空間萬向傳動當量夾角的計算和優化設計

田中旭，祁 平，高學峰

（1.上海海洋大學 工程學院，上海 201306；2.中國北方發動機研究所，山西 大同 037036；3.蒂森克虜伯汽車系統計算有限公司，上海 201201）

1 引言

十字軸萬向節因其可靠性高，成本低廉，仍得到了廣泛的應用。當前，含萬向節的傳動軸在運動學[1]與強度[2]方面仍然存在很多值得研究的問題，這些問題的關鍵點在于萬向節兩側的傳動軸存在一定夾角。在含多萬向節的傳動軸中，綜合評價傳動軸布置的參數就是當量夾角[3]。在萬向節傳動當量夾角不為零時，傳動軸的轉速將產生波動[4-5]，同時還在傳動軸上產生波動附加彎矩作用[6]。轉速的波動會引起傳動系統的齒輪嚙合沖擊和噪聲，影響其可靠性；附加彎矩則會引起傳動軸中間支撐的振動，會進一步引起設備或車輛的振動和噪聲[7]，同時也易引起傳動軸本身的彎曲振動。因此，傳動軸當量夾角的設計和控制，是傳動軸布置中最為重要的指標之一[8]。而當量夾角的準確計算則是傳動軸設計和優化的前提和基礎。含多萬向節的傳動軸布置往往因各種條件限制，不完全在同一個平面內，即形成了一種空間布置。此時，當量夾角的計算會變得復雜，也非常容易出現計算錯誤，難以為傳動軸的設計提供有利支持，同時為進一步的傳動軸布置優化帶來風險[9-10]。

文獻[3，11]給出了兩種準確的當量夾角計算公式，然而在應用中，準確計算當量夾角仍然非常困難，其主要原因在于，實際傳動軸布置的描述方式，與當量夾角計算中的初相位和傳動軸的夾角參數不一致，在計算這些參數時常常產生錯誤。首先，因傳動軸空間布置，使得傳動軸的真實夾角計算變得復雜；其次，計算當量夾角所需的各個萬向節叉初相位，已經不能再簡單由傳動軸兩側萬向節叉的相位關系來依次確定，應該由真實的空間位置來準確計算。目前，還未發現在精確計算萬向節叉初相位和傳動軸空間夾角計算上的當量夾角計算模型，人們多采用傳動軸兩側萬向節叉的相位關系和傳動軸在豎直面內的夾角，來直接給定這些參數，常常帶來較大計算誤差。依據傳動軸設計習慣，研究了當量夾角相關參數的描述和計算方法，并在此基礎上研究了空間當量夾角的計算方法和驗證手段，并給出傳動軸最優布置計算方法，為傳動軸的設計提供了可靠的計算基礎。

2 傳動軸布置的描述方法

在傳動軸設計中，一般給出了傳動軸吊架或支架、變速箱等動力輸入端、傳動軸的動力輸出端等位置坐標；在傳動軸萬向節叉的方向方面，一般給出每跟傳動軸兩側萬向節叉平面的角度，并在多實際中采用兩側叉平面為0°和90°兩種方式的傳動軸。

對于由主動軸i和從動軸i+1組成的某萬向節i，如圖1所示。設主動軸萬向節叉所在平面為Bi，從動軸萬向節差所在平面為Bi+1，平面Ai和平面Ai+1為兩豎直平面，并分別包含主動軸和從動軸軸線。在當量夾角的計算過程中，為了對傳動軸布置進行準確描述，這里給出如下方式描述傳動軸的布置（其中動力傳動的方向為x軸方向）：（1）對于由n個傳動軸組成的傳動軸系統的位置和方向，采用各個萬向節十字軸中心坐標（xi，yi，zi）（i=0，1，…，n）來描述，其中在傳動軸系兩側的輸入軸和輸出軸上各增加一個點（0點和n點），即（x0，y0，z0）和（xn+1，yn+1，zn+1），用來表達輸入軸和輸出軸的方向。（2）采用各個萬向節主動叉平面Bi與豎直面Ai所成的角度βi（i=1，2，…，n），來表達萬向節叉的方向，其中沿傳動方向導前為正，導后為負。因傳動方向非常接近x方向，所以如此表達萬向節主動叉平面具有非常高的精度，而且計算起來非常方便，當知道第一個叉平面與豎直面所成角度，以及各個傳動軸兩側叉的角度，便可準確計算出各個βi（i=1，2，…，n），以后的計算和驗證中也證實了這一點。

圖1 萬向節示意圖Fig.1 Sketch Figure of Universal Joint

3 傳動軸空間當量夾角的計算

文獻[11]針對空間布置的多萬向節傳動軸，通過輸入軸與輸出軸之間的運動學關系分析，導出了空間傳動軸當量夾角θe的計算公式

式中：θi—第i個萬向節兩側的主從動軸之間的夾角（i和i+1之間的夾角）；αi—第i個萬向節初相位，即主動叉平面Bi與兩側傳動軸的軸線（i和i+1）所成平面夾角，導前為正，導后為負。因此，計算當量夾角的關鍵便是計算各個θi和αi，以下將給出具體計算方法。

