分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布與金融投資①

王治力 陳秋同 王俊杰

摘 要：在金融投資領(lǐng)域，常會(huì)遇到根據(jù)歷史行情對(duì)未來(lái)行情走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)的問題，對(duì)此本文通過樣本總體分布判斷，建立Lévy穩(wěn)定分布決策模型擬合數(shù)據(jù)，求解分布統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)分布統(tǒng)計(jì)量求解金融投資的兩大重要參數(shù)，最終得到企業(yè)金融投資決策問題的一類優(yōu)選方法。

關(guān)鍵詞：Lévy穩(wěn)定分布 置信區(qū)間 金融投資 正態(tài)分布

中圖分類號(hào)：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-0298（2018）12（b）-051-02

1 分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布簡(jiǎn)介

分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布及其隨機(jī)過程是一類廣泛應(yīng)用于描述非高斯變量和非馬爾科夫過程的統(tǒng)計(jì)方法。Lévy穩(wěn)定分布是一種具有冪律特征的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布，其概率密度或累計(jì)分布曲線表現(xiàn)為尖峰拖尾特征，尾部為冪律衰減，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過程可以描述長(zhǎng)程相關(guān)性和突發(fā)性。1963年Mandelbrot首次將其用于金融領(lǐng)域。

2 問題引入

金融市場(chǎng)與一般商品市場(chǎng)的根本區(qū)別在于它的收益的不確定性，在日趨復(fù)雜的市場(chǎng)條件下，想要在變幻莫測(cè)的金融市場(chǎng)中作出合理的、科學(xué)的決策，采用合理的數(shù)學(xué)方法，從經(jīng)驗(yàn)投資向科學(xué)投資發(fā)展至關(guān)重要。

現(xiàn)有一公司欲拿出1000萬(wàn)元流動(dòng)資金進(jìn)行股票投資，該公司在過去的255個(gè)股票交易日中的日收益額（如表1所示）。該公司打算根據(jù)上述歷史行情進(jìn)行決策，其中日均十萬(wàn)元損失率與置信度95%的日均損失額為兩個(gè)重要的參考指標(biāo)。本文使用分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布方法對(duì)該問題進(jìn)行求解。

3 模型假設(shè)

（1）假定表1中的數(shù)據(jù)為每天結(jié)算一次且保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬(wàn)元。

（2）由于市場(chǎng)受眾多隨機(jī)因素影響，因此認(rèn)為每天公司收益額數(shù)據(jù)之間相關(guān)性極弱，近似認(rèn)為相互獨(dú)立。

（3）所給數(shù)據(jù)具有真實(shí)性、代表性、可靠性。即忽略統(tǒng)計(jì)誤差，排除人為因素，認(rèn)為此數(shù)據(jù)是正常市場(chǎng)投資的結(jié)果。

4 模型的求解

4.1 基于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布的投資決策模型

Lévy穩(wěn)定分布是一類分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布，該分布的概率密度函數(shù)具有尖峰、非對(duì)稱、拖尾特征?？坍嫶祟惙植夹枰膫€(gè)參數(shù)，分別是穩(wěn)定系數(shù)α、傾斜指數(shù)β、尺度參數(shù)γ和位置參數(shù)δ，參數(shù)的取值范圍分別為：

0≤α≤2，-1≤β≤1，γ>0，δ∈R。

正態(tài)分布和柯西分布是其穩(wěn)定指數(shù)等于2和1時(shí)的特殊情形。

Lévy穩(wěn)定分布傾斜指數(shù)能夠刻畫收益額統(tǒng)計(jì)分布的拖尾特征，為研究金融投資收益額的統(tǒng)計(jì)分布提供了一種更為優(yōu)良的方法。

此外，由于Lévy穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)均沒有統(tǒng)一的解析表達(dá)式，因此，采用合適的軟件工具十分必要，本文利用一種Lévy穩(wěn)定分布軟件工具包及相關(guān)程序?qū)崿F(xiàn)分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。

4.2 Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)計(jì)算

為了刻畫Lévy穩(wěn)定分布，首先需要計(jì)算Lévy穩(wěn)定分布的四個(gè)參數(shù)，利用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法估計(jì)收益額樣本對(duì)應(yīng)的Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)（如表2所示）。

對(duì)得到的標(biāo)準(zhǔn)Lévy模型做進(jìn)一步分析，對(duì)樣本數(shù)據(jù)與Lévy隨機(jī)數(shù)做K-S檢驗(yàn)，得到顯著性水平值為0.3921（置信水平為0.05），接受原假設(shè)H0，即樣本數(shù)據(jù)滿足Lévy總體分布。對(duì)比正態(tài)總體的K-S檢驗(yàn)水平0.028，易知Lévy穩(wěn)定分布相比高斯分布更適合該投資決策模型。

類似的，利用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法，結(jié)合CMS生成的Lévy隨機(jī)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)模型求出對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。值得說(shuō)明的是，一般有兩種方法可以求解分布函數(shù)：經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法與百分位法，后者具有更高的計(jì)算效率，但誤差稍大，因此本模型中均選取經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法計(jì)算分布函數(shù)。表3是兩種方法求得的Lévy穩(wěn)定分布統(tǒng)計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)Lévy分布的對(duì)比。

圖1是樣本累積分布函數(shù)與Lévy累積分布函數(shù)圖，樣本擬合得到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)Lévy曲線基本重合，可見用Lévy穩(wěn)定分布來(lái)模擬金融投資行為是較為可靠的。

4.3 模型求解

通過MATLAB使用多項(xiàng)式函數(shù)擬合樣條曲線，可以得到9次擬合多項(xiàng)式約為（由于matlab只能得到各系數(shù)取值的置信區(qū)間，本文中多項(xiàng)式各系數(shù)為置信區(qū)間中值）：

則下一交易日的日均十萬(wàn)元損失率為：P （ x < -10）=F（-10）=0.03944，故而下一周期損失超過十萬(wàn)元的概率為3.944%。置信度95%的日均損失額為F-1（0.05）=8.8185，故而在95%置信度下?lián)p失不超過8.8185萬(wàn)元。

5 模型分析與推廣

本文通過Lévy穩(wěn)定分布模型對(duì)金融投資中的重要參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，由于本問題的日收益樣本概率密度函數(shù)具有尖峰拖尾特征，故從理論上分析，采用Lévy穩(wěn)定分布可以得到較高斯分布更為優(yōu)化的結(jié)果。本文中通過對(duì)Lévy穩(wěn)定分布進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Lévy穩(wěn)定分布的顯著性水平低于正態(tài)分布，證明了Lévy穩(wěn)定分布在金融投資問題解決中的優(yōu)越性。除了金融投資之外，Lévy穩(wěn)定分布模型還廣泛應(yīng)用于反常擴(kuò)散，信號(hào)處理等領(lǐng)域。

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①基金項(xiàng)目：“江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目”（英文標(biāo)志：Top-notch Academic Programs Project of Jiangsu Higher Education Institutions，簡(jiǎn)稱：TAPP）。