廣義平均距離公式在結構優化中的應用研究

崔爭爭，楊曉翔

（福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350000）

1 引言

結構優化的幾種類型中，拓撲優化能對材料做出刪減，保留必要的材料剩下的即為最佳傳力路徑[1]。因為在概念設計初期階段中，找出合理的材料布局是非常重要的，因此拓撲優化也是最具有挑戰性的一個研究方向[2]。

現在對結構拓撲優化大多數集中在單目標的拓撲優化問題上，然而在實際工程中大多數是多目標優化問題[3-4]，比如最常見的需滿足多工況結構剛度最大和動態特性的前幾階模態頻率最大等，因此建立單目標模型就無法滿足實際工程需要了。在多目標優化問題中，一方面很多人根據多年的經驗然后對結構做出改進，這樣一來勢必會有一定的不科學性和較大誤差的出現；另一方面就是用數學規劃法對多個目標進行適當加權從而將多目標優化問題轉化為單目標優化問題，以此建立起數學模型進行求解。文獻[5]采用折衷規劃法將動態特性的模態頻率和靜態特性的剛度結合起來建立數學模型應用在汽車車架上，最后既提高了動態特性的前幾階模態頻率，也提高了結構剛度；文獻[6]也將應變能最小和動態頻率最大為目標建立數學模型應用在龍門導軌磨床立柱的優化上，同樣得到了理想結果；文獻[7]以靜態剛度和振動頻率為目標對裝載機機罩進行了多目標結構優化，最后既提高了結構的動、靜特性，又減輕了結構的重量。以上都是應用多目標模型解決實際的范例。然而，在結構優化中由于靜態特性的結構柔度和動態特性的模態頻率的數值不是一個數量級的[8]，在hyperworks中optistruct模塊對結構做優化時，是利用加權然后再使用一個標準化系數的方法。將廣義平均距離公式應用在多目標函數的構建上，構建出不同形式的剛度優化數學模型和動態頻率的拓撲優化數學模型，最后綜合出多種形式的綜合目標函數，為構建多目標優化設計問題提供了思路。

2 廣義平均距離公式

（1）由于結構的固有頻率在結構優化過程中會出現振蕩交替現象：當第一階固有頻率提高時，而其他階頻率反而出現下降現象，因此文獻[9]提出了平均特征值公式很好地應用在結構優化中，根據其平均特征值公式的思想概括出下面的廣義平均距離公式的方法：

式中：a和α—調整參數，根據目標函數的意義適當設定；xni（i=1，2，…，n）—各個單目標函數值；x0i（i=1，2，…，n）—給定的參數值；wi（i=1，2，…，n）—各個目標函數所占的權重，根據實際情況人為設定；p—歐式度量，用來度量xni與x0i之間的距離。

（2）對廣義平均距離公式中p的不同取值進行簡單討論。

當p為正數時，全部假設a=0，α=1，然后討論其他參數：

①當x0i≠0，p為奇數時，比如p=1，即變為：

此式意義在于所有xni與x0i的相對加權距離之和，也即Manhattan距離。

②當x0i≠0，p為偶數時，比如p=2，即變為：

函數的意義為xni與x0i之間的加權幾何距離，也即Euclidean距離。

③當x0i=0，p為奇數，特別地p=1時即變為：

此式即為常見的線性加權法，意義即為xni與0之間的線性加權距離之和。

當p為負數時：

①當p為負奇數時，比如p=-1，即變為：

此式即為平均頻率特征值公式，使y最大就是使xni遠離x0i，使y最小就是使xni靠近x0i。

②當p為負偶數時，比如p=-2，即變為：

此函數使y最大就是使xni遠離x0i，使y最小就是使xni靠近x0i。

當p為負數是，無論為負奇數還是負偶數，理論上意義相同，單特別地當p為-1時即為平均頻率公式的由來，還有就是當p為負偶數或者負奇數時使得在構成目標函數的形式上不同。

3 理論應用

對于多目標優化問題，即可應用上面理論，然后將動態特性的模態頻率與靜態特性的柔度結合起來建立數學模型。

3.1 多工況剛度優化數學模型

通常把剛度最大問題轉化為柔度最小問題來研究。在多工況情況下，以柔度最小為目標，不同的工況對應著不同的最優優化結構。結合平均距離公式，以多工況下柔度最小的結構優化數學模型為：

式中：C（ρ）—平均柔度；C0、α—調整參數；wi—各工況的權重值；m—工況總數；Ci（ρ）—各工況下的柔度目標函數；Ci—給定數值；p—懲罰因子，p≥2；V—優化后的體積；Δ—體積分數；V0—優化前體積；C—結構柔度；U—位移向量；K—結構總剛度矩陣。

為了使結構柔度越來越小，根據p的取值不同來建立數學模型，假設C0=0，α=1，并令p=2，p=-1為例，可建立以下四種柔度最小的目標函數：

3.2 動態頻率拓撲優化數學模型

在動態頻率拓撲優化中，經常會出現一個現象：使前幾階模態頻率提高時，其他階模態頻率就會下降，即出現交替互換現象，為避免此種現象，結合平均距離公式可得到動態頻率優化數學模型：

