某工程無(wú)樓板支承的樓梯間剪力墻穩(wěn)定性分析

陳 柯 郟建磊 楊健兵 張 弛 管前黔

(成都基準(zhǔn)方中建筑設(shè)計(jì)有限公司,成都 610011)

0 引 言

高層住宅設(shè)計(jì)中,采用《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(以下簡(jiǎn)稱《高規(guī)》)附錄D驗(yàn)算樓梯間處剪力墻穩(wěn)定性時(shí),經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定性驗(yàn)算不過(guò)的情況。特別是當(dāng)樓梯間設(shè)置在外側(cè),這時(shí)樓梯間剪力墻沒(méi)有樓層板的支撐作用,按照《高規(guī)》附錄D的要求,該剪力墻的計(jì)算高度為全樓通高,這樣剪力墻穩(wěn)定性驗(yàn)算肯定是不滿足的。但如果考慮了梯段斜板對(duì)于剪力墻的支撐作用,剪力墻的計(jì)算高度為上下梯段的距離,墻體穩(wěn)定性得到大大改善。本文通過(guò)有限元方法驗(yàn)證了梯板對(duì)剪力墻的支撐作用,在計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),即使考慮了較大的初始幾何缺陷,剪力墻仍然先發(fā)生強(qiáng)度破壞,混凝土被壓潰,但并未發(fā)生失穩(wěn)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 《高規(guī)》關(guān)于剪力墻穩(wěn)定性的規(guī)定

根據(jù)國(guó)內(nèi)研究成果并與德國(guó)《混凝土與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和施工規(guī)范》(DIN1045)的比較表明,對(duì)不同支承條件彈性墻肢的臨界荷載,可表達(dá)為統(tǒng)一形式:

(1)

式中:計(jì)算長(zhǎng)度l0取為βh,β為計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù),可根據(jù)墻肢的支承條件確定;h為層高。

1.2 特征值屈曲分析

特征值屈曲是以剛度矩陣的特征值為研究對(duì)象,特征值是理想的材料線性和幾何線性結(jié)構(gòu)理論屈曲強(qiáng)度,采用經(jīng)典歐拉壓桿失穩(wěn)法分析方法進(jìn)行分析,在有限元中采用的是特征值求解器。

特征值屈曲求解原理是,通過(guò)求解結(jié)構(gòu)剛度矩陣特征值λ,再用特征值λ乘以所加荷載Q,得到屈曲臨界載荷。在特征值求解器中,定義在特征值屈曲預(yù)測(cè)分析步中遞增載荷Q的幅值大小不重要,因?yàn)镼會(huì)被相應(yīng)的載荷乘數(shù)λ縮放。

針對(duì)線性特征值屈曲分析,特征值求解器一般自帶兩種特征值求解方法:盧卡斯(Lanczos)和子空間(Subspace)迭代。

當(dāng)一個(gè)多自由度系統(tǒng)需要求解許多特征模態(tài)時(shí),Lanczos方法通常比較快,但當(dāng)少于20個(gè)特征模態(tài)需要求解時(shí),Subspace方法更快。

1.3 非線性屈曲分析(弧長(zhǎng)法)

特征值分析是一種材料線性和幾何線性結(jié)構(gòu)的理論解。但是由于焊接應(yīng)力、溫度應(yīng)力、安裝誤差、加工誤差等因素的影響,現(xiàn)實(shí)中的結(jié)構(gòu)都會(huì)存在一定的初始缺陷,其屈曲臨界載荷與特征值理論解肯定存在一定的差別。另外,由特征值屈曲分析是材料線性和幾何線性的,它不可以考慮構(gòu)件的材料非線性和幾何非線性,如果在發(fā)生屈曲之前部分構(gòu)件進(jìn)入塑性狀態(tài),那么特征值屈曲也是無(wú)法模擬的。所以必須利用非線性有限元理論對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行考慮初始幾何缺陷、材料彈塑性等實(shí)際因素的穩(wěn)定性分析。

目前應(yīng)用較多的是利用弧長(zhǎng)法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行“荷載-位移”全過(guò)程跟蹤技術(shù),來(lái)達(dá)到計(jì)算結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定承載力的目的。使用弧長(zhǎng)法,能夠建立不穩(wěn)定響應(yīng)段的靜力平衡狀態(tài),此方法適用于載荷為比例加載,即載荷大小由一個(gè)標(biāo)量參數(shù)控制。即便是復(fù)雜的不穩(wěn)定響應(yīng),應(yīng)用此方法也能求解。

