3-RPS并聯機器人動力學分析及控制

梁 超，高宏力，彭志文，文 剛

（西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

目前，并聯機器人的機構剛性、承載能力、運動控制性能均優于串聯機器人，故其廣泛應用于醫療器械、武器、并聯床等行業。因此，對并聯機器人的研究是很有必要的[1]。但并聯機器人具有較強的非線性及耦合性的特點，且機構越復雜，自由度越高其耦合性越突出，對其實現高精度控制也越困難[2]。采用的3-RPS并聯機器人是在Stewart六自由度并聯機器人的基礎上發展而來的[3]。具有三個自由度，故其機構的耦合性弱于Stewart，可適用于某些對控制精度要求較高又不需要高自由度的場合[4]。涉及的3-RPS并聯機構分別由三組轉動副、移動副、球面副并聯于上下平臺而構成的[5]。通過改變三個移動副的位移使上平臺產生上下移動、左右搖擺、前后俯仰三個自由度。

并聯機器人具有復雜的數學計算性，其機構多為高自由度、高非線性、高度耦合的特點[6]。目前，主要應用于并聯機器人的建模方法有Lagrange法、Newton-Euler法、Kane法、Gauss法及虛功原理法等[7]。采用Newton-Euler法建立機構的逆動力學模型，并利用Simulink及Simmechanics對模型的準確性進行了驗證。

由于并聯機器人具有很強的非線性及存在未建模誤差，故對其實現高精度控制較為困難。當前廣泛應用于并聯機器人控制算法的有計算力矩控制等[8]，但由于沒有考慮到系統的未建模誤差導致系統的控制精度不高?；贚yapunov理論采用不確定性魯棒控制方法，充分考慮系統的不確定性，基于系統定義的標稱模型設計系統的計算力矩控制方法作為鎮定標稱系統，基于Lyapunov函數設計系統的魯棒補償控制器以補償系統不確定性及為建模誤差引起的系統控制誤差。使用Matlab/Simulink軟件對所設計的魯棒控制系統進行仿真，并與傳統的計算力矩進行了對比試驗，結果證明魯棒控制的控制精度優于計算力矩控制。

2 動力學分析

3-RPS的機構簡圖，如圖1所示。其下平臺A1A2A3位于半徑為R的圓內接等邊三角形的三個頂點，通過轉動副與移動副相連，且轉動副的軸線與圓相切。上平臺B1B2B3位于半徑為r的圓內接等邊三角形的三個頂點，通過球面副與移動副相連。機構動作時，通過驅動移動副的主驅動關節實現上平臺產生上下位移z、左右搖擺α、前后俯仰β三個自由度。

圖1 3-RPS機構簡圖Fig.1 3-RPS Mechanism

2.1 動力學模型的建立

分別以上下平臺的圓心P，O為原點建立動坐標系P-xyz和定坐標系O-XYZ。以向量為Z軸的方向向量為X軸方向，Y軸由右手定則確定。同理確定動坐標系P-xyz。以Ai為原點建支鏈坐標系 A-xyz向量方向為zi軸方向，轉動副的軸線為yi軸。

iiii假設機構的各個構件為剛性體，且忽略各轉動副及移動副間的摩擦阻力。利用Newton-Euler方法構建系統的逆動力學模型[9]；

聯立式（1）～式（3）代入式（4）可得系統的動力學方程：

式中：mp、m2—上平臺及活塞桿的質量和定坐標系下的加速度，g=（0，0，-g）c為重力加速度；F、N—平臺載荷及合外力矩；θi—移動副與動坐標系Z軸的夾角—直支鏈坐標系相對于定坐標系、動坐標系的旋轉矩陣—各球面副中心在上平臺的位置向量—上平臺在動坐標系下的合力矩；Ai—在支鏈坐標系下的合力矩—支鏈 i關于 Ai的合角動量；M（q）—正定慣性矩陣柯氏及向心力矩陣的非線性耦合項；G（q）—重力矩陣，q=（z，α，β）T。

2.2 機構逆動力學仿真模型

Simulink具有邏輯結構清晰、仿真效率高、結構準確且非常適合于動態系統的建模與分析。故通過使用Simulink來構建系統的子函數模塊以及利用Simulink中便利的矩陣運算來實現系統逆動力學方程程序的編寫，方便實現系統仿真運行的高效性及準確性，為進一步系統控制仿真奠定基礎。其逆動力學Simulink模型，如圖2所示。Simmechanics是基于Simulink的機械系統建模軟件，通過約束、驅動其中的關節及移動副等，可實現機構按照預先設定的軌跡進行運動，且Simmechanics中提供了大量的傳感器模塊，為機構的運行監測及反饋控制提供了便利。系統Simmechanics建模示意圖，如圖3所示。

