單箱單室薄壁箱梁約束扭轉分析

郭靖宇，管松，年玉澤，萬水

(1.阜陽市公路管理局，安徽 阜陽 236000； 2.東南大學交通學院，江蘇 南京 210096)

薄壁箱梁截面由于抗彎抗扭剛度大、截面整體性能好和施工適應性強等優(yōu)點，廣泛應用于橋梁結構[1-2]。目前橋梁設計主要采用平面桿系矩陣位移法[3]，該方法通過每個單元設有2個節(jié)點，每個節(jié)點6個自由度來分析宏觀彎矩、剪力、扭矩沿梁軸向的分布規(guī)律。彎矩、剪力與正應力、剪應力已建立了比較完善的函數(shù)式[4]；而偏心荷載作用下扭矩與正應力、剪應力則難以建立對應關系，這就給目前的箱形梁橋設計造成了困難，無法從力學角度解釋扭矩與應力之間的關系。

本文從靜力學平衡方程、幾何方程、物理方程出發(fā)，利用位移法建立微元體之間的微分方程，考慮邊界條件的初始條件求解微分方程，得到扭矩與應力之間的數(shù)值函數(shù)關系。選取某單箱單室混凝土簡支箱梁橋進行算例分析，進一步了解扭轉作用下的翹曲正應力和約束扭轉剪應力的分布規(guī)律。

1 縱向位移假定

對箱形梁約束扭轉的求解思路是位移法求解，先要構造位移函數(shù)表達式，由于箱形梁的復雜性，無法直接根據(jù)邊界條件得出位移函數(shù)表達式。我們從自由扭轉的翹曲位移模式出發(fā)，通過類比研究，對約束扭轉的翹曲位移模式進行假定。

如圖1，根據(jù)微元體幾何方程[5]16，可得自由扭轉下的翹曲位移模式。

圖1 箱形梁微元形變示意圖

(1)

v=hθ(z)

(2)

式中，h為截面中心軸到箱壁中心的距離。將式(2)代入式(1)，可得

(3)

(4)

對式(4)沿箱梁路徑積分一周，

∮γds=∮hθ′(z)ds

(5)

(6)

式(4)可表示為

(7)

由于剛性扭轉時截面縱向變形受到約束，式(7)中θ′(z)為常數(shù)項，與z軸無關，無法反映結構真實的翹曲情況。烏曼斯基(A.A.YManCKttfi)提出，約束扭轉的翹曲變形函數(shù)與自由扭轉翹曲變形函數(shù)相似，反映翹曲程度的函數(shù)為β′(z)，不等于θ′(z)，β′(z)為關于z的函數(shù)[6]。式(7)可表示為

(8)

2 扭轉中心位置

選取圖2所示截面的形心A作為極點，以豎向對稱軸與箱形梁邊的交接點C作為主扇形零點，實際扭轉中心B滿足式(9)的條件。

(9)

圖2 A、B為極點的2個扇形坐標關系

h=[(x-xA)-(y-yA)cotα]sinα

(10)

dwA=hds

(11)

(12)

同理，以截面形心B為極點，可得到類似結論。

(13)

(14)

對式(14)積分，

(15)

將式(15)代入扭轉中心條件公式(9)，可得

3 微分方程建立

由圖1微元體幾何方程可知，沿z軸的線應變

(16)

根據(jù)烏曼斯基第二理論——截面周邊不變性的假定，假定εs=0，彈性階段物理方程滿足Hooke’s law[5]20。

(17)

箱形梁在扭轉荷載作用下，縱向合力及合力矩為零，根據(jù)Saint-Venant假定，可得箱形梁截面的應力邊界條件。

∮σ2dA=FN=0

(18)

將式(16)代入式(17)，最后代入式(18)，可得

u′(z,0)=0

(19)

圖3為微元體應力示意圖。由圖3可得到平衡微分方程(其中體力fz、fs為零)：

(20)

圖3 微元體應力示意圖

考慮應力邊界條件

∮τzshtds=Lk

(21)

由式(20)、(21)得到剪應力τzs的表達式

(22)