弧長(zhǎng)法本質(zhì)上就是靜力問(wèn)題求解,通過(guò)附加一個(gè)約束方程,就可以應(yīng)用疊代方法求解收斂點(diǎn),但是,如果疊代方向判斷錯(cuò)誤,將導(dǎo)致所謂的跟蹤返回現(xiàn)象,因此疊代方向的判別法對(duì)于弧長(zhǎng)算法非常重要,其關(guān)鍵點(diǎn)就是對(duì)每一增量步的最初疊代方向的判別。

圖1描述了弧長(zhǎng)法疊代非線性求解的收斂過(guò)程。其計(jì)算的具體過(guò)程如下:

(1) 以增量形式逐漸施加載荷。

(2) 在每一載荷增量中完成平衡疊代來(lái)使增量求解達(dá)到平衡。

(3) 求解平衡方程:

[KT]{Δu}=λ{(lán)Fn}-{Fnr}

(2)

式中:[KT]為切線剛度矩陣;{Δu}為位移增量;{Fn}為外部載荷向量;{Fnr}為內(nèi)部力向量;λ(-1<λ<1)為載荷因子。

其中,位移增量{Δu}與載荷因子λ通過(guò)弧長(zhǎng)半徑l相聯(lián)系,其約束方程為:

(3)

(4) 進(jìn)行疊代,直到λ{(lán)Fn}-{Fnr}在允許的范圍內(nèi)。

圖1 弧長(zhǎng)法的收斂過(guò)程Fig.1 Convergence of riks method

2 工程概況

某超限高層住宅,底層層高為5.6 m,全樓高度146.75 m。樓梯間設(shè)置在外側(cè),樓梯間外側(cè)剪力墻無(wú)樓層板的支承作用,按照《高規(guī)》附錄D,穩(wěn)定性計(jì)算高度為全樓通高146.75 m。墻體兩邊開(kāi)洞,底層墻體墻厚250 mm,墻體軸力設(shè)計(jì)值為2 457.8 kN/m2,如圖2所示。

圖2 一層樓梯平面布置圖Fig.2 First floor plan of stairs

采用《高規(guī)》附錄D計(jì)算該剪力墻的穩(wěn)定性。當(dāng)不考慮梯段斜板對(duì)墻體的支撐作用時(shí),剪力墻無(wú)支撐高度為全樓通高,不滿足規(guī)范要求。當(dāng)考慮梯段斜板對(duì)墻體的支撐作用時(shí),剪力墻無(wú)支撐高度為2.8 m,qcr2=7 175 kN/m2>2 457.8 kN/m2滿足規(guī)范要求。

表1《高規(guī)》的墻體穩(wěn)定性驗(yàn)算結(jié)果

Table 1Wall stability check results in Technical Specification for Concrete Structures of Tall Building

3 墻體的簡(jiǎn)化模型分析

將該樓梯間簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支板:

1) 簡(jiǎn)化模型一:墻高146.75 m;

2) 簡(jiǎn)化模型二:墻高2.8 m。

模型一和模型二:寬度為7.6 mn,墻厚250 mm,混凝土C60,E=36×109N/m2,邊界條件為四邊簡(jiǎn)支。

首先根據(jù)彈性薄板穩(wěn)定性理論公式求解。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:b為板的寬度;k為屈曲系數(shù);D為單位寬度板的彎曲剛度;m為半波數(shù)(屈曲形狀)。

理論公式計(jì)算結(jié)果:

1) 模型一:k=4,m=17,Ncr=32 040 kN/m;

2) 模型二:k=9.949,m=1,Ncr=76 015 kN/m。

在求解過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn):對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板,當(dāng)墻高大于墻寬時(shí),失穩(wěn)臨界荷載與墻高無(wú)關(guān),與墻寬有關(guān),即146.75 m高的墻與7.6 m高的墻計(jì)算結(jié)果是相同的。原因是,對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板來(lái)說(shuō),除有上下水平位移約束外,還有左右水平位移約束,當(dāng)墻體的高度與寬度比值較小時(shí),左右水平支座對(duì)板的約束較小,隨著高度與寬度比值不斷加大,左右水平支座對(duì)板的約束不斷加大,屈曲系數(shù)k不斷減小。當(dāng)高度與寬度相等時(shí),屈曲系數(shù)k到達(dá)最小值4。當(dāng)高度比寬度大時(shí),屈曲系數(shù)約等于4不再減小,如圖3所示。

