對一道江蘇高考題自洽性的探討

(江蘇省常州市第三中學(xué)，江蘇 常州 213000)

1 問題的提出

電磁感應(yīng)是高中選修3-2模塊的重點(diǎn)內(nèi)容,涉及的知識面廣，對學(xué)生的能力要求較高，所以這一類問題經(jīng)常出現(xiàn)在各地的高考或模考計(jì)算題中。縱觀近幾年的江蘇高考物理試題，涉及電磁感應(yīng)的計(jì)算題通常情境新穎，很好地考查了學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng)。同時(shí)，在這些情境新的考題中不乏嚴(yán)謹(jǐn)性欠缺的試題。在各地高考和模考試卷中，命題者為了能讓高中生可以處理一些復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，常常在題設(shè)條件中給出一些不自洽的已知條件。本文以2014年江蘇高考第13題為例，談?wù)勲姶鸥袘?yīng)類試題中的自洽性問題，期望命題者在命制這類問題的過程中注意科學(xué)性，避免出現(xiàn)差錯(cuò)。

2 原題呈現(xiàn)

圖1

如圖1所示,在勻強(qiáng)磁場中有一傾斜的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L，長為3d，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，在導(dǎo)軌的中部刷有一段長為d的薄絕緣涂層。勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直。質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒從導(dǎo)軌的頂端由靜止釋放，在滑上涂層之前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，并一直勻速滑到導(dǎo)軌底端。導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直，且僅與涂層間有摩擦,接在兩導(dǎo)軌間的電阻為R,其他部分的電阻均不計(jì)，重力加速度為g。求：

(1) 導(dǎo)體棒與涂層間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ;

(2) 導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v;

(3) 整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q。

此題的參考答案如下：

(1) 導(dǎo)體棒在絕緣涂層上受力平衡，mgsinθ=μmgcosθ，解得μ=tanθ。

3 自洽性討論

這道江蘇高考題的情景新穎，在傾斜導(dǎo)軌上增加了絕緣涂層的新情景，但是細(xì)致分析會發(fā)現(xiàn)，此題仍然是學(xué)生常見的導(dǎo)體棒切割磁感線的物理模型，學(xué)生可以從容地利用勻速時(shí)的平衡方程和全過程的能量守恒解決此問題。筆者在課堂測驗(yàn)中給學(xué)生做了這道題，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生能夠按照參考答案的思路作答。筆者初做這個(gè)問題時(shí)，也感覺此題的解題思路并不復(fù)雜，只是常規(guī)模型的一些創(chuàng)新，經(jīng)仔細(xì)思考，發(fā)現(xiàn)這道高考題的題設(shè)條件存在明顯的自洽性問題。

題設(shè)條件指出導(dǎo)體棒從頂端靜止釋放，在滑上涂層前已經(jīng)勻速運(yùn)動(dòng)；筆者不禁產(chǎn)生疑問：導(dǎo)體棒從靜止下滑達(dá)到勻速需要運(yùn)動(dòng)多大距離？能否在圖中給定的d內(nèi)達(dá)到勻速？畢竟從實(shí)際出發(fā)，圖中畫出的間距d肯定是一個(gè)有限的數(shù)值，否則此題的情境圖就沒有物理意義了。帶著這個(gè)疑問，筆者對導(dǎo)體棒在光滑傾斜導(dǎo)軌上下滑的過程進(jìn)行了深入分析。

圖2

很明顯，只有當(dāng)t→時(shí)，速度才趨近于最終勻速時(shí)的速度也就是說導(dǎo)體棒只能無限接近最終的穩(wěn)定速度，卻無法在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到這一速度。為進(jìn)一步說明，可以畫出導(dǎo)體棒下滑過程的速度-時(shí)間圖像如圖2所示，容易發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)體棒只有通過足夠長的時(shí)間后，才能無限接近勻速時(shí)的速度，且無法達(dá)到這一速度。進(jìn)一步思考，既然時(shí)間是無限長？位移是不是也是無限大？筆者又把速度對時(shí)間進(jìn)行積分運(yùn)算，有：最終化簡得到：

容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t→時(shí)，物體的位移也是趨近于無窮大，說明導(dǎo)體棒由靜止滑下至最終達(dá)到穩(wěn)定速度運(yùn)動(dòng)的位移也為無窮大，由速度-時(shí)間圖像的“面積”也可定性看出。

綜上所述，導(dǎo)體棒從靜止下滑至達(dá)到最大速度的過程，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移都是無窮大，平衡時(shí)的速度只能無限趨近，而無法達(dá)到。所以這道高考題中給定導(dǎo)體棒滑上涂層前已經(jīng)勻速的條件只有在d為無窮大的理想條件下才能達(dá)到，所以本題的題設(shè)條件其實(shí)是不準(zhǔn)確的。

4 結(jié)語

在各地的高考試卷和高三模考卷中，有很多導(dǎo)體棒或者導(dǎo)體框在恒定外力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)的問題，這一類問題中常常給出與此高考題相類似的初始條件，例如運(yùn)動(dòng)一段距離后作勻速直線運(yùn)動(dòng)。其實(shí)這些給定的初始條件都存在自洽性問題，希望命題者在今后的考試命題中能夠引起足夠的重視，避免此類問題的再次出現(xiàn)。