需求不確定下企業生產規模選擇及影響因素研究

譚英雙，張雪清，衡愛民

(1.重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030；2.四川外國語大學國際商學院，重慶 400031)

1 引言

企業生產規模選擇及影響因素研究越來越受到關注。在我國，經濟發展進入新常態之后，不論在諸如煉鐵、煉鋼、焦炭、水泥、電解鋁等傳統行業還是在太陽能光伏、碳纖維、LED、鋰電池薄膜、云計算等新行業，都存在產能過剩的問題。近年來，我國通過宏觀調控、技術創新、市場運作、拓展海外市場等途徑來去產能。總體上看，宏觀調控對去產能來說主要發揮的是推動作用，而企業自身加強產能控制才是去產能的關鍵。要適應新常態、把握新常態、引領新常態，加快轉變政府職能，推動新時代供給側改革，更加有效地推動去產能工作，就要更加重視發揮好企業主體作用。為此，加強對企業生產規模選擇及影響因素研究就顯得十分必要。同時，我們也要認識到，隨著經濟的發展，企業面臨的需求不確定性將不斷增高，這些不確定性反過來影響了企業的生產規模選擇。為應對需求的不確定性，企業需要具有靈活性，以保持競爭力和盈利能力，如周春生等[1]，Bengtsson[2]，倪得兵等[3]，黃學軍和吳沖峰[4]的研究。不確定性存在于未來需求水平未知的情況下， 增強企業生產規模的選擇，以期提高其生產決策的適應性。

這方面的文獻主要包括以下幾個方面：在最優規模決策方面，Dangl[5]在支出不可逆和未來需求不確定的條件下構建了不確定條件下企業最優生產規模模型，結果表明，在該分析框架內，未來需求的不確定性導致最優生產規模的增加。但也使生產推遲到一定程度，即使是小的不確定性也會使等待和收集更多的信息成為最優決策。Hagspiel等[6]通過引入能力持有成本，研究了企業規模柔性和剛性兩種決策方案，研究結果表明：柔性決策優于剛性決策，由于前者的處理不確定性能力增強，其規模選擇更高。在柔性決策時初始規模利用率較低，尤其是當投資成本函數是凹的時候，經濟環境是不確定的，對于投資的時機有兩種相反的作用。一是柔性決策在有動力投資之前，因為靈活性提高項目價值。二是柔性決策有動力投資后，由于更高的能力水平使得成本較大。后者在高度不確定的經濟環境中起主導作用。Boonman和Siddiqui[7]通過允許公司結合其最佳投資時機來確定最優規模容量水平，在考慮了時間滯后的影響條件下認為，隨著規模的優化，較長的滯后時間會導致較大的規模選擇，從而間接推遲投資決策和恢復運行的時機。此外，Lavrutich[8]討論了不確定條件下的雙寡頭壟斷企業的規模選擇問題，林毅夫等[9]、Bloom等[10]，李應求等[11]分別研究了外包資本投資規模決策、風險對投資規模影響以及最優投資規模的數值解問題。在最優時機與規模方面，Dixit和Pindyck[12]分析了不可逆條件下不確定性對企業投資時機的影響，并對投資成本可變情況下的最優投資規模決策問題進行了研究，建立了基本分析框架。Bar-llan等[13]進一步比較了一次性投資、增量投資和可逆投資對最優投資時機和規模的影響問題。陽軍等[14]比較研究了兩種不同條件下同時選擇最優投資時機和規模的決策問題，認為不確定性增大了企業的等待價值，企業將推遲投資和增大投資規模。并通過求解不變產出和可變產出條件下企業最優投資時機和最優投資規模的解析表達式并進行分析。魯皓和張宗益[15]以新興技術項目投資為背景，在修改了實物期權理論中投資機會永生和資產價格隨機游走的假設的基礎上，建立了新興技術項目的實物期權定價模型，探討了風險和投資時限對投資時機和投資規模的影響規律。黃生權和李玲芝[16]修改了投資機會永生的假設，建立了競爭條件下追隨者與領先者的投資規模與投資時機決策的博弈模型，并給出了相應的決策解析式。其他相關文獻還有顧靖等[17], 黃守軍等[18], 張新華等[19]，這些文獻結合風險項目、風電項目、發電項目等對企業最優時機與規模作了相似的研究，但這些研究大多假設市場需求的不確定性主要受到外生因素的影響，較少把外生和內生兩種因素結合起來進行研究，且較少集中討論企業在不確定下的規模選擇的因素問題等。