圖3 屈曲系數(shù)k隨h/b變化規(guī)律Fig.3 Variation of k with h/b

采用特征值屈曲方法和考慮初始缺陷的非線性屈曲方法對(duì)模型一和模型二進(jìn)行數(shù)值求解。

采用大型通用有限元分析軟件ABAQUS進(jìn)行建模和計(jì)算。使用ABAQUS中的Lanczos特征值求解器進(jìn)行特征值屈曲分析,使用ABAQUS/ Standard模塊進(jìn)行非線性屈曲分析。墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬。材料本構(gòu)為彈性。

進(jìn)行非線性屈曲分析時(shí),需要先進(jìn)行特征值屈曲分析,得到第一階屈曲模態(tài),再將第一階屈曲模態(tài)做為非線性屈曲分析模型的初始缺陷,通過(guò)ABAQUS自帶的非線性屈曲算法(Riks法)進(jìn)行求解計(jì)算。

從屈曲模態(tài)可以看出:當(dāng)墻高大于墻寬時(shí),四邊簡(jiǎn)支板由于左右兩邊支座的約束作用,屈曲模態(tài)是多個(gè)半波組成,如圖4所示;當(dāng)墻高小于墻寬時(shí)屈曲模態(tài)為一個(gè)半波,如圖5所示。

解析解與數(shù)值解求解結(jié)果如表2和表3所示。

圖4 簡(jiǎn)化模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.4 Frist order buckling mode of simplified model Ⅰ

圖5 簡(jiǎn)化模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.5 Frist order buckling mode of simplified model Ⅱ

表2解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對(duì)比

Table 2Comparison of analytical solution and numerical solution

表3簡(jiǎn)化模型計(jì)算結(jié)果匯總

Table 3Results of simplified model

注:數(shù)值解一采用特征值屈曲方法,數(shù)值解二采用非線性屈曲方法

由表2可以看出:解析解與數(shù)值解(特征值屈曲方法)結(jié)果基本一致,誤差都在2%以內(nèi)。說(shuō)明數(shù)值解法是精確可靠的。

由表3可以看出:當(dāng)考慮了梯段斜板的有利作用時(shí)(簡(jiǎn)化模型二)比不考慮梯段斜板的有利作用(簡(jiǎn)化模型一)的失穩(wěn)臨界荷載提高了大約2.3倍。

4 墻體的精細(xì)模型分析

墻體的精細(xì)模型同樣采用ABAQUS軟件進(jìn)行建模和計(jì)算,墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬,材料本構(gòu)為彈性。

按實(shí)際情況建立有限元模型:①模型一,沒(méi)有梯段斜板的模型;②模型二,有梯段斜板的模型,如圖6、圖7所示。

圖6 模型一(沒(méi)有梯段斜板)Fig.6 Model Ⅰ without ladder board

圖7 模型二(有梯段斜板)Fig.7 Model Ⅱ with ladder board

可以發(fā)現(xiàn)在彈性分析中,模型二比模型一穩(wěn)定性承載力提高了1倍左右,如表4所示。說(shuō)明梯段斜板對(duì)墻體起到了支持作用,有效減小墻體的無(wú)支撐高度。

所以,計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。

圖8 模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.8 Frist order buckling mode of model Ⅰ

圖9 模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.9 Frist order buckling mode of model Ⅱ

圖10 模型一的非線性屈曲分析結(jié)果Fig.10 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅰ

雖然樓梯間頂層無(wú)樓梯板,剪力墻無(wú)支撐長(zhǎng)度會(huì)大于層高,對(duì)穩(wěn)定性墻體穩(wěn)定性不利,但頂層剪力墻軸力很小,一般能滿足《高規(guī)》附錄D的墻體穩(wěn)定性要求。

圖11 模型一的非線性屈曲分析結(jié)果Fig.11 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅱ

表4有限元法的墻體穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

Table 4Finite element method results of wall stability

此外,通過(guò)有限元分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),該墻體并不是簡(jiǎn)單無(wú)側(cè)邊支撐剪力墻,墻體兩邊的深連梁對(duì)于剪力墻有一定的約束作用,這樣對(duì)于墻體穩(wěn)定性是有利的。再者,中間休息平臺(tái)與墻體連接,對(duì)墻體也產(chǎn)生了一定的約束作用,對(duì)墻體穩(wěn)定性也是有利的。而采用《高規(guī)》附錄D的穩(wěn)定性驗(yàn)算公式中,均未考慮這些有利影響。

