正項級數斂散性判別法的研究

摘 要：級數是研究函數的重要工具，正項級數是級數的重要組成部分。正項級數的斂散性判別對于級數的研究是至關重要的。本文在已有結論的基礎之上結合一些例題歸納總結了正項級數斂散性判別的幾種基本方法和判別技巧。

關鍵詞：級數；正項級數；斂散性；判別法；技巧

一、 引言

作為數學分析中一個非常重要的理論，級數是表示函數，研究函數的性質以及進行數值計算的一種工具。在各種級數中，正項級數是最基本的，也是十分重要的一種級數。研究正項級數的主要問題是判別正項級數的斂散性。為此，本文歸納總結了正項級數斂散性的一些判別法，希望對數學分析的學習有一定的促進作用。

二、 幾種基本判別法

（一） 定義判別法

定義1：正項級數∑∞n=1un的前n項和的極限值存在，則級數收斂。

（二） 定理判別法

定理1：級數收斂的必要條件：若級數∑∞n=1an收斂，則limn→∞an=0，反之不成立。

定理1的逆否命題：若limn→∞an≠0，則級數∑∞n=1an發散。

（三） 比較判別法

定理2：設∑un與∑vn是兩個正項級數，若N*對n>N，有un≤vn，

則：（1） 若級數∑vn收斂，則級數∑un也收斂；

（2） 若級數∑vn發散，則級數∑un也發散。

推論：設∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正項級數，若limn→∞unvn=l，

則：（1） 當0

（2） 當l=0時，且級數∑∞n=1vn收斂時，級數∑∞n=1un也收斂；

（3） 當l=+∞時，且級數∑∞n=1vn收斂時，級數∑∞n=1un也發散。

（四） 比式判別法

定理3：設∑un為正項級數，有某正數N0及常數q（0

（1） 若對一切n>N0，成立不等式un+1un≤q，則級數∑un收斂；

（2） 若對一切n>N0，成立不等式un+1un≥1，則級數∑un發散。

推論1：若∑un為正項級數，且limn→∞un+1un=q，

則：（1） 當q<1時，級數∑un收斂；（2） 當q>1或q=+∞時，級數∑un發散。

推論2：設∑un為正項級數，且limn→∞nun=l，

則：（1） 當l<1時，級數∑un收斂；（2） 當l>1時，級數∑un發散。

（五） 根式判別法

定理4：設∑un為正項級數，有某正數N0及常數l，

（1） 若對一切n>N0，成立不等式nun≤l<1，則級數∑un收斂；

（2） 若對一切n>N0，成立不等式nun≥1，則級數∑un發散。

推論1：設∑un為正項級數，limnun=l，

則：（1） 當l<1時，級數∑un收斂；

（2） 當l>1時，級數∑un發散；

（3） 當l=1，級數∑un的收斂性不定。

推論2：設∑un為正項級數，

（1） 若limn→∞un+1un=q<1，則級數收斂；

（2） 若limn→∞un+1un=q>1，則級數發散。

（六） 高斯判別法

定理5：設an+1an=1-pn+θnn1-μθn，有界μ>0，則當p>0時，∑∞n=1an收斂；當p≤1時，∑∞n=1an發散。

（七） 拉貝判別法

定理6：設∑an為正項級數，且存在某正整數N0，常數r，

（1） 若對一切n>N0成立不等式n1-an+1an≥r>1，則級數∑an收斂。

（2） 若對一切n>N0成立不等式n1-an+1an≤1，則級數∑an發散。

推論：設∑an是正項級數，且極限limn→∞n1-an+1an=r存在，則：（1） 當r>1時，級數∑an收斂；（2）當r<1時，級數∑an發散。

三、 正項級數斂散性的判別技巧

（一） 用等價無窮小量代換

例1 判別級數∑∞n=1n1n2+1-1的斂散性。

解：此為正項級數，由于n→∞時，n1n2+1-1=elnnn2+1-1～lnnn2+1<1n32。

而∑∞n=11n32收斂，所以∑∞n=1n1n2+1-1收斂。

（二） 利用泰勒公式

例2 判別級數∑∞n=2（-1）n[n+（-1）n]p（p>0）的斂散性

解：由泰勒公式（1+x）α=1+αx+o（x）知

（-1）n[n+（-1）n]p=（-1）nnp1+（-1）nn-p=（-1）nnp1-p（-1）nnp+o1n

=（-1）nnp-pnp+1+o1np+1

而∑∞n=2（-1）nnp當01時絕對收斂；

∑∞n=2pnp+1與∑∞n=21np+1當p>0時絕對收斂。

所以，當00）條件收斂；當p>1時，絕對收斂。

（三） 利用洛必達法則

例3 判別級數∑∞n=11-lnnnn的斂散性

解：un=1-lnnnn=enln1-lnnn，

limn→∞un1n=limn→∞nun=limn→∞elnn+nln1-lnnn，

令x=1n，則lnn+nln1-lnnn=-lnx+1xln（1+xlnx），由洛必達法則得

limx→0-xlnx+ln（1+xlnx）x=0，故limn→∞un1n=1。

由∑∞n=11n發散知，∑∞n=1un發散。

四、 總結

要想用最簡便的方法解決正項級數斂散性判別問題，需要了解和掌握對其中常見的判別法，做到靈活運用。總之，在對其斂散性進行判別時要從正項級數和判別法的特點出發，選擇最恰當的方法對其進行判別。

參考文獻：

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[3]楊鐘玄.對正項級數斂散性判別法的關系的一些探討[N].新疆大學學報（自然科學版），2002，19（3）：266-271.

作者簡介：

姜畔，吉林省長春市，吉林師范大學。