高中數學化歸思想及其應用研究

王越

摘 要：本文首先對化歸思想進行了簡介，說明了化歸思想在解決數學問題中的重要應用。然后，再從化歸方法與代數、化歸方法與幾何二大方面其中包括數及代數式的運算、方程函數不等式和解析幾何三個部分進行例題搜集及剖析。系統的總結了高中階段應用化歸思想的類型題，深入淺出地進行了講解，數學的問題總離不開轉化，通過對化歸思想的研究和總結，使大家更好的掌握這種解題方法.

關鍵詞：化歸思想 轉化 代數 幾何

引言

1.化歸思想簡介

數學思想方法是科學思想、科學方法的一個重要組成部分。化歸思維，是一種重要的數學思想方法，化歸思想即把未知問題轉化為已知問題、把陌生問題轉化為熟悉問題、把繁雜問題轉化為簡單問題，化歸思想是解決數學問題的常用方法之一[1]。在數學解題中轉化思維的運用極其重要，數學的問題總離不開轉化， 化歸思想在早期解決數學問題中就有很廣泛的應用，如納皮爾的對數法、笛卡爾的萬能方法、著名的哥尼斯堡七橋問題等等[2]。化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系，互相制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。我將高中數學問題所應用到的化歸方法進行歸納總結，以便大家可以更直觀更具體的解決數學問題，這是我所要研究的重點。本文通過對化歸思想的研究和總結，使大家更好的掌握這種解題方法。

一、化歸方法與代數

化歸思想的實質是揭示聯系、實現轉化。以下將從二個方面來展示在代數問題中所應用的轉化思想。

1.數及代數式的運算

范例1.40顆棋子放在個方格中（每格只能放一個棋子），要求各行各列的棋子數均為偶數。試問這樣的放法是否可能？[3]

解析：由于每行每列方格數均為偶數，則問題等價于使每行每列空格數均為偶數是否可能，這顯然可以辦到。如令左上角個方格空著即可。

范例2.兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能擺放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問是先放者取勝，還是后放者取勝？[4]

解析：我們先考慮極端情況。假設硬幣恰與圓桌一樣大小，則先擺必勝。這是因為只要把硬幣擺在桌子中心即可。從極端情形中我們可以獲得啟示；擺的人可以把第一枚硬幣占據桌子中心，由于桌面為中心對稱，以后不論對方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故必先擺者取勝。

該例題直接考慮顯得比較困難，但是通過把問題極端化，通過對極端位置或狀態下問題特性的考察，從而把問題化為比較容易的解決方法，從中引出一般位置或狀態下的性質，從而獲得解決問題的思路。

2.方程、函數、不等式

法國著名數學家笛卡兒在研究思維原則時曾提出過一個期望，即所謂的能用以解決各種問題的“萬能方法”：

第一，把一切問題化歸為數學問題；

第二，把一切數學問題化歸為代數問題；

第三，把一切代數問題化歸為方程式的求解[5]。

范例1.求證：能被6整除。

解析：原式可變為。可看出是三個連續整數之積與6的和。而“求證三個連續整數之積能被6整除”是比較難的問題，所以我們可以將其轉化為較容易的問題：“求證三個連續整數之積既能被2整除又能被3整除“，從而來解決問題。

范例2.解方程=1。（恒等變形）

解析：恒等變形后得 1

再恒等變形后得 2

解式2得，

由于與方程式、1式、2式的定義域相同（均為不等于的所有實數），故此化歸為等價化歸，即是方程的解。

范例3.求函數的最大值和最小值。

解析：令通過換元將三角問題轉化為較為熟悉的一元二次函數在閉區間上的函數最值問題。

設，則，并且，

當時，有；

當時，有為和中的較大者，即或；

當時，有。

二、化歸方法與幾何

化歸由繁到簡目標原則是指化歸應朝著目標簡單化的方向進行，即復雜的待解決的應向簡單的較易解決的問題化歸。這里的簡單不僅是指問題結構形式上的簡單，而且還指問題處理方式、方法上的簡單。

1.化歸方法與解析幾何

范例1.設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點的距離等于的點的坐標。

解析：設所求橢圓的方程為

范例2.求內接于橢圓的三角形面積的最大值。

解析：如所知，求圓內接三角形面積之最大值是很容易解決的。對于本例而言，我們就可運用壓縮變換的方法把橢圓轉化為圓。用過圓內接三角形面積的最大值去研究橢圓內接三角形面積的最大值，

代入橢圓方程可得。

我們知道，內接于圓的三角形面積的最大值為（正三角形），由于在壓縮過程中橢圓各點的縱坐標沒有變化，因而其內接三角形面積的之高不會變動，只有三角形之底邊長變短了，如此，橢圓內接三角形面積的最大值是。

結語

博利亞曾經強調指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”。然而，他所大力提倡的“解題”完全不同于“題海戰術”。他主張，與其窮于應付繁瑣的教學內容和過量的題目，還不如選擇一道有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生深入挖掘題目的各個側面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入嶄新的天地。他認為解題應作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑，由此可見，加強解題教學，不是搞題型訓練，更不是搞題海戰術。他的準確含義是通過解題和反思活動，在解題基礎上總結和歸納解題的方法，并提煉上升到思想的高度。同時，通過解題活動，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，突出數學思想方法對解題的指導作用。

通過解題研究，我們可以充分意識到化歸思維在解題中的意義。在解題過程中，我們總是將問題由未知向已知轉化、由難到易、由繁到簡轉化，使問題轉化為我們已經解決了或者容易解決的問題。

參考文獻

[1]陳興.利用數學思想突破高中數學教學難點[D].華中師范大學，2011年.

[2]何建明，張旭.化歸與解題[J].安順師范高等專科學校學報（綜合版）；2004年04期.

[3]王光燦.滲透化歸思想，提高學生的化歸能力[J].考試周刊；2013年57期.

[4]任興發.化歸思想在高中函數教學中的應用研究[D].內蒙古師范大學；2013年.

[5]楊宇.高中數學教學中運用化歸思想的案例分析[D].天津師范大學；2012年.