本文受Dangl[5]，陽軍等[14]，Hagspiel 等[6]，Boonman 和Siddiqui[7]，Lavrutich[8]等的啟發，通過理論建模及數值分析，進一步解剖企業生產規模及其影響因素，由此建立需求不確定下企業的生產規模選擇的優化模型并分析其影響因素。我們的工作主要表現在：現有文獻大多假設市場需求的不確定性由外生因素影響所致，而近年來爆發的金融危機以及有的地區和國家泡沫經濟的產生，使得這一假設倍受質疑，于是 Watanabe等[20]，Lavrutich[8]，魯皓和張宗益[15]等認為應考慮資產的內生價值。我們認為，市場價格具有外生性，即行業范圍內隨機沖擊的外生性市場需求，同時又受到市場容量的反需求函數的影響，即具有內生性。由此，在同時考慮這兩種影響因素時，企業生產所獲得的收益不再是簡單的線性函數，這樣更符合客觀實際情況；現有文獻討論企業投資規模和投資時機選擇的較多，但較少研究企業生產規模選擇及其影響因素。事實上，利率、單位時間收益流的波動率、企業技術投入成本、單位時間收益流的期望增長率等對企業的生產規模都可能存在一定的影響。通過討論這些影響因素，可以進一步加強企業在需求不確定性下生產決策的科學性和適應性。我們將首先介紹模型構建與基本假設，接著結合圖形對模型進一步進行討論，最后給出數值算例并得出結論，提出相應對策。

2 模型構建與基本假設

2.1 模型假設

假定在風險中性的市場中有一企業，具有選擇生產、推遲生產和不生產的能力，且該企業產品的市場價格服從內外生性共同發揮作用的隨機過程，記t時開始生產后所獲得的收益為[8,15,20-21]:

π(t)=P(t)q(t)=V(t)(1-ηq(t))q(t)

(1)

其中：P(t)為企業產品的市場價格，q(t)是實際生產量，η為企業的市場力量，1-ηq(t)為市場規模的反需求函數，這是執行產品市場價格變化過程中發揮內生性作用因素。V(t)為單位時間收益流，為行業范圍內隨機沖擊的外生性市場需求沖擊且服從幾何布朗運動：

dV(t)=μV(t)dt+σV(t)dWt

其中：μ為V(t)企業單位時間收益流的期望增長率,σ是企業單位時間收益流的波動率，dWt是標準布朗運動。假定企業生產規模為Q，其單位成本為C。

2.2 生產規模為Q時的決策模型

根據式(1)，此時，由于q(t)=Q，則該企業所獲收益可用下式表示：

(2)

(3)

其最優生產臨界點V*滿足價值匹配和平滑條件：

(4)

于是，我們有

(5)

下面，我們求企業最優生產規模Q*，因Q*滿足一階條件：

(6)

通過計算，企業最優生產規模Q*為:

(7)

將公式(7)代入式(5)求出最優的生產臨界值：

(8)

2.3 模型的拓展

由于現實中企業經營管理具有柔性，其可根據單位時間收益流V(t)調整企業實際生產規模，以獲取最大化收益。與上面模型的企業生產規模恒為Q不同，這里，我們假設其變化區間可為：0≤q(t)≤Q。此時，類似地，根據瞬時收益最大化原則，可得:

(9)

(10)

類似Dangl[5]和Lavrutich[8]，我們設V=V(t)， 可分別考慮企業生產位于0V1的情況。在0

F(V，Q)=

(11)

根據價值匹配和平滑粘貼條件求解得到最優企業生產臨界值V*且滿足：

(12)

(13)

根據價值匹配和平滑粘貼條件，類似地，求解最優生產規模Q*，使得企業的期權價值F(V*)=L1V*β1最大，則Q*滿足一階條件：

(14)

將 (12)代入(14)可求出企業最優生產規模Q*的表達式：

Q*=

(15)

由(15)可以看出，Q*與前面的討論一樣，與V*無關。Q*與外生性市場需求如μ，σ，β1，β2有關，且隨著μ，σ的增大，企業最優生產規模會增大。同時，(15)也說明，Q*還與內生性作用的因素η和其單位成本有關，這與前面的討論不同，但與企業生產的風險的大小和其收益正相關的實際情況是相吻合的。此外，由于企業生產規模選擇的柔性，也使得其企業生產最優臨界值有所增大，這也說明了運用實物期權進行投資經營管理的優越性。下面我們結合圖形進一步討論上面的情況。

3 進一步討論

上面，我們通過數理建模得出了企業生產規模影響因素及不同情況下的表達式。下面主要用圖形來進一步分析這些關系，探究需求不確定下這些關系的特點，以此為制定優化策略提供支持，這里用Q1，Q2分別表示上面兩種情況。

3.1 利率對最優生產規模的影響分析

要討論利率對企業最優生產規模的影響，我們分別對(7)、(15)關于r求偏導(由于(7)中利率通過影響β1對最優生產規模形成影響)，這里，我們對(15)中r求偏導(見附錄)可得。

由此，我們可以看出，不管企業在上面討論的確定和不確定的狀態，隨著利率的增加，企業最優生產規模將縮小，這與我們按常理分析是一致的。為此，我們可以作出如下圖形，見圖1。

(η=0.01；σ=0.1；μ=0.5；C=3000)圖1 利率對最優生產規模的影響圖

3.2 市場力量對最優生產規模的影響分析

類似地，從圖2可知，不管企業生產規模在上面討論的那種狀態，隨著市場力量的增加，企業最優生產規模將縮小，因此，可以得出，在執行產品市場價格變化過程中發揮內生性作用的因素也影響到企業的生產規模。

