連續物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)輪詢控制機理

冉文學，劉會娟，余麗艷

(云南財經大學物流學院，云南 昆明 650221)

1 引言

中國人口總量世界第一，約占世界總人口的1/5，制定高效的糧食安全策略是社會穩定的基礎條件。然而，我國食品供應鏈存在一些問題，例如：計劃生產不準確，忽視市場預測，食品批號老化，對客戶需求反應靈敏度低，渠道滲透率低，安全責任難以劃分等，這些都屬于供應鏈運作的問題并與供應鏈模式選擇密切相關[1-2]。食品產業鏈未來倡導個性化和定制化的新流通模式，即按需定制，以此來實現糧食產業的供給側改革。

為了滿足消費者個性化需求，連續物料的精準、高效分揀包裝將推動“新流通”模式的發展。以糧食等連續物料為例的“新流通”商業模式，簡單概述為：在居民生活區周邊建立線上線下配銷一體化物流中心——糧油站(主要銷售糧食等連續物料，如面粉、大米、糧油等)，站內產品直接由工廠配送中心配送。糧油站是精簡供應鏈的節點，在站內布置連續物料分揀設備，消費者可以在線上或者線下下單，根據自己的實際需求靈活的選擇想要購買的商品數量，也可以按照金額進行購買，消費者由被動消費變為主動消費。這種供應鏈精簡的商業模式可以從源頭保證糧食安全，并且極大地便利人們的生活，能夠真正的實現糧食產業的供給側改革。

為了進一步提高配送中心訂單分揀效率，輪詢理論開始被應用于訂單分揀系統。輪詢是一種周期性的資源動態調度分配系統，具有高效性、公平性、靈活性和實用性等特性[13-15]。盡管國內外學者對輪詢理論和如何提高訂單分揀效率已經做了比較深入的研究，但是將輪詢理論應用于分揀系統的研究還極其有限。Gong Yeming和De Koster[16]做了開拓性的研究，他們應用輪詢理論描述和分析了電子商務環境下半自動化的動態訂單分揀系統，研究結果表明基于輪詢理論的動態分揀系統相比傳統的分揀方法(例如訂單批處理等)更節省分揀時間。Gong Yeming等[17]拓展了上述研究，在輪詢動態分揀系統中引入隨機變量，有效的提高了分揀系統的效率，但是，他們的研究主要適用于半自動化的動態分揀系統，而對于電子商務環境下逐步已實現自動化的配送中心倉儲作業指導有限。冉文學[18]將輪詢理論應用到單元物料訂單分揀中，并將輪詢經典控制機理拓展到二級并行控制并比較研究多種輪詢系統模型在訂單分揀中的應用及其求解方法，但是其之前研究的輪詢分揀機理為單元物料范疇，本文研究連續物料的輪詢分揀。

我國糧食需求總量巨大，所以本文研究以消費者為核心的糧食等連續物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)的輪詢控制機理，來推動糧食產業的供給側改革。本文建立完全-并行限定(k=1)的二級優先級訂單分揀輪詢控制模型，并運用數學方法對理論模型求解，通過數值計算分析，求解輪詢控制系統的一階系統特性和二階系統特性，驗證模型的可靠性。

2 連續物料訂單分揀輪詢控制模型環境變量和工作條件

2.1 環境變量定義

采用嵌入式Markov鏈、概率母函數以及拉式變換方法來研究訂單分揀的輪詢系統控制模型，為了完成系統的精確分析，定義以下環境變量：

ξi(n)：普通隊列i(i=1,2,…,N)在tn時刻其隊列內物料量；ξh(n)：在tn時刻系統優先隊列內的物料量；ξh(n*)：從隊列i轉換分揀優先隊列tn*時刻優先隊列內的物料量；vi：普通隊列i中物料量的分揀服務時間；vh：優先隊列中物料量的分揀服務時間；ui：由隊列i轉向優先隊列的轉換時間；ηj(vi)：在vi時間內進入第j號隊列(j=1,2,…,N,h)內需分揀的普通訂單物料量；ηj(vh)：在νh時間內進入第j號隊列(j=1,2,…,N,h)內需分揀的優先訂單物料量；μj(ui)：在ui時間內進入第j號隊列(j=1,2,…,N,h)內需分揀的物料量。

分揀機在tn+1時刻的狀態變量僅和上一個分揀服務時刻tn*時刻的系統狀態有關，為無后效性的Markov過程。在穩定狀態條件下，該Markov過程是齊次、非周期、不可約和各態歷經的。

2.2 工作條件描述

3 連續物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)輪詢控制系統

連續物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)的兩級輪詢控制系統模型可以描述為：系統基本模型由一個分揀機和優先訂單、普通訂單共N+1個訂單隊列組成，分揀機對1個優先訂單隊列和N個普通訂單隊列采用并行作業的方式，其次優先訂單隊列采用完全控制策略，普通訂單隊列采用限定(k=1)的服務控制策略。分揀機開始工作時，如果普通訂單隊列需要分揀，不為空，對普通訂單隊列進行并行限定(k=1)分揀服務，分揀完一個訂單隊列后立即轉向對優先訂單隊列，優先對優先訂單隊列進行分揀作業。模型中訂單分揀輪詢控制過程包括訂單的到達過程、分揀機對每個訂單的分揀服務過程和訂單間的輪詢轉化過程。

3.1 連續物料訂單分揀輪詢控制系統狀態概率母函數

(1)

(2)

分揀機在tn+1時刻輪詢服務隊列i+1時，系統狀態變量的概率母函數為:

(3)

(4)

(5)

3.2 連續物料訂單分揀輪詢控制系統一階特性

(1)平均分揀服務時間

訂單分揀完全-并行限定(k=1)輪詢控制系統的平均分揀服務時間為分揀機對系統中的N+1個隊列按相應的服務規則完成一次服務所用時間的統計平均值，由分揀時間和訂單轉換時間構成。根據概率母函數關系求得：

(6)

(7)

對式(6)(7)進一步化簡、整理得系統的平均分揀服務時間為：

(8)

(2)優先訂單隊列的平均排隊隊長

(9)

(10)

將式(2)和式(3)分別代入式(9)和式(10)求導后化簡，計算后求得輪詢控制系統優先訂單隊列的平均排隊隊長為：

(11)

3.3 連續物料訂單分揀輪詢控制系統二階特性

(1)普通隊列的平均排隊隊長

(12)

(13)

(14)

(15)

(2)平均時延

訂單分揀作業的等待時間wj即從訂單進入j(j=1,2,…,N,h)隊列到其分揀完畢被發送出去的這段時間，中心隊列、普通隊列顧客的平均等待時延分別用E(wh)和E(wi)表示。

(16)

完全服務系統信息分組的平均等待時延為：

(17)

限定-1服務系統信息分組的平均等待時延為：

結合上述計算方法，可分別得到該系統模型中的普通隊列和優先隊列訂單的平均等待時延。

普通訂單顧客的平均等待時延為：

(18)

優先訂單顧客的平均等待時延為:

(19)

4 數值分析與驗證

理論計算和實驗結果如圖2至圖10所示。

如圖2至圖10所示，理論計算與MATLAB仿真實驗的結果具有較高的一致性，進一步分析該輪詢系統模型有如下特點：

圖2 不同隊列數下平均訂單分揀服務時間隨顧客到達率的變化趨勢圖

圖3 不同隊列數下平均訂單分揀服務時間隨分揀服務時間的變化趨勢圖

圖4 不同隊列數下平均訂單分揀服務時間隨訂單切換時間的變化趨勢圖

圖5 不同隊列數下平均排隊隊長隨顧客到達率的變化趨勢圖

圖6 不同隊列數下平均排隊隊長隨分揀服務時間的變化趨勢圖

圖7 不同隊列數下平均排隊隊長隨訂單切換時間的變化趨勢圖

圖8 不同隊列數下訂單平均等待時延隨訂單到達率變化趨勢圖

圖9 不同隊列數下訂單平均等待時延隨服務時間變化趨勢圖

圖10 不同隊列數下訂單平均等待時延隨訂單切換時間變化趨勢圖

(1)圖2至圖4顯示出輪詢系統的平均訂單分揀服務時間隨顧客到達率、分揀服務時間和訂單切換時間變化的趨勢。隨著顧客到達率的增加，不同隊列數量的系統平均分揀服務時間都呈現非線性增大，隊列數量少時，系統輪詢分揀周期較短，具有較好的穩定性和較快的周期響應特性。同時，從圖中三條曲線的上下分布來看，三條曲線在顧客不斷增多時都沒有出現交叉的情況，系統的平均訂單分揀服務時間根據隊列數目垂直分布。隨著分揀服務時間的延長，不同隊列數量的系統平均分揀服務時間也呈現非線性增大，隊列數量少時，系統輪詢分揀周期較短，具有較好的穩定性和較快的周期響應特性。隨著訂單切換時間的延長，不同隊列數量的系統平均分揀服務時間也呈現非線性增大，但相對緩和，隊列數量少時，系統輪詢分揀周期較短，系統更加穩定，響應更快。

(2)從圖5至圖7顯示了系統穩定條件下，優先隊列與普通隊列的平均排隊隊長分別隨顧客到達率、分揀服務時間和訂單切換時間變化的趨勢。圖中曲線可以很明顯的看出，普通隊列的訂單越小，曲線的陡度越大，而優先隊列則相反，訂單越大其曲線的陡度越大。隨著分揀服務時間的延長，不同隊列數量的系統平均排隊隊長也呈現非線性增大。隨著訂單切換時間的變化，優先訂單隊列相比于普通訂單隊列變化更明顯。

(3)從圖8至圖10顯示出高低優先級業務的顧客的平均等待時延隨顧客到達率、分揀服務時間和訂單切換時間變化的趨勢。與平均排隊隊長類似，高低優先級業務的顧客的平均等待時延同樣得到顯著的區分。在隊列數N和到達率λ增加的情況下，優先隊列和普通隊列中顧客的平均等待時延都在不斷增大，但與普通隊列顧客數的平均排隊時延相比較，高優先級業務的顧客的平均等待時延一直以較小值平穩變化，并保持較好的穩定性。隨著訂單切換時間的變化，普通訂單和優先訂單的平均等待時延都呈現線性增長，證明系統穩定性比較強，同時優先訂單隊列三條線幾乎重合，變化并不明顯，穩定性更強。

5 結語

本文研究了基于完全-限定(K=1)條件下的連續物料自動化訂單分揀輪詢控制機理，并在輪詢系統中，區分了優先訂單和普通訂單，確保優先訂單顧客得到更優質服務和訂單分揀系統的公平性，最后通過算例分析驗證了連續物料訂單輪詢分揀系統的穩定性和高效率。本文的研究成果擴大了輪詢理論應用深度，拓展了訂單分揀理論研究的廣度，探尋了成本最小化且高效率的物流分揀模式，對于實現糧食產業的供給側結構性改革具有重要意義。