式中：f（ρ）—平均頻率；f1、α—調整參數；m—優化固有頻率階數；fi（ρ）—各階固有頻率目標函數；fi—給定值；M—總質量矩陣；—第j階特征值對應的特征向量。

為了使各階模態頻率越來越大，同樣根據p的取值不同來建立其不同的數學模型，假設f1=0，α=1，并令p=2，p=-1為例，可建立以下四種模態頻率越來越大的目標函數：

3.3 同時考慮剛度和頻率要求的多目標拓撲優化目標函數

因為柔度和頻率相互制約，其數值也不是一個數量級，為了統一數量級采用以下方法將兩目標函數結合起來得到綜合目標函數：

結合以上平均柔度、平均頻率的目標函數，各四種形式，可得到16種綜合目標函數，這里列出其中四種形式：

目標函數一：

目標函數三：

4 實例驗證

以一個汽車懸掛系統的擺臂結構為研究對象，以有限元軟件hyperworks為分析平臺進行結構優化，在拓撲優化中，optistruct以SIMP方法引入一種假想的相對密度在（0～1）之間可變的材料，人為假定相對密度和材料彈性模型之間具有特定關系[10]，在給定的材料和約束條件下尋找最佳力傳遞路徑，最終得到最優結構。

建立擺臂的有限元模型，如圖1所示。設計區域已在圖中標出；材料彈性模型為160GPa，泊松比為0.25，密度為7.1kg/m3，體積分數約束上限為40%；分為制動和轉彎兩個工況，兩種工況情況下受力情況，如表1所示。

表1 工況與受力情況Tab.1 Working Conditions and Stress Conditions

圖1 擺臂有限元模型Fig.1 Finite Element Model of Swing Arm

利用上述列出的四種目標函數對結構進行拓撲優化。其中選取兩個工況的權重值都一樣，以及優化的前兩階模態頻率的權重值分別為0.6、0.4。

4.1 優化過程

表2 單工況情況下柔度優化結果（N·mm）Tab.2 The Flexibility of Single Condition Optimization（N·mm）

表3 單階固有頻率優化結果（Hz）Tab.3 Single Order Natural Frequency Optimization（Hz）

再以平均柔度和平均頻率最優求出Cmax、Cmin、fmax、fmin結果，如表4所示。

表4 以平均柔度和平均頻率最優優化結果Tab.4 The Average Compliance and Average Frequency Optimal Results

4.2 優化結果

對應目標函數一、目標函數二、目標函數三、目標函數四的最后優化的拓撲結構，如圖2（a）～圖2（d）所示。四種目標函數的組合應變能隨迭代次數的變化曲線，如圖3所示。四種目標函數最后優化的模態頻率隨迭代次數的變化曲線，如圖4（a）～圖4（d）所示。最后的優化結果模態頻率和優化前后各工況柔度對比，如表5、表6所示。

圖2 優化結果Fig.2 The Optimization Results

圖3 各目標函數組合應變能指標函數迭代歷程Fig.3 The Iterative Process of the Objective Function Combined Strain Energy Index Function

圖4 優化參數隨迭代次數的變化曲線Fig.4 The Curve of the Optimization Parameters with the Number of Iterations

表5 優化后各階固有頻率（Hz）結果對比及增長百分比Tab.5 Comparison of the Natural Frequency Results After Optimization and Growth Percentage

表中：百分比=（優化后值-優化前值）/優化前 值×100%

表6 優化前后各工況柔度結果對比（N·mm）Tab.6 The Operating Flexibility Results Compared Before and After Optimization

從圖3的組合應變能迭代歷程來看，因為構造的的目標函數形式不同，迭代次數也不相同，但最后的柔度值都趨于平穩，都趨近于0，迭代過程中也實現了各工況柔度值的最小化和各階固有頻率的最大化，最后實現了多工況柔度最小化和多階固有頻率最大化的多目標問題。

從表5和表6的數值結果來看，列出的四種數學目標函數模型無論從模態頻率結果上還是從各最后的柔度數值上看都是大致雷同；優化后各階頻率都得到了相應的提高，各工況柔度值也得到了較小。從以上分析看出廣義平均距離公式思想在構建多目標結構優化的優化問題上的可行性，也體現出了它的靈活多變性。

5 結論

（1）利用平均距離公式理論，對其中的參數賦予不同的數值，分別構造出4中靜態特性的目標函數和動態特性的目標函數，基于各目標函數建立起最終的綜合目標函數。（2）以擺臂為例，對所構建的多種綜合目標函數調出4中進行驗證，在結果上做了簡單分析。（3）從模擬數據分析看出最后都很好地得到了柔度值最小化和固有頻率最大化的目的，并且在數值上大致相同，驗證了廣義平均距離公式理論在構建多目標優化問題上的可行性和靈活性，對實際工程的優化問題具有一定的指導意義。