各傳動軸的軸線單位矢量為：

式中：li—傳動軸的長度，其計算公式為：

則對各個萬向節兩側傳動軸夾角θi有：

在計算中，如果θi足夠小，則萬向結兩側可以認為是一根傳動軸，轉速也不會波動，此時只需令θi=αi=0即可。

以下計算各個萬向節初相位。根據βi（i=1，2，…，n）的定義，可得到主動叉平面法線單位矢量ti為：

主動軸和從動軸所在平面的單位法矢量為：

則初相位角可以如下求出：

式中：i—x向單位矢量。（7）式中的第一個因式起到了取符號的作用，即沿x正向，并按右手定則，導前為正，導后為負。

計算出各個軸線的夾角和初相位后，應用式（1）便可計算出傳動軸的當量夾角。

4 當量夾角算法的運動學仿真驗證

由于試驗方法受到諸多條件限制，而且測量也會帶來難以預期的誤差。因采用動力學仿真軟件，進行傳動軸的運動學仿真可得到近似精確的運動學關系，可以方便地對當量夾角算法進行驗證，即通過運動學仿真檢驗傳動軸系統輸入和輸出轉速之間是否滿足

式中：ω1、ω2max和 ω2min—輸入轉速、輸出轉速最大值、輸出轉速最小值。

采用了UGMotion來實現傳動軸的運動學仿真，來進行當量夾角計算的驗證。某商用車傳動軸當量夾角計算和仿真結果的比較，如表1所示。其中，也給出了當前企業常用的幾種方法得出的計算結果。該傳動軸系統含三個萬向節，其傳動軸布置參數，如表2所示。

表1 各算法當量夾角計算結果Tab.1 Calculation Results of Equivalent Angle of Each Algorithm

表2 某商用車傳動軸布置參數Tab.2 Parameters of a Commercial Vehicle Transmission Shaft

對于企業常用的三種常用的算法說明如下：

4.1 X-Z平面投影法

X-Z平面投影法是把空間傳動軸布置，看成xz平面內的平面布置，初相位以傳動軸兩側萬向節叉的相位作為初相位的直接計算依據，誤差來原因在于沒有考慮到傳動軸的空間布置。

4.2 空間I算法

和X-Z平面投影法唯一的區別就是使用了軸線的空間夾角代替平面夾角，計算精度有所提高，但初相位的計算還是和X-Z平面投影法一樣，誤差在所難免。

4.3 空間II算法

空間II算法和空間I算法的唯一差別就是初相位的計算上。空間II算法上考慮了萬向節導前角對初相位的影響。但依然沒有照初相位的定義來進行計算，同樣可能產生不可估量的誤差。由表2的計算結果可以看到，不采用更為準確的當量夾角計算方法，常常會產生比較大的誤差，這里建議采用給出的計算方法，已獲得比較高的計算精度。

5 傳動軸的優化布置計算

在傳動軸設計中，可調整的主要是中間支撐點的位置[12]，它決定了附近萬向節的位置和傳動軸的長度，這里采用萬向節十字軸中心坐標為優化設計變量，并考慮傳動軸兩側萬向節叉的各種相位角[13]情況對當量夾角的影響。這里以上節給出的商用車傳動軸設計為例，尋求最優的傳動軸設計方案。在傳動軸設計時，設計目標是當量夾角盡可能小同時，同時需要兼顧空載、滿載等情況，可如下設計優化的目標

式中：θek、θem—空載和滿載情況下的當量夾角；Wk、Wm—空載和滿載情況下的權系數，可根據兩種情況下的側重程度取值。

因傳動軸優化布置時，還存諸多約束和限制，如對各個設計參數采用取整，中間支撐安裝限制等。其中比較重要的方面是單個傳動軸不要過長，以免其彎曲振動固有頻率過低。在傳動軸數量固定的情況下，傳動軸長度約束條件可如下表達：

式中：Li—任意傳動軸長度；L—傳動軸的傳動距離；n—傳動軸數。其中，r—閾值，其確定依據為：當傳動軸長度為L/n+r以下，傳動軸最小固有頻率滿足傳動系統要求。

而且算法效率比較高情況，所以可采用全區間掃描的方式，尋求更優的設計參數，而且結果非常可靠。經過掃描，給出了新的布置方案：第二萬向節十字軸中心坐標為（2746，5，299），兩個傳動軸兩側萬向節叉相位角度均為。優化前后的當量夾角，如表3所示。可以看出，改進后的傳動軸布置，使得當量夾角大幅度縮小。

表3 改進前后的當量夾角Tab.3 The Equivalent Angle Before and After the Improvement

6 小結

在傳動軸當量夾角的計算中，如傳動軸空間布置，則給傳動軸當量夾角計算帶來困難，當前常用的方法易得到不準確的計算結果。而影響計算精度的根源在于，傳動軸的夾角和初相位嚴格準確的描述和計算。給出非常精確的當量夾角計算方法，并給出了傳動軸最優設計方案的計算方法。算例表明，算法對傳動軸當量夾角的計算和優化布置是非常有效的。