對(duì)比簡(jiǎn)化模型的計(jì)算結(jié)果(表3)和精細(xì)化模型的計(jì)算結(jié)果(表4)可以發(fā)現(xiàn),表3和表4中模型一的計(jì)算結(jié)果差3倍,模型二的計(jì)算結(jié)果差2.5倍。分析原因,可以發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)化模型和精細(xì)化模型在邊界約束條件上是不同的。簡(jiǎn)化模型的邊界條件為四邊簡(jiǎn)支,而精細(xì)化模型由于墻體左右兩邊開(kāi)洞,如圖2所示,只是洞口上面的連梁部分對(duì)其進(jìn)行約束,約束作用較弱。即在建立精細(xì)化模型時(shí)該片墻體上下邊采用簡(jiǎn)支,墻體左右邊是由連梁對(duì)其進(jìn)行約束的。相比理想簡(jiǎn)支邊界條件,連梁對(duì)墻體的約束要小很多,約束條件越弱計(jì)算結(jié)果越小。

5 采用彈塑性有限元模型驗(yàn)證墻體穩(wěn)定性

將模型一和模型二的混凝土和鋼筋材料設(shè)為彈塑性本構(gòu)模型進(jìn)行有限元分析,驗(yàn)證該片墻體穩(wěn)定性。

墻體的彈塑性模型采用ABAQUS軟件進(jìn)行建模和計(jì)算,墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬,鋼筋采用ABAQUS殼單元自帶的鋼筋層進(jìn)行輸入,在該方法中鋼筋以殼元中積分點(diǎn)形式存在的。混凝土本構(gòu)和鋼筋本構(gòu)均為彈塑性本構(gòu)。

混凝土采用混凝土損傷塑性本構(gòu)(Concrete Damaged Plasticity),本構(gòu)模型的參數(shù)采用《混規(guī)》C60的相關(guān)參數(shù),如圖12、圖13所示。鋼筋采用理想彈塑性模型,屈服強(qiáng)度360 MPa。剪力墻水平和豎向分布筋均為10@130。

圖12 混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.12 Stress-strain curve of concrete under compression

圖13 混凝土受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.13 Stress-strain curve of concrete under tension

模型初始幾何缺陷采用5%一階屈曲模態(tài),如圖14、圖15所示,進(jìn)行幾何非線性分析。一階屈曲模態(tài)由前面的特征值屈曲分析得到。

由計(jì)算結(jié)果可知,模型一和模型二在墻體軸力2 457.8 kN/m (墻體實(shí)際受到的軸力)作用下并沒(méi)有發(fā)生失穩(wěn)。繼續(xù)加載到12 000 kN/m左右時(shí),混凝土已經(jīng)被壓潰,從而喪失承載能力,此時(shí)并沒(méi)有發(fā)生失穩(wěn)破壞。此時(shí)的軸力12 000 kN/m遠(yuǎn)大于按《高規(guī)》計(jì)算的考慮梯板支撐作用剪力墻穩(wěn)定性承載力7 175 kN/m。

圖14 模型一的初始幾何缺陷Fig.14 Initial geometric imperfection of modal Ⅰ

圖15 模型二的初始幾何缺陷Fig.15 Initial geometric imperfection of modal Ⅱ

圖16非線性屈曲分析(彈塑性)分析結(jié)果Fig.16 Nonlinear buckling (elasto-plastic) analysis results

表5有限元法的墻體穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

Table 5Finite element method results of wall stability

6 針對(duì)墻體穩(wěn)定性采取的加強(qiáng)措施

為了保證樓梯梯板對(duì)剪力墻起到有效的側(cè)向支撐作用,墻體穩(wěn)定性采取的加強(qiáng)措施:

(1) 平臺(tái)板和斜梯板均增到150 mm厚;

(2) 斜梯板的分布鋼筋為φ12@150錨入剪力墻中;

(3) 梯段斜板按照深梁進(jìn)行配筋加強(qiáng),如圖17所示。

圖17 梯段斜板的加強(qiáng)措施Fig.17 Strengthening measures of ladder board

7 結(jié) 論

通過(guò)前面的分析可以得到:

(1) 當(dāng)墻體為四邊支承時(shí),墻高大于墻寬時(shí),失穩(wěn)臨界荷載與墻高無(wú)關(guān),由于左右兩邊支承的約束作用,屈曲模態(tài)是多個(gè)半波組成。

(2) 計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將與墻體可靠連接的梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。

(3) 通過(guò)非線性穩(wěn)定性分析(彈塑性)可知,結(jié)構(gòu)先發(fā)生強(qiáng)度破壞,而并未發(fā)生失穩(wěn),此時(shí)的軸力遠(yuǎn)大于規(guī)范穩(wěn)定性計(jì)算限值。

(4) 實(shí)際工程中對(duì)于因墻體高度較高而又無(wú)法增設(shè)側(cè)向支撐的情況,除了增加墻厚的措施外,還可以通過(guò)本文分析方法驗(yàn)算其墻體穩(wěn)定性。