(σ=0.1；μ=0.02；r=0.04；C=3000)圖2 市場力量對最優生產規模的影響圖

3.3 波動率對最優生產規模的影響分析

類似地，從圖3可知，企業生產規模為q(t)=Q時，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的波動率的增加而增加，但企業生產規模在區間0≤q(t)≤Q變化時，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的波動率的增加而降低。需求不確定性對企業生產規模的影響,由此圖也可進一步得到說明。

(η=0.1；μ=0.001；r=0.04；C=3000)圖3 波動率對最優生產規模的影響圖

3.4 增長率對最優生產規模的影響分析

(η=0.01；σ=0.1；r=0.02；C=3000)圖4 增長率對最優生產規模的影響圖

從圖4可知，企業生產規模為q(t)=Q時，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的期望增長率的增加而增加。但企業生產規模在區間0≤q(t)≤Q變化時，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的期望增長率的增加先降低后增加。

3.5 成本對最優生產規模的影響分析

由于企業生產規模為q(t)=Q時，Q與C無關，故C此時對Q無影響，此時企業由市場需求的內生性作用來確定生產規模。但在區間0≤q(t)≤Q，從圖5可知，企業最優生產規模隨著企業單位成本的增加先不變后增加。此時，為應對過大的市場需求沖擊，盡管單位成本增加，企業反而增加了生產規模。 因此，在需求不確定時，企業應考慮成本的問題。

σ=0.01；μ=0.001；r=0.00001；η=0.0001；C=[0:200:1000]圖5 成本對最優生產規模的影響圖

4 數值算例

假定在風險中性的需求不確定市場中有一企業，合符前面的假設條件，具有選擇生產、推遲生產和不生產的能力，且該企業產品的市場價格服從內外生性共同發揮作用的隨機過程，其單位時間收益流為V(t)=110，單位成本為C=55，無風險利率為γ=0.05，單位時間收益流的期望增長率μ=0.02，σ=11.02，η=0.8，β1≈1.0004，β2≈-0.0008，則當q(t)=Q，企業生產規模Q*和最優生產時機t*分別為：

t*=

當Q可變時，由公式(15)計算可知，企業生產規模Q*和最優生產時機t*分別為：

Q*=0.6253

t*=

由計算可知，在企業生產規模為Q時，其他條件不變，顯然隨著β1、η的增大，Q會變小，企業將選擇生產更小的規模來滿足市場需求。企業生產的最優時機與生產中執行價格變化和發揮內生性的作用因素及單位時間收益流無關。其他條件不變C，及(r-μ)的增加，也會增加企業生產的最優臨界值。隨著C的增大，最優投資臨界值也增大，企業生產的等待價值增大，企業會推遲生產。在Q可變時，Q*與V*(Q)無關，但與外生性市場需求如μ，σ，η，β1，β2有關，由計算可知，β1與η對Q*的影響較大，這與在前面的討論不同，這與企業生產的風險的大小和其收益正相關的實際情況是相吻合的。同時，當Q可變時，其生產規模有所擴大，最優生產時機也相應受到影響，這與上面的討論是一致的。此外，根據單位時間收益流對企業生產規模進行調整，生產規模的靈活選擇可以帶來生產最優臨界值的增加，與NPV、ROI等相比，無疑提供了一個較為現實和實用的方法。

5 結語

本文以需求不確定環境為背景，建立了企業生產規模選擇數理決策模型，并運用圖形和數值分析，進行了企業生產規模影響因素分析。該模型的特色之處是充分考慮了內生性和外生性的作用，得出的企業最優生產臨界值和最優規模的表達式，說明了企業生產規模選擇和管理柔性選擇的必要性，并討論了利率、單位時間收益流的波動率、企業技術投入成本、單位時間收益流的期望增長率對等對企業的生產規模選擇的影響。可以看出，在其它條件不變時,不管企業生產規模在我們討論的那種狀態，利率和市場力量與企業最優生產規模都負相關。但是，企業生產規模為Q時，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的波動率的增加而增加，隨著企業單位時間收益流的期望增長率增加而增加，而與C無關。但在區間0≤q(t)≤Q，企業最優生產規模隨著企業單位時間收益流的波動率的增加而降低，隨著企業單位時間收益流的期望增長率的增加先降低后增加，且隨著企業單位成本的增加先不變后增加。

根據這些規律，有利于更好地提高企業選擇生產、推遲生產和不生產的能力，通過對企業生產規模的有效控制來達到科學施策的目的。當然，許多策略并不是單一的，我們還要加強系統集成，對某個問題多點施策，才能有效解決企業在需求不確定環境下生產規模決策的問題。由于篇幅所限，我們沒有進一步討論需求不確定環境下市場、技術等不確定的情況，以及存在競爭和其他風險對決策的影響問題，這也是今后我們的研究方向之一。

附錄：

利率對生產規模的影響分析