初探均值不等式在數學解題中的應用

盧迎春 曹慶逸

[摘 要]均值不等式的應用是高中數學的重要內容，也是高中數學的一個難點，它因題型廣泛、涉及面廣、靈活多變，備受命題者的青睞，成為歷屆高考中的高頻考點.應用均值不等式既可解決函數、方程等方面的問題，又經常同函數、方程結合來解決代數、幾何及實際應用領域中的問題.應用均值不等式解決函數、方程問題時，關鍵要將問題轉化與化歸.轉化時需適當運用配方思想、函數思想、分類討論思想來分析解決問題；化歸時要注意變量的范圍和式子的等價性.在利用均值不等式求值時，一定要緊扣“一正”“二定”“三相等”這三個條件.

[關鍵詞]均值不等式；數學解題；轉化；化歸

[中圖分類號] G633.6[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2018）11-0025-05

不等式是高中數學知識的重要組成部分，是解決初等數學問題的重要工具，而均值不等式以它廣泛的應用，成為高中數學不等式中的一朵奇葩，它美麗的身影遍布在高中數學所有的章節中，所到之處，流光溢彩，魅力四射！它既可解決函數、方程等方面的問題，又經常同函數、方程結合來解決代數、幾何及實際應用領域中的問題.在高考注重改革和創新的今天，對它的應用考查所占比例越來越大.均值不等式越來越多地滲透到各類高考題之中，既可通過選擇題或填空題考查有關它的基礎知識和基本公式，在大題和壓軸題中，更是常有它如明星大腕般的閃亮身影，它主要考查學生的邏輯思維和解決問題的能力.下面分享一下我們在均值不等式方面的一些探究成果.

通過以上幾個例題，我們可以總結得出，在應用均值不等式解決函數、方程的問題時，關鍵要將問題轉化，如果條件不夠轉化的，應當積極地創造條件合理拆添項或配湊因式是常用的解題技巧.轉化時，還需適當地運用配方思想、函數思想、分類討論思想來分析解決問題.化歸時，要注意一些變量的范圍和式子的等價性，在利用均值不等式求值時，一定要緊扣“一正”“二定”“三相等”這三個條件，即每個項都是正值，所有的項能同時相等，而“二定”這個條件是對不等式進行巧妙分拆、組合.添加系數等使之能變成可用基本不等式的形式的關鍵，倘若多次運用不等式求值，必須保持每次取“=”號的一致性.

7.均值不等式在實際問題中的應用

【例11】 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池.如果池的四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計.

（1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.

（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.

所以如果要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應大于25千米/小時且小于64千米/小時.

在應用均值不等式解決實際問題時，一般先要通過閱讀充分理解材料，尋找材料中量與量之間的內在聯系，抽象出材料中的主要特征與關系，建立起能反映其本質聯系屬性的數學關系式，從而建立起最佳的數學模型，然后應用相關知識解決問題.

總之，均值不等式的應用是高中數學的重要內容，同時也是高中數學的一個難點，因其題型廣泛，涉及面廣，靈活多變，備受命題者的青睞，成為歷屆高考中的高頻考點.在題目的設計上，年年別出心裁，常常將不等式與函數、數列、三角等綜合考查，重在考查考生的運算能力和邏輯推理能力.

（責任編輯 黃春香）