圓軸、橫梁構件內部響應的計算分析

摘 要：對比橫梁、圓軸構件內部響應即橫梁純彎曲時截面上的正應力σ與圓軸扭轉時截面上的切應力τ值的計算，通過實驗現象定性分析，后關聯其幾何關系，物理關系，靜力學關系三個方面的定量表達，借助高數中的微元、積分等分析工具，得出了形式相近，思路相通的表達式，而分析的方法對其他構件的力學學習有一定的借鑒意義。

關鍵詞：正應力；切應力；內部響應；變形

工程構件的幾何形狀是多種多樣的，大致可歸納為桿件、板、薄殼和塊體四類。建筑力學中則是以桿狀構件為主要研究對象，其變形的基本形式有以下四種，軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉和彎曲。為了便于理論分析和簡化計算，需要對變形體作出以下假設：均勻連續性假設、各項同性假設、小變形假設和完全彈性假設。在此假設基礎之上，深入到構件內部，考慮在外力和約束外力作用下，引起的構件內部的響應，即內力、應力變形及應變等。如何根據桿件橫截面上內力的合力來獲取桿件任意截面上任意點的內力分布集度，是亟需解決的問題，以圓周扭轉和橫梁純彎曲時兩種變形形態的應力推導過程為例，得出一些典型的分析和計算方法。

1 圓軸扭轉時橫截面上的切應力τ

圓軸扭轉時橫截面上的切應力，需要根據變形現象找出變形幾何關系；利用物理關系找出應力分布規律；利用靜力學關系，導出應力計算公式。

1.1變形幾何關系

在圓軸扭轉平面假設前提下，選相距dx的兩個橫截面及夾角無限小的兩個徑向縱截面，從軸內切取一楔形體O1ABCDO2分析，如圖（a）。楔形體的變形如圖中虛線所表示，軸表面的矩形ABCD變為平行四邊形ABCD，距軸線ρ處的任一矩形abcd變為平行四邊形abcd，即均在垂直于半徑的平面內產生了剪切變形。設上述楔形體左、右兩端橫截面間的相對轉角即扭轉角為dφ，矩形abcd的切應變為γρ，由圖（a）可知

由此得 （1）

1.2物理關系

如圖（b）所示，由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內，切應力與切應變成正比。所以，橫截面上ρ處的切應力為

（2）

而其方向則垂直于該點處的半徑。公式（2）表明，扭轉切應力沿截面徑向線性變化。

1.3靜力學關系

如圖（c）所示，在距圓心ρ處的微面積dA上，作用有微剪力，它對圓心O的力矩為。在整個截面上，所有微力矩之和應等于該截面的扭矩，即

將公式（2）代入上式，

得

Let：只與橫截面的尺寸有關，稱為橫截面對O點的極慣性矩，其量綱為[長度]4。得

（3）

即為圓軸扭轉變形的基本公式。最后，將式（3）代入式（2）中得

（4）

即為圓軸扭轉切應力的一般公式。

2 橫梁純彎曲時橫截面上的正應力σ

梁強度的主要控制因素是與彎矩有關的彎曲正應力，因為彎矩是橫截面上法向內力系的合力偶矩。與圓軸扭轉求解思路相近，要取得梁彎曲正應力的計算公式，必須綜合考慮幾何、物理和靜力學關系三個方面的內容。

2.1幾何關系

首先觀察梁的變形情況，取一根具有縱向對稱面的等截面直梁，加載前，在其表面畫上與軸線平行的縱向線ab和cd，以及垂直于縱向線的橫向線和，然后在梁的縱向對稱面內施加一對大小相等、方向相反的力偶，使梁處于純彎曲的情況。根據梁表面的變形現象，考慮到材料的連續性、均勻性，以及從梁的表面到其內部并無使其變形突變的作用因素，可以由表及里對梁的變形做如下假設：平面假設、單向受力假設、中性層假設。以上是對于變形的定性分析。

