基于幾何直觀能力發展的數學深度學習研究

蘇婷

摘要：發展學生的思維能力，必須注重“幾何直觀能力”。本文以“圖形的旋轉”為例，對深度學習下初中生幾何直觀能力的發展進行研究，探索出一些基本策略。

關鍵詞：幾何直觀能力;數學;深度學習;旋轉

幾何直觀就是通過圖形來描述和分析問題。它的好處在于化繁為簡，使學生的思路清晰，結果容易被預測出來。而旋轉變換是繼學習過的平移、軸對稱等全等變換后的另一種全等變換，也是發展學生幾何直觀能力的好素材。其實在深度學習中發展學生的能力更為重要。下面筆者就以“旋轉”為例，談談深度學習下發展學生幾何直觀能力的策略。

一、教學實錄

1.利用直觀模型，理解旋轉概念

利用信息技術呈現直觀的圖形世界，讓學生看屏幕（圖片分別是：電扇的葉片、風車的葉片、方向盤和卡通人物蕩秋千）。

教師：生活中你經常見到這些現象，如果把電扇的葉片、風車的葉片、方向盤、卡通人物等看成一個平面圖形，那么這些圖形的運動有什么共同特征？

學生：它們都是圖形的旋轉。

教師：用自己的話，談談你們對旋轉的理解。

學生：一個物體固定在一個點上轉動。

（教師請兩位學生示范轉的過程）

教師：他們為什么這樣做？

學生：他們總是會按一個點進行旋轉。

教師：你們想象一下，再談談你們對旋轉的理解。

學生：旋轉可以看成一個圖形繞著一個定點轉動一定角度。

教師引導學生得到旋轉的概念，并強調它的三要素。學生看屏幕（如圖1）：

;學生：這一定點可以是圖形上的一點。

學生：可以是圖形外的一點。

學生：還可以是圖形內的一點。

教師對學生的回答進行總結。

教學分析：幾何直觀具有四種表現形式，圖形直觀是其中的一種。本節課首先引導學生觀察圖形，從動態的直觀圖形中認識旋轉現象，對旋轉產生一個初步的表象。然后讓學生進行具體的操作活動，進一步感知旋轉變化，切實體驗旋轉的三要素：旋轉方向、旋轉角度、旋轉中心。學生邊操作邊想象，以便真正地建立“旋轉”的素材庫。

2.通過數學實驗，探究旋轉性質

活動1：操作

教師：我們一起探究：利用“幾何畫板”軟件，以圖形外一點為旋轉中心，觀察旋轉前、后的兩個圖形。

教師：觀察上圖，思考以下問題：

1.在旋轉過程中，有哪些不變的數量關系？

2.若連接頂點與旋轉中心，還有哪些不變的數量關系？

3. △OAC和△OA′C′有什么關系？

學生小組深度學習、交流討論。

活動2：驗證猜想

教師：打開“幾何畫板”軟件，驗證學生的猜想.

教師：我們在驗證的過程中，可以改變旋轉中心和旋轉角。在你們深度學習旋轉的相關知識后，自己嘗試總結一下旋轉的基本性質。

教學分析：通過觀察三角形在旋轉過程中的變化思考、探究，先是猜想，接著借助幾何畫板進行驗證，容易直觀地得出旋轉的基本性質。在深度學習中，可以通過數學實驗，利用“幾何畫板”創設動態的有關旋轉的圖案，這樣使教學內容更加直觀，學生感受到旋轉之美，幫助他們形成正確的動態表象，有效發展其幾何直觀能力。

3.創設跟蹤練習，培養畫圖習慣

在課堂練習環節設計一道畫圖題：

如圖，已知線段AB繞點O旋轉后的對應線段是CD，若A與C是對應點。你能找到旋轉中心點O的位置嗎？

教師：請同學們獨立完成。

學生完成后，上臺展示畫出的圖形，教師點擊每一小題的動畫按鈕及時給出評價。

教學分析：設計的練習從內容看涉及旋轉的基本性質，從題型看是作圖題，是對本節課所學知識的應用。畫圖是數學深度學習的重要方式，可以反映學生對旋轉概念及其基本性質的理解，也有助于幾何直觀能力的發展。在深度學習過程中，學生要養成畫圖的習慣，并進行畫圖技能的訓練。

二、教學反思

1.在思維導圖中實現深度學習

對旋轉知識體系的理解是產生直覺的源泉，如果沒有深度學習，也就不能發展學生的直觀思維能力。而思維導圖是一種將旋轉知識點直觀化的方法，在深度學習中就可以采取這個易于學生接受的方法，從而落實幾何直觀能力的發展。

2. 在模型建立中實現深度學習

學生在深度學習中將問題變為合理的數學旋轉模型，有利于幾何直觀能力的發展。如果圖形較分散，有個絕招就是運用圖形的變化——旋轉，將原圖形中分散的條件集中在一起，疑問就能迎刃而解。旋轉題型建模策略的實施主要經歷兩個階段：

第一階段，圖形描述：通過圖形語言來描述問題。如果圖形中有滿足的條件，即有相等的邊和公共端點，就會想到可以用旋轉。

第二階段，建立旋轉模型圖：先找到圖中相等的邊，通過旋轉其中一條邊使相等的邊剛好重合，構造出相關的旋轉模型圖。其中旋轉中心是唯一不動點，旋轉90°可以構造等腰直角三角形，旋轉180°可以構造與原圖形成中心對稱的圖形。

為了發展學生的幾何直觀能力，需要鼓勵學生深度學習，多總結、多歸納數學幾何模型。在學習了旋轉后，教師就應引導學生構建旋轉直觀模型。

2. 在模型求解中進行深度學習

旋轉變換的觀點滲透到數學深度學習中，將圖形動靜相結合進行研究，可進一步加深對圖形本質的認識。在旋轉模型圖中，先要判斷屬于旋轉的哪一類模型，然后思考這類模型有哪些性質，接著考慮這個性質能否直接拿來用，如果不能，就要輔助線來幫忙了。建立旋轉模型圖后，學生需要證明旋轉全等，此時難點在于倒角。旋轉中的倒角一般來說就兩種情況：第一種是用SAS證明全等，夾角一般是兩個相等的角加一個公共角;第二種用“8”字形模型圖。通過對頂角相等，就能得出我們需要的角的關系了。

例如圖9，正方形 ABCD中，E、F 分別是 BC、CD上的點，若∠EAF = 45°，AH⊥EF。

;猜想AH與AB的關系并給出證明。

此題是圖形旋轉模型的應用。有等線段AD與AB，共端點A，90°含半角45°，則可以旋轉。如果學生對圖形旋轉模型圖印象深刻，問題就很容易解決了。題目無法直接證明△ABE≌△AHE，那么將△ADF順時針旋轉90°（或將△ABE逆時針旋轉90°），AD與AB重合，這樣構建了半角旋轉模型圖，從而由旋轉的性質及全等三角形的判定就容易求得結論。

綜上所述，學生幾何直觀能力的發展是數學教學的重心，但在深度學習時，教師要向學生說明，雖然幾何直觀有很多好處，有時能簡化解題過程，給數學學習帶來方便，但也存在著一定的片面性和局限性，它并不適用于所有的數學問題。

參考文獻：

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