高中物理圖像中“面積”的意義和應用

(江蘇省啟東中學，江蘇 南通 226200)

圖1

高中物理中第一次接觸到圖像“面積”的意義,是在推導勻變速直線運動位移與時間關系時,教材中利用“微元法”說明v-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示位移。圖1為一勻變速直線運動的v-t圖像,當把時間分割為無限個無限小的時間元Δt,每一個Δt時間內可以認為物體做勻速運動,則小矩形的“面積”可表示該段時間內物體的位移元Δx,然后對這些位移元求和,就可以用圖線與坐標軸包圍的梯形“面積”來表示t時間內物體的位移。這種利用微元法處理,看圖線與橫軸包圍“面積”的方法,還適用于a-t、F-t、P-t、i-t、F-x、E-x、p-V圖像，現將高中階段常見的圖形的“面積”的意義總結如下。

1 v-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示位移

例1：某同學欲估算飛機著陸時的速度,他假設飛機在平直的跑道上做勻減速運動,飛機在跑道上滑行的距離為x,從著陸到停下來所用的時間為t。實際上,飛機的速度越大,所受的阻力也越大,則飛機著陸時的速度應是( )。

圖2

2 a-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示速度變化量

例2：一質量為2kg的物體受水平拉力F的作用,在粗糙水平面上做加速直線運動時的a-t圖像如圖3所示,t=0時其速度大小為2m/s,滑動摩擦力大小恒為2N,求0～6s內合力的功和6s時拉力的瞬時功率。

圖3

3 F-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示沖量

例3：原來靜止的物體受合外力作用時間為2t0,作用力隨時間變化情況如圖4所示,求0～2t0時間內合外力的功和合外力的沖量。

圖4

4 i-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示電量

例4：如圖5所示為一電流隨時間的變化圖像,求電流的平均值。

圖5

5 E-x圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示電勢差

令電場中兩點沿電場線方向的距離為Δx,當Δx很小時,可認為兩點間的電場為勻強電場,再根據公式U=Ed應用微元求和可分析得出E-x圖像與x軸所圍的“面積”代表電勢差。

例5：空間有一沿x軸對稱分布的電場,其電場強度E隨x變化的圖像如圖6所示，試判斷(x1，0)和(-x1，0)兩點的電勢高低以及(x1，0)和(x3，0)兩點的電勢高低。

圖6

解析：(x1，0)和(-x1，0)兩點對應的E-x圖線與橫軸包圍的“面積”相等,表示兩點與O點的電勢差相同,所以它們的電勢相等。(x1，0)和(x3,0)兩點的電場強度相等,由于與橫軸包圍的“面積”不相等,所以兩點電勢不等,由于沿著電場的方向電勢降低，所以(x1，0)的電勢高于(x3，0)的電勢。

6 P-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

例6：放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用,在0～6s內該拉力的功率與時間的圖像如圖7所示,求0～6s內拉力做的功。

圖7

解析：由W=Pt得P-t圖像與橫軸包圍的“面積”表示功。所以0～2s內拉力做的功等于圖像與橫軸包圍的三角形“面積”,2～6s內拉力做的功等于圖像與橫軸包圍的矩形“面積”,所以0～6s內拉力做的功等于兩個“面積”之和,即為70J。

7 F-x圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

如作用力F為恒力,則F-x圖像中,圖線與橫軸包圍的矩形“面積”表示恒力所做的功。如作用力是變力,在高中階段利用F-x圖像定量計算的變力是隨位移成線性變化的力。把位移進行無限等量分割,在極短位移Δx內可以認為作用力是恒定的,其所做的功可以用如圖8的矩形面積表示,此面積稱為該段位移內的元功ΔW,在發生位移為x的整個過程中,力F所做的功等于所有元功之和,即梯形的“面積”, 。

圖8

例7：請利用彈簧彈力做功和功能關系，推導勁度系數為k的彈簧在其彈性限度內的彈性勢能公式。

圖9

8 p-V圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

由W=FΔL，得W=pSΔL=pΔV,在p-V圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功。

例8：如圖10所示,一定質量某一理想氣體從狀態A經ABCA循環回到狀態A,試判斷這一循環過程中氣體從外界吸熱還是放熱?并求出吸收或放出多少熱量?

圖10

解析：氣體A→B過程等容變化,氣體對外不做功;B→C過程等壓膨脹,氣體對外做功的值等于BC圖線與橫軸所包圍的矩形“面積”,即W1=pΔV=2×105J;C→A過程外界對氣體所做的功等于CA圖線與橫軸所包圍的梯形“面積”,即W2=4×105J。整個循環過程外界對氣體所做的功等于循環過程的曲線所包圍的三角形“面積”,即W=W2-W1=2×105J。由于整個循環過程氣體溫度不變,內能不變,根據熱力學第一定律ΔU=W+Q，得Q=-2×105J,即氣體向外界放出2×105J的熱量。

在p-V圖像中,按順時針方向的循環過程中,循環曲線所包圍的“面積”表示氣體對外界做功的多少,按逆時針方向的循環過程中,循環曲線所包圍的“面積”表示外界對氣體做功的多少。

從以上例題及其解析可以知道,速度、加速度、力、功率、電流對時間元的累積分別是位移、速度變化量、沖量、功、電量,力、電場強度對位移元的累積分別是功、電勢差,壓強對體積元的累積是功。在物理圖像中,這些累積的效應表示為圖線和橫軸所包圍的“面積”,如果圖線是線性的,則其面積在高中階段利用初等數學可求;如果圖線是非線性的,在高中階段可進行定性分析,但定量計算需采用微積分處理。