一個杠桿問題的解法及推廣

王偉民

【摘 要】 用對函數(shù)求導(dǎo)確定駐點的方法，探究一個力學(xué)問題中兩物體間作用力的變化規(guī)律，并將解決問題的方法作一推廣.

【關(guān)鍵詞】 鋼板；圓柱體；壓力；杠桿平衡；三角函數(shù)

例題1 如圖1所示，一密度均勻的長鋼板OA左端O點用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進一個圓柱體鐵桶，若不計摩擦，在鐵桶緩慢左移的過程中，鋼板對鐵桶的壓力[假設(shè)鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小]（ ）.

A.逐漸變小 B.逐漸變大C.始終不變 D.先變大，再變小

作為選擇題，考慮“極端值”并采用淘汰法，很容易確定本題的答案是選項D——由題目條件“鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小”可知，若鐵桶直徑相對鋼板的長度足夠小（只有這樣才能保證開始“鋼板與水平地面的夾角足夠小”），鐵桶剛進入時，鋼板對鐵桶的壓力接近于鋼板重力的一半，當鐵桶向左前進相當長的距離后（比如前進的距離是鋼板長度的一半），則相對于支點，鐵桶對鋼板壓力的力臂幾乎減小一半，而鋼板與水平面的夾角可以幾乎不變（我們可以設(shè)想鋼板有鉸鏈的一端在北京，另一端在上海，鐵桶只是直徑為30cm的普通鐵桶，就可以想象出在鐵桶向左推進過程中鋼板與水平地面夾角的變化情形了），所以，開始的過程，鐵桶與鋼板間的壓力應(yīng)該不斷的增大，而當鋼板與水平地面的夾角接近于90°時，鋼板與鐵桶之間的壓力趨向于0，變得很小，所以，我們可以將題目所給4個選項中的前三個淘汰，而得出本題的正確選項D.