ ｛qmin，qmax｝∈R，因此，對任意關節參數可用公式表示為：

式中：B—數字‘0’和‘1’的集合，B∈｛0，1｝；bi∈B，它表示 B 的子集。

由圖 2 可知，已知每個模塊驅動腿長 qi∈｛qi，1，qi，2，qi，3｝和結構參數，我們的目標是求兩個坐標點 Ai，1（xi，1，yi，1）和 Ai，2（xi，2，yi，2）與驅動腿長之間的方程關系，然后找出上平臺中心點相對于下平臺中心點之間的幾何關系方程式。通過幾何關系我們可以求得：

將方程（3）通過MATLAB編寫程序求解并簡化可得：

第i節機構相對于第i-1節的姿態轉角可以表示為：

那么串聯ith平臺中心點相對基坐標系中心點的絕對姿態轉角可表示為：

我們使用gi-1，i表示Fi相對Fi-1，i機構的齊次變換矩陣：

最終，末端執行器平臺中心坐標FN相對于基坐標系F0中心可以用gi-1，j表示為[4]：

3 二元驅動腿變化量與結構參數分析

根據式（6）編寫MATLAB程序求解圖2單個VGT基本模塊的姿態轉角Δθ。當已知驅動腿變化量Δq時，結構參數在一定范圍內取值，根據平面變幾何桁架結構幾何關系，在工程實際中姿態轉角屬于實數，即Δθ∈R。根據這一約束條件，當已知二元驅動腿qmin和qmax，改變結構參數的值，求取不同的姿態轉角，如果計算出的Δθ值屬于實數，說明w值可取，如果計算出的值屬于復數，w則不可取。進一步的研究驅動腿變化量與結構參數范圍的關系，分別取不同的Δq值，通過編寫MATLAB計算并記錄結果，如表1所示。由于數據太多，只截取四組實驗其中一部分數據。通過表 1（單位為 Cm，i∈［1，…，n］，j=1，2，3）中四組數據，可以發現，結構參數的取值范圍與驅動腿變化量之間有著密切的關系，即：wmin=Δq=qmax-qmin，wmax=2×qmin。在該機構實際應用中，可以根據驅動腿變化量的不同取值，確定機器人結構參數取值范圍，根據這一范圍合理取值，可以避免因為結構參數的選取不當，無法求得相應的姿態轉角。

表1 二元驅動腿變化量與結構參數關系Tab.1 Binary Actuators Stroke of Variation Relationship with Structural Parameters

4 工作空間分析

為了分析該五級二元驅動串并聯機器人末端執行器的位置空間和姿態變化范圍，由式（8）編寫MATLAB程序，可求得圖1末端執行器的位置空間，如圖3所示。以表1中的數據1為例，當結構參數 w=50 時，取驅動腿四組不同值（qi，j=［50，90］，qi，j=［50，80］，qi，j=［50，70］，qi，j=［50，60］），從而改變不同的驅動腿變化量，得出五級二元驅動串并聯機器人末端不同的離散點位置分布云圖。根據式（7），分析圖1末端執行器的姿態，如圖4所示。以表1中的數據1為例，當結構參數w=50時，取驅動腿四組不同值（同上），從而改變不同的驅動腿變化量，可得末端平臺相對基坐標系的絕對姿態轉角的分布云圖。為了進一步的說明結構參數對圖1末端執行器的姿態的影響，如圖5所示。當驅動腿變化量取固定值 qi，j=［50，70］時，取四組不同的結構參數（w=100，w=70，w=40，w=20），可得末端平臺相對基坐標系的絕對姿態轉角的分布云圖。從圖3和圖4中可以得出：當結構參數固定時，末端執行器的位置空間和姿態空間隨著驅動腿變化量的減少而減少。從圖5中可以得出：當驅動腿變化量固定時，末端執行器的姿態空間大小隨著結構參數的減少而增大，然而末端執行器的姿態區間的離散點的密度隨著結構參數的減少而降低。如果該機構應用在精密儀器中，可以通過合理增加結構參數的值使其在姿態區間的離散點的密度增大，從而提高五級二元驅動串并聯機器人作業任務的精度。

圖3 五級二元驅動機器人末端位置點分布云圖Fig.3 Five-Stage Binary Actuators Robot End Location Map

圖4 五級二元驅動機器人末端姿態分布云圖Fig.4 Five-StageBinary Actuators Robot End Posture Map

圖5 五級二元驅動機器人末端姿態分布云圖Fig.5 Five-StageBinary Actuators Robot End Posture Map

5 結論

研究平面變幾何珩架機構的正運動學及驅動腿變化量和結構參數對其工作位置空間和末端位姿的影響，通過改變驅動腿變化量和結構參數的取值，驗證了不同參數對末端工作空間的影響。在工程實際中，姿態轉角屬于實數這一約束條件，研究驅動腿變化量與結構參數取值范圍的關系，經大量計算得出；（1）結構參數最小值等于驅動腿兩個極限位置之差的絕對值，結構參數最大值等于驅動腿極限最小值的兩倍。該結論解決了驅動腿變化量與結構參數的取值問題，定量的分析了其兩者之間的關系，從而可以避免因結構參數盲目取值而無法求得姿態角的問題。通過對其工作空間的分析，從圖3和圖4中可以得出；（2）當結構參數固定時，末端執行器的位置空間和姿態空間隨著驅動腿變化量的減少而減少。從圖5中可以得出；（3）當驅動腿變化量固定時，末端執行器的姿態空間大小隨著結構參數的減少而增大，然而末端執行器的姿態區間的離散點的密度隨著結構參數的減少而降低。如果該機構應用在精密儀器中，可以通過合理增加結構參數的值使其在姿態區間的離散點的密度增大，從而提高五級二元驅動串并聯器人作業任務的精度。以后的研究將會考慮空間串并聯機器人，研究驅動腿與結構參數的關系，平面變幾何珩架機構的驅動腿變化量與結構參數的關系是否也適用于空間并聯機器人結構設計與優化有待進一步的研究，另外，系統的動力學特性，尤其是并聯機構中的轉動關節和氣缸受力情況也是將來研究的一個方面。