拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題

羅 棋，朱珊珊

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000)

引言

多元函數(shù)的條件極值[1]275-276問題常用拉格朗日乘數(shù)法進行求解，而泛函的條件極值[2]19-20問題的解法是關(guān)于多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法的直接推廣.條件極值在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，本文討論最常用的拉格朗日乘數(shù)法對多元函數(shù)的條件極值問題和泛函的條件極值問題進行求解和應(yīng)用.

1 條件極值問題

1.1 多元函數(shù)的條件極值問題

多元函數(shù)的條件極值問題的一般形式是在條件組

φk(x1,x2,…,xn)=0,k=1, 2,…,m(m

(1)

的限制下，求目標(biāo)函數(shù)

y=f(x1,x2,…,xn)

(2)

的極值.

1.2 泛函的條件極值問題

泛函[3]64-65的條件極值問題的一般形式是在約束條件

(3)

之下，求

(4)

的極值.其中，G是m(m

(5)

2 拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值

2.1 拉格朗日乘數(shù)法求解多元函數(shù)條件極值

式(1)和(2)所表示的一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)是

L(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λm)

(6)

其中，λ1,λ2,…,λm為拉格朗日乘數(shù)

的解.

2.2 拉格朗日乘數(shù)法求解泛函條件極值

引入待定的向量函數(shù)

λ(t)=(λ1(t),…,λm(t))T

(7)

作輔助函數(shù)[5]193-196

(8)

如果條件泛函極值問題式(4)和(3)在x(t)=(x1(t),…,xn(t))T∈Ω達到極值，則必存在函數(shù)λ(t)=(λ1(t),…,λm(t))T使得x(t)=(x1(t),…,xn(t))T滿足歐拉方程組

(9)

由歐拉方程(9)和約束條件(3)，可解出泛函條件極值問題的極值曲線x(t)和拉格朗日乘子函數(shù)λ(t).

3 拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的應(yīng)用

3.1 拉格朗日乘數(shù)法求解多元函數(shù)條件極值的應(yīng)用

例1拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個橢圓.求這個橢圓到原點的最長與最短距離.

解這個問題實質(zhì)上是要求函數(shù)f(x,y,z)=x2+y2+z2在條件x2+y2-z=0

及x+y+z-1=0下的最大、最小值問題.

令L(x,y,z,λ1,λ2)=x2+y2+z2+λ1(x2+y2-z)+λ2(x+y+z-1)

對L求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0，則有：

求得這方程組的解為：

3.2 拉格朗日乘數(shù)法求解泛函條件極值的應(yīng)用

解引入拉格朗日乘子λ(t)，構(gòu)造新的泛函

歐拉方程為：

2u-λ=0

將邊界條件代入上式，有：

求解得：

于是，所求的函數(shù)和極小值曲線分別為：

4 結(jié)語

在求解有約束條件的多元函數(shù)極值時，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法是一個非常好的辦法，并且可將拉格朗日乘數(shù)法進行變形推廣到求解泛函的條件極值問題，本文對這一方法進行探討，并進行了實際應(yīng)用.