空間解析幾何上線性方程組的應用

呂曉蝶　陳滔

摘 要 線性代數主要是對線性方程組進行研究，在生活實踐中，線性方程組廣泛的應用于各個領域，如經濟學、物理學等，本文通過典型例題詳細介紹了線性方程組在空間解析幾何上的應用。

關鍵詞 線性方程組 解析幾何 例題

中圖分類號：O151.26 文獻標識碼：A

例1：判斷直線，與的位置關系。

解：將這兩個直線方程合并成一個線性方程組即：

其增廣矩陣是

在對該增廣矩陣施行初等行變換

則系數矩陣的秩，增廣矩陣的秩，所以就有，故這兩條直線是異面直線。

例2：討論下列三個平面的位置關系：

，

，

，

其中是參數。

解：這三個平面是否有公共交點，取決于下面的方程組是否有解：

（1）

計算線性方程組的行列式。所以就有，若且，則該線性方程組有唯一解。所以，三平面有唯一的公共交點，且交點可以對式（1）用克萊姆法則求得。

若，對式（1）的增廣矩陣施行初等行變換即：

因此，當時，式（1）無解；

當時，式（1）有解，從而三平面有公共交點；

當時，對（1）的增廣矩陣施行初等行變換：

由最后一個矩陣的第二行可知，式（1）無解，所以，三平面無公共點。

當，時，根據式（2）不難求出式（2）的通解即：

，是任意實數。

因此，這三個平面的交線是過點（2，0，2），以（1，-1，0）是方向向量的直線。

綜上歸納以上討論得：

且時，三平面相交于一點；

或且時無公共交點；

且時三平面相交于一條直線。

參考文獻

[1] 涂道新，張光裕.線性代數[M].高等教育出版社，2008.

[2] 陳東升.線性代數與空間解析幾何及其應用[M].高等教育出版社，2010.