“數形結合”在計算教學中的有效利用

徐敏

[摘 要] 計算教學是小學數學的核心內容，主要包括整數、小數、分數的四則計算。在計算教學中，算理和算法相輔相成，缺一不可。但是算理和算法又十分抽象，對于以直觀形象思維為主的小學生來說是學習的難點。數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。若運用數形結合的思想方法則可以化抽象為直觀，更好地幫助學生理解算理和掌握算法。

[關鍵詞] 小學數學；數形結合；算理；算法

數學是以現實世界的空間形式和數量關系作為自己特定的研究對象，也可以說數學是研究“數”與“形”及其相互關系的一門科學，而在數學教學中把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數形結合思想?？梢哉f，數形結合是小學數學范圍里最基本、最重要的思想。

一、在計算教學中運用數形結合方法的現狀分析

在計算教學中，越來越多的教師意識到數形結合方法的重要性，懂得借助圖形來幫助學生理解算理，但是多數停留在形式上，沒有深入地挖掘圖中的內涵，缺乏“數形結合”的運用策略，使圖形與計算不能有效地整合，因此，無法取得好的計算教學效果。

如：在教學二年級下冊《有余數的除法》時，教師讓學生通過畫圖來分一分、圈一圈得出算式：7÷2=3（盤）……1（個）；17÷2=8（組）……1（個），接下來教師只是提問學生是怎樣算出來的，并沒有結合所畫的圖形來引導學生去理解算式中每一個數所表示的意思，從而導致學生不能較好地理解余數和有余數的除法的含義。

又如：在教學五年級下冊《同分母分數加減法》時，教師讓學生用畫圖的方式得出4道算式的結果：

接著，引導學生發現這些算式的計算方法是分母不變，分子相加減，最后讓學生進行計算鞏固練習。對本節課來說，“讓學生理解為什么分母不變，分子相加減”是教學難點，在得出算法時，應該引導學生聯系圖與算式之間的聯系，以算理來解釋算法，這樣才能真正突破難點。

二、“數形結合”在計算教學中的有效利用

（一）以“形”解“數”，初步感知算理

基于學生的生活經驗和思維，一些計算的算理和算法對于他們來說是抽象、難以理解的。尤其是分數乘分數這一類純粹數的計算是非常抽象的，因此，我們要為分數找對應的圖形，以圖形來表達分數，以圖形來進行計算，以圖形來解釋算理，從而使學生在直觀操作中理解算理。那如何借助圖形，化抽象為直觀，讓學生理解抽象的算理呢？

【教學片段一】

1.探究[1/5]×[1/2]。

師：像[1/5]×[1/2]這樣一個新的分數問題怎樣研究呢？如果用這樣一個長方形表示“1”，那么怎么畫圖呢？請大家在練習紙中試一試。

師：你們在畫圖的時候先分了什么？

生：先把單位“1”平均分成5份，取其中的1份。

師：接著又怎么分的？分完后又取了幾份？

生：接著再把這一份平均分成2份，取其中的1份。

師：比一比，哪一幅圖更能體現先分再取，再分再取呢？

課件演示：

師：通過畫圖我們知道了[1/5]×[1/2]實際上是求[1/5]的[1/2]是多少。那[1/5]的[1/2]到底是多少呢？

生：[1/10]。

師：你是怎么知道的？

生：只要添上一條輔助線，就能看出是[1/10]。

師：10在哪里？1在哪里？

2.探究[1/5]×[2/3]。

師：[1/5]×[2/3]這幅圖又該怎樣畫呢？請大家畫畫看。

學生反饋：

師：[1/5]的[2/3]到底是多少呢？怎么修改這幅圖呢？

生：只要把整幅圖橫著平均分成3份，那么整幅圖一共平均分成15份，所以[1/5]×[2/3]=[2/15]。

【教學分析】

在該片斷教學環節的處理上，多數教師會出現以下兩種情況：

（1）先讓學生畫1次圖，在畫圖中引導學生得出計算結果。再讓學生結合圖形解釋算式[1/5]×[1/2]=[1/10]中的每一個數，在初步理解算理的同時抽象出算法。

（2）先通過讓學生經歷2次畫圖，得出兩條算式：[1/5]×[1/2]=[1/10]，[1/5]×[2/3]=[2/15]。再引導學生觀察這兩條算式的數，得出分數乘分數的計算方法。

以上兩種處理方式，教師重視的是從算式的表征出發，借助整數乘法，直接從表征概括出算法。這樣會導致以后的計算只是從表征出發，套用算法計算，最后是為計算而計算，在數學素養上沒有得到必要的提升。

筆者的處理則非常巧妙：在讀懂學生和教材的基礎上，在探究算理的過程中，選擇長方形作為探究材料，充分發揮以形助數的作用，幫助學生理解算理。第一次讓學生嘗試畫圖，幫助學生理清畫圖的方法，歸納畫法“分了再取，再分再取”，并且緊緊圍繞“形”，讓學生逐步理解[1/5]×[1/2]=[1/10]的[1/10]從哪里來？第二次畫圖則更注重以形解數，通過一系列的問題串，讓學生感知[1/5]×[2/3]=[2/15]的算理。學生兩次經歷從數到形，再從形抽象出數的過程，初步感知了算理。

