如何在大學工科數學教學中強化基礎知識的教學

付 瑤 宋東哲 趙玉娟

（吉林大學數學學院公共數學教學與研究中心，吉林 長春 130012）

眾所周知，在大學工科眾多課程中，數學是一門非常重要的基礎課。一般包含：高等數學、線性代數、概率論與數理統計。一方面，數學理論、方法是學生學習后繼課程的基礎；另一方面，在數學近兩學年的教學中，在傳授知識的同時，逐步培養學生抽象思維、邏輯推理、創新創造能力也是大學培養人才的一個重要的教學環節。

而數學的特點是概念抽象、推理嚴謹、內容銜接緊密、邏輯性強。這也給學生學習帶來很大困難：前面概念理解不透，后面定理就很難深刻透徹地把握；而基本定理掌握不好，定理的推廣應用也就無從談起。

那么，如何強化基礎知識教學，使學生深刻理解掌握基本概念、基本定理，進而在解題中能融會貫通舉一反三呢？本文從以下幾個方面做了一些嘗試和探討。

一、從四種命題的不同角度，反復討論同一知識點

大家知道，原命題、逆命題、否命題、逆否命題知識是中學數學邏輯的內容。而許多同學，對四種命題關系還不夠清晰，或是不能應用到大學數學具體問題中去。我們要學生掌握好基本概念，并不是要求其如何背得滾瓜爛熟，而是能深刻透徹理解、并會應用。如數列{xn}收斂和有界的關系。原命題是：“如果{xn}收斂，則{xn}一定有界”，則其逆否命題：“如果{xn}無界，則{xn}發散”一定成立，教師可引導學生根據數列無界去判別它一定發散。例如一定發散。同時強調，該命題的逆命題、否命題并不成立，即“有界未必收斂”、“發散未必無界”，例如{（-1）n+1}是有界的，因│（-1）n+1│≤1，而它是發散的。

又如，在高等數學中，數列極限的四則運算法則是一個重要的知識點。如“和”的運算法則是：“如果數列{xn}收斂于A，數列{yn}收斂于B，則數列{xn+yn}一定收斂于A+B ”，這個定理告訴我們的是：“如果兩個數列都收斂，則相加以后的新數列仍收斂”。在教學中，教師可引導學生通過例子分析其逆命題并不成立，即{xn}、{yn}均收斂是{xn+yn}收斂的充分條件，而不是充分必要條件。如數列{（-1）n+1}、{（-1）n}都是發散的，但{（-1）n+1+（-1）n}，各項全為0，是收斂的，進而啟發學生去思考兩個數列，如果都收斂，則其和一定收斂；如果都發散，其和也可能收斂；如果一個收斂、一個發散和的斂散性怎么樣？更深一層，要求學生能將此結論引申推廣，比如嘗試討論更復雜的兩數列乘積的極限情況，另一方面能舉一反三，能把這部分結論方法應用到其它，如連續性、可導性、可積性等諸多類似問題中去。

二、將抽象問題形象化、具體化

如在線性代數課程中，矩陣的秩是一個非常抽象的概念，而定理“矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和”，即“R（A+B）≤R（A）+R（B）”的理解和證明也是學生學習的一個難點。一般教材都是在講完向量組的秩后利用矩陣的秩就是其行（或列）向量組的秩，再將A+B的行（或列）用A、B的行（或列）線性表示出來，然后利用向量組秩的結論才能給出這個定理的證明。所涉及的幾個定理都很抽象，不易理解；而如果利用矩陣行列式秩的概念，即矩陣的秩是其非零子式的最高階數，再構造矩陣則顯然 R（C）=R（A）+R（B），再對 C 進行初等變換，將C的后m行依次加到前m行，后n列依次加到前n列上，即因A+B為D的一個子塊，同樣利用較形象的行列式秩定義，則顯然R（A+B）≤R（D）=R（C），這個結論就容易理解和把握了。

三、引導學生掌握各概念、定理的實質,借助圖表等來揭示其中的本質聯系

在多元函數微分學中,函數可微、連續、可偏導等概念之間的關系涉及的知識點很多，學生容易混淆，而借助如下關系圖：

從上至下是函數可微、連續、有極限的關系，一元函數、多元性函數性質相同；從左至右是二元函數和一元函數的相應的關系。所涉及的十多個結論就一目了然了。

四、在處理較難的知識點時，注意啟發學生抓問題的關鍵點

如學生易將一元函數“可導一定連續”用到多元函數，得到“偏導存在一定連續”。如上圖，這是不成立的，關鍵在于“偏導”是x或y的一元函數（平行x軸或y軸特殊方向）的導數，而“連續”是多元函數“全面連續”，即當動點 P（x，y）依任何方式趨于定點P0（x0，y0）時，二元函數f（x，y）的極限都存在并且為f（x0，y0），問題的關鍵在于“特殊”和“一般”，“偏”和“全”，不能以偏概全！

五、借助典型例題，幫助學生理解和記憶

在多元函數微分學中就是一個很典型的問題，它在O（0，0）處二重根不存在，從而不連續；但一元函數f（x，0）、f（0，y）連續，且fx（0，0）、fy（0，0）都存在，可以用來幫助同學來理解和記憶一元函數和多元函數的關系，偏導存在函數不一定連續等重要結論。又如二元函數z=xy的圖形是雙曲面拋物面（鞍形曲面），原點O（0，0）是它的駐點，但非極值點，借助其圖形幫助學生理解駐點未必為極值點，結論就直觀、形象容易把握了。

六、將綜合問題分解、通過階梯訓練強化基本知識點的教學

所謂難題，一類是技巧性強，解題思路不好把握；另一類就是綜合性強，一個題涉及好幾個知識點，而每個知識點都是我們強調的基本問題。對這種問題，我們要引導、啟發學生深入細致審題，將所涉及的知識點逐層分解，找到各知識點解決的關鍵點、整個題目也就迎刃而解了。如下體是非數學專業大學生數學競賽的試題，求極限：

給出題目，要注意引導、啟發學生該類求n項和極限問題解題思路。

首先看看能否恒等變形，如能，先變形；不容易恒等變形的，試試兩邊夾準則，將其放大、縮小，看兩端的極限是否相同，本體放縮以后極限不同，所以也不能直接有兩邊夾準則得出極限；然后考慮能否用定積分定義處理特殊數列的極限……。而本題就是綜合兩邊夾準則和定積分定義得出。

本文雖是從六個方面探討了如何在工科數學教學中強化基本概念、基本定理等基礎知識的教學，將其應用在各門課程，并取得了較好的教學效果。但數學課程本身的特點和工科整體教學要求也決定了在這些方面分作為老師還有很多工作要做，要進一步研究探索。工科數學，其抽象性、嚴密性也決定了它是諸多課程中最鍛煉人思維的一問學科，而如何在教學中深入淺出、循序漸進地傳授基礎知識，同時注重學生數學思維方式方法的掌握，逐步鍛煉培養學生分析解決問題的能力也是擺在廣大數學教師面前一項永遠也做不完的課題！