同時，為了取得彎曲正應力的計算公式，還需對彎曲正應力有關的縱向線應變做定量分析。為此，沿橫截面的法線方向取x軸，用相距dx的左、右兩個橫截面mm'和nn'，從梁中取出一微段，并在微段梁的橫截面上取荷載作用面與橫截面的交線為y軸（橫截面的對稱軸），取中性軸為z軸，由于中性軸垂直于荷載作用面，故z軸垂直于y軸，如圖（f）。根據平面假設，微段梁變形后，其左右橫截面mm與nn仍保持平面，只是相對轉動了一個角度dθ。設微段梁變形后中性層O1O2的曲率半徑為ρ，由單向受力假設可知，平等于中性層的同一層上各縱向纖維伸長或縮短量相同。故距中性層O1O2為y的各點處的縱向線應變均相等，并且可以用縱向線ab的縱向線應變來度量，即

（5）

對任一指定橫截面，ρ為常量，因此，式（5）表明，橫截面上任一點處的縱向線應變與該點到中心軸的距離y成正比，中性軸上各點處的線應變為零。

2.2物理關系

根據單向受力假設，梁上各點皆處于單向應力狀態。在應力不超過材料的比例極限即材料為線彈體，以及材料在拉（壓）時彈性模量相同的條件下，由胡克定律得：

（6）

對任一指定的橫截面，E/ρ為定量。因此公式（6）表明，橫截面上任一點處的彎曲正應力與該點到中性軸的距離y成正比，即彎曲正應力沿截面高度按線性分布，中性軸上各點處的彎曲正應力為零。其分布規律如圖（e）所示。圖中，分別表示最大的壓應力和最大的拉應力。

2.3靜力學關系

如圖（f）所示，橫截面上某點處的法向微內力dA組成一空間平行力系，而且由于彎曲時，橫截面上沒有軸力，僅有位于XY面內的彎矩M，故按靜力學關系，有

（7）

（8）

（9）

將式（6）代入式（7）式得

，式中，為截面A對中心軸Z的靜矩。由于，故必有：，表明中心軸Z為橫截面的形心軸。

將式（6）代入式（8）得

，式中，為截面A對y、z軸的慣性積。由于，故必有，表明y、z為橫截面上一對相互垂直的主軸。由于y軸為橫截面的對稱軸，對稱軸必為主軸，而z軸又通過截面形心，所以y、z軸為形心主軸。

將式（6）代入式（9）得

，式中，為橫截面對中性軸z的慣性矩，由此得

（10）

式中為梁變形后中性層的曲率，反映了梁的彎曲程度；稱為梁的剛度，愈大，曲率愈小，梁愈不易彎曲，因此反映了梁抵抗彎曲變形的能力。將式（10）代入式（6）得

（11）

這就是直梁純彎曲時橫截面上的正應力計算公式。M為橫截面上的彎矩。

3 圓軸與橫梁內部響應計算中的思路分析

圓軸扭轉橫截面上的切應力（τ）計算時，定性分析得出圓

軸扭轉平面假設，在定量計算中其幾何關系為，物理關系為剪切胡克定律與切應力互等定理，靜力學方面通過微剪力積分來求解。橫梁純彎曲橫截面上的正應力（σ）計算時，定性分析得平面假設、單向受力假設、中性層假設，定量計算時的幾

何關系，物理關系為胡克定律，靜力學方面通過法向微內力積分求解桿件橫截面上內力的合力和桿件任意截面上任意點的內力分布集度之間的解析表達式。

4 結語

通過對圓軸扭轉、橫梁彎曲內部響應的計算分析，發現其處理的方法、分析的思路和計算的步驟都具有很好的典型性、系統性和可類比性。在其求解過程中的定性分析、定量計算中，體現很多共性、相通的學習思想，而這樣的思想有助于對于其它相關力學知識的學習，做到觸類旁通，舉一反三。

參考文獻

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[2] 謝剛，沈冰.工程力學[M].沈陽：東北大學出版社，2008.

[3] 西南交通大學應用力學與工程系.工程力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

作者簡介：

許多文，男，1982年4月生，甘肅民勤人，2010年江西理工大學測繪工程專業碩士研究生畢業，武威職業學院講師。