圖2 Simulink系統逆動力學模型Fig.2 Inverse Dynamics Model of Simulink System

圖3 系統Simmechanics建模Fig.3 System Simmechanics Modeling

3 魯棒控制器設計

由式（5）可知并聯機器人是一類具有高耦合性及非線性較強的系統，易受到環境因素及模型不準確的影響。在傳統的計算力矩控制器中通過系統反饋的速度、加速度與輸入的理想速度、加速度之間的差值再基于系統的標稱模型PD調節系統的質量矩陣分項。其忽略了系統本身模型的不確定性及非線性因素。基于Lyapunov函數設計了一種魯棒控制方法，通過在計算力矩控制的基礎上增加一項魯棒控制器，用以抵消由于系統模型的不確定性及非線性而引起的系統穩態誤差，有效的改善了系統的控制精度，通過仿真結果證明了本系統的有效性。

由式（5）考慮具有外部干擾f∈Rn的的動力學方程：

具有如下性質：

性質1對于正定矩陣M（q）及其逆矩陣M-1（q）對?q∈Rn一致有界。

性質2動力系統可通過如下方程表示：

式中：α—系統參數的一個 m 維向量，Y（q，q˙，q¨）—n×m 的矩陣。設計的魯棒控制律為[10]：

由式（8）可知，令：

將式（2）、式（7）、式（8）代入式（6）可得：

在常見的魯棒控制律被應用于機器人控制的文獻中，廣義誤差項常被定義為x=［e，e˙］T，其所定義的誤差方程為2n階，而采用的魯棒控制律設計所定義的誤差方程γ~為n階。

由式（10），選取k2滿足Lyapunov方程

式中：P—正定矩陣，且Q=QT≥0。構造系統的Lyapunov函數為：

則對其時間求導，將（10）式代入可得：

設非線性控制律μ：

由式（11）及系統不確定項φ得：（φ+μ）＜0；

故：V˙（t，x）＜-xTQx＜0

若系統滿足Lyapunov方程，選取k1使得Re［λi（-k1）］＜0，i=1，2，…，n。

因此，由Lyapunov穩定性定理可知采用魯棒控制律（11）可使系統全局穩定。

4 系統仿真算例

對3-RPS并聯機器人的跟蹤誤差進行測量，以檢驗所設計的基于計算力矩鎮定標稱模型的魯棒控制算法的控制性能。因此，通過使用Matlab軟件對文中所設計的控制系統進行了動力學控制系統仿真。系統的物理參數，如表1所示。

表1 系統物理參數Tab.1 System Physical Parameters

根據系統物理參數模型，且符合一般性，設系統的輸入軌跡q 為：q=［0.6+0.1sin（2t），0.15sin（t），0.1sin（t）］T。

根據（6）式所建立的動力學模型，采用2.2節中所建立的Simulink及 Simmechanics系統仿真模型，采用式（8）、式（11）基于計算力矩鎮定控制的魯棒控制律，設計系統的控制算法。并設計了系統的計算力矩S控制器。對比了計算力矩和所設計的控制算法對理想軌跡的跟蹤精度。其仿真結果，如圖4所示。

圖4 Z方向的跟蹤軌跡Fig.4 Tracking Trajectory of Z Direction

由圖4可知，系統在采用計算力矩控制時，在Z方向的最大誤差精度為2.13%，在α及β角方向的跟蹤誤差分別為1.67%、1.15%；采用所設計的魯棒控制律，在Z方向的最大誤差精度為0.47%，在α及β角方向的跟蹤誤差分別為1.46%、0.92%，如圖5、圖6所示。因此基于計算力矩標稱鎮定的魯棒性控制系統，在計算力矩的基礎上進一步提高了系統的控制精度。尤其是其在Z方向的跟蹤誤差具有較為顯著的改善，因為當系統在Z方向移動時，通過直接檢測上平臺的位移信號值即可，對Z方向的誤差的敏感度較高故在較小位移誤差的條件下仍能達到較高的控制精度。而上平臺檢測到的角度是通過各個活塞桿間位移差來實現，其對角度誤差的敏感度較低。

圖5 α角跟蹤軌跡Fig.5 α Angular Tracking

圖6 β角跟蹤軌跡Fig.6 β Angular Tracking

5 結論

運用Newton-Euler方法構建對3-RPS并聯機器人的逆動力學模型，并對其進行逆動力學控制，比較了當前常用于并聯機器人的計算力矩控制策略與基于計算力矩標稱鎮定的魯棒控制策略。經仿真驗證得，所采用的基于計算力矩標稱鎮定的魯棒控制策略，所設計的魯棒控制器對于控制3-RPS并聯機器人的穩定誤差精度優于計算力矩控制；基于計算力矩策略的魯棒控制模型充分考慮了系統動力學標稱模型而引起的系統未建模誤差，優化了系統動力學模型；在檢測上平臺的位姿時改進了檢測方法：通過對3-RPS并聯機器人上平臺位姿進行直接檢測，而非采用傳統的通過檢測移動副的位移換算而得到系統平臺的位姿，有利于對平臺的位姿進行監測控制。