式(19)、(22)給出了約束扭轉作用下箱形梁的縱向翹曲應力σz和約束扭轉剪應力τzs的函數(shù)表達式，其中翹曲變形系數(shù)β′(z)是未知的，根據(jù)β′(z)與θ(z)的關系，得出扭轉角θ(z)的分布函數(shù)。

由公式(2)、(8)可知，v與θ(z)有關，u與β′(z)有關，根據(jù)式(1)得到β′(z)與θ(z)的關系。根據(jù)Saint-Venant應力邊界條件假設，可得到如下微分方程表達式:

(23)

4 微分方程求解

求解微分方程式(23)，可得

(24)

邊界條件為

固定端：

θ(z)=0 (截面無扭轉)

β′(z)=0 (截面無翹曲)

鉸接端：

θ(z)=0 (截面無扭轉)

Bl=0 (截面無翹曲應力)

自由端：

Bt=0 (截面無翹曲應力)

β?(z)=0 (截面無約束剪應力)

以下給出任意扭矩和滿鋪均布扭矩時截面的各項參數(shù)：

(25)

(26)

(27)

Lk=l0-Mk-mz

(28)

5 算例

選取跨度L=40 m的等截面單箱單室薄壁箱梁為例，模型截面尺寸見圖4，材料的彈性模量E=3.40×104MPa，泊松比μ=0.2。模型滿跨布置q=100 kN /m的均布力，偏心距e=2.35m(計算扭轉時，可以簡化為均布扭矩m=100×3.5 kN)，箱梁邊界條件如圖5所示。

圖4 薄壁箱梁橫截面圖(單位：mm)

圖5 簡支梁受均布偏載力

考慮圖5所示的邊界條件，由式(25)～(28)可得

圖6 約束扭轉雙力矩沿梁縱向分布規(guī)律

圖7 約束扭轉雙力矩一階導數(shù)沿梁縱向分布規(guī)律

由圖6、7可見，約束扭轉雙力矩的分布形式類似于均布荷載作用下的彎矩分布，但在0—L/4斷面處變化較為劇烈，而在L/4—L/2處變化相對平緩；約束扭轉雙力矩的一階導數(shù)在跨中區(qū)域為零，在加載端處有最大值，類似于均布荷載作用下的剪力分布規(guī)律。

跨中斷面處約束扭轉翹曲正應力分布，如圖8所示。跨中處的自由扭矩與約束扭矩均為零，故剪應力分布為零。

L/4斷面處,約束正應力與剪應力分布如圖9—10所示。由圖8—10可見：L/4至L/2斷面的約束扭轉翹曲正應力分布規(guī)律大致相同，這是因為約束扭轉雙力矩分布較為平緩，而廣義扇形矩和扭轉慣性矩與截面有關，本文所選算例為等截面分布，因此約束翹曲正應力在L/4至L/2區(qū)域變化不大；L/2斷面處自由扭矩與約束扭矩分布均為零，故在該斷面的剪應力分布為零，即無剪應力；均布荷載作用下約束扭矩與自由扭矩幅值相差較大，約束扭矩對約束剪應力的分布可以忽略，圖10中剪應力在箱梁截面的分布較為平緩，表明約束扭矩的影響較小，在計算過程中已被忽略。

圖8 跨中斷面約束扭轉翹曲正應力分布(單位：kPa)

圖9 L/4斷面約束扭轉翹曲正應力分布(單位：kPa)

圖10 L/4斷面約束扭轉剪應力分布(單位：kPa)

6 結論

1) 本文基于微元體平衡方程、幾何方程、物理方程，在彈性體假設的前提下，推導了單箱單室箱形梁約束扭轉的計算方法。

2)均布偏心荷載作用下約束扭轉雙力矩沿梁軸向的分布與均布荷載作用下彎矩沿梁軸向的分布類似，約束扭轉雙力矩的一階導數(shù)沿梁軸向的分布與均布荷載作用下剪力的分布類似。

3)均布偏心荷載作用下，約束扭轉翹曲正應力對箱形梁的影響較小，經計算頂板最大翹曲應力值與彎矩應力值相差2.68%，底板最大翹曲應力值與彎矩應力值相差1.04%，其影響可以忽略不計；約束扭轉引起的剪應力與自由扭轉剪應力相比，可以忽略不計。