教學的成功之處是將數與形變成一組形影不離的好友，在這里，形不是橋梁，不是媒介，是合作伙伴，數與形一直同行，達到了初步理解算理的目標。

因此，在探究算理時，我們應該學習“慢文化”，先教給學生準確的畫圖方法，再引導學生以形解數，層層遞進來感知算理。

（二）以“數”思“形”，再現感知痕跡，深化算理的構建

在借助實物或畫圖操作初步理解算理后，我們常常發現學生很難用完整的數學語言對操作的結果加以提煉和概括。這是為什么呢？主要原因是學生由動手操作到抽象概括缺少一個支撐點，這個支撐點便是表象。兒童的認識規律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程。表象介于感知和形成科學概念之間，如何建立這個支撐點，讓學生的具體思維合理地向抽象思維轉化，深化算理的構建呢？

【教學片段二】

探究[3/5]×[3/4]。

師：請大家閉上眼睛想一想，先畫什么？再畫什么？

師：誰來說，老師畫。

生：先把整個長方形平均分成5份，取其中的3份；再把[3/5]平均分成4份，取其中的3份。

課件演示：

師：現在大家知道[3/5]×[3/4]是多少嗎？

生：[9/20]。

師：怎么看出來的？

生：畫輔助線就可以了。

【教學分析】

在算理的構建中，該環節“請大家閉上眼睛想一想，先畫什么？再畫什么？”是許多教師最容易忽略的。因為在有些教師看來，該環節的設置對于教學來說無關緊要。這是一種錯誤的意識，分數乘分數這一模型的構建從具體思維向抽象思維轉化，對于學生來說是具有難度的，尤其是中下生。如果沒有留給學生一個思考的空間，沒有借助“在腦中畫圖”這種半具體半抽象的表象操作，那么一些學生難以實現從形象思維到抽象思維的有效轉化。

再觀察我在該環節上的處理：在引導學生探究[1/5]×[1/2]和[1/5]×[2/3]后，充分利用學生的兩次感知經驗，讓學生在探究[3/5]×[3/4]時以“數”思“形”，在腦中思考先畫什么，再畫什么，再課件出示畫圖過程。這樣的處理是建立在充分了解學生的認知基礎上的，提供一個空間給學生在腦中再現感知的痕跡，成功建立表象后，再利用該表象與課件演示的圖形對比，有效地讓分數乘分數的模型在學生腦中留下深刻記憶，為后面順利地進行抽象的概括打下了堅實的基礎。

因此，在計算教學中，當學生通過直觀操作獲得豐富的感知，初步理解算理后，教師應引導學生在頭腦中有效地建立表象，深化算理的構建。

（三）以“數”質“形”，猜想算法，實現算理向算法過渡

算理是客觀存在的規律，是算法的理論依據，它保證了計算的合理性和正確性；而算法是算理的提煉和概括，它為計算提供了快捷的操作方法。學生只有真正理解了算理和算法，才能靈活、簡便地進行計算。因此，在學生對算理有了較深的理解后，要幫助學生從算理過渡到算法。但以何種方式來更好地實現算理向算法過渡呢？

【教學片段三】

課件出示：[71/25]×[3/8]

師：這道題的積是多少，現在再畫圖解決好嗎？

生：不好。

師：畫圖不是挺好的嗎？剛才我們還用它解決了好幾個問題呢，怎么到這里就不行了呢？

生：數小了行，大了就不好畫了。

師：你真會思考。畫圖好是好，但也有局限性。其實我們的數學學習不能老停留在畫圖上，還得要探索一種更有效、更通用的方法。有什么更好的方法呢？

生：用分母乘分母，分子乘分子，就算出積了。

師：這個方法好是好，可是怎么讓大家相信這樣算是可以的？

生：剛才就是這樣算的：[1/5]×[1/2]=[1/10]，5乘2做分母，1乘1做分子。

【教學分析】

在算理向算法的過渡上，我們一般會在幫助學生建立表象深化算理構建后，直接引導學生去探究算法。

筆者是這樣處理的：在學生已經積累了較多的活動經驗，對算理有了較深感知后，設計較大的“數”來質疑畫圖的可行性，制造認知沖突，讓學生認識到圖形的局限性，促使學生在之前的經驗積累中去尋找新的解決問題的方法。這樣一來，順理成章地實現算理向算法的過渡，同時培養了學生利用合情推理去獲得猜想和發現結論的能力。

因此，在計算教學中，我們可以合理利用“數”無限與“形”有限的特點，制造認識沖突，更好地激發學生從算理探究走向算法的探究。

數形結合，計算課堂亦精彩。在計算教學中，只要我們基于學情，認真研讀教材，有的放矢地運用數形結合思想方法，為學生構建一個“算理”和“算法”交融的計算課堂，引導學生在算法探究中理解算理，在理解算理的基礎上形成算法，那么我們的計算課堂一定會更高效、更精彩。

[參 考 文 獻]

[1]劉兼，孫曉天.義教數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

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[3]蔡敦斌.數形結合在小學數學“數與代數”教學中的策略探究[J].亞太教育，2016（10）.

[4]呂會聰.數形結合在計算教學中的滲透策略[J].小學數學教育，2016（9）.

[5]鄭辛.數形結合在小學高年級計算教學中的運用[J].課程教育研究：學法教法研究，2016（3）.

（責任編輯：李雪虹）