小學生在數學建模中的角色定位

蔡文平 李海東

在數學建模過程中，學生是主動建模者，他們的角色定位在建模的不同階段有所不同——在模型準備、建構、應用和拓展時，他們的對應角色分別是發現者、猜測者、驗證者、表達者、應用者和拓展者。

一、發現者角色

所謂發現者角色，就是學生在建模準備時根據建模目的，了解問題實際背景，分析實際問題中的相關信息，并根據信息發現問題、初步感知模型的角色。學生發現問題的過程就是他們在觀察、思考、交流中發現需要解決實際問題的過程。

在“乘法分配律”教學時，教師先引導學生按男、女分組，根據情境中的信息進行數學熱身賽——男生做A組題：9×（37+63），（8+4）×25，（10+2）×14；女生做B組題：10×14+2×14，9×37+9×63，8×25+4×25。學生比賽哪一組算得比較快后，教師引導他們比較兩組題目的結果。學生經過觀察、比較，發現六道算式的結果兩兩相等。把得數相同的算式連起來組成的等式分別是：①9×（37+63）=9×37+9×63；②（8+4）×25=8×25+4×25；③（10+2）×14=10×14+2×14。學生在對比中發現的三組等式，能幫助他們順利完成建模準備，并初步感知數學模型。學生的發現者角色得到有效體現。

二、猜測者角色

所謂猜測者角色，就是學生在建模過程中提出猜想的角色。建模的生活原型往往是質與量、現象與本質、偶然與必然的統一，復雜而具體。學生要根據生活原型建模，就要根據問題特征，在掌握相關信息的基礎上，把生活原型中反映實際問題本質屬性的形態、數量及相互關系抽象出來，并用準確的數學語言提出合理猜想（假設），這是學生建模的關鍵一步。

教學時，教師出示情境圖（圖1）引導學生分析條件，鼓勵他們提問。

學生提出的問題有：①四年級領了多少根跳繩？②五年級領了多少根跳繩？③兩個年級一共領了多少根跳繩？④四年級比五年級多領了多少根跳繩？解決問題③時，有的學生列式為24×6+24×4，有的學生列式為（6+4）×24。比較結果后，學生寫出等式（6+4）×24=24×6+24×4。教師引導學生根據上述等式猜想時，他們發現算式左邊都是兩個數的和乘一個數，算式右邊都是兩個數分別乘第三個數后把積相加。學生小組討論后提出的猜想是：兩個數的和乘一個數等于這兩個數分別乘第三個數后再把積相加。猜想是學生建模的開始，猜想是在鼓勵學生嘗試建模。學生因猜想而逼近數學知識本質。

三、驗證者角色

所謂驗證者角色，就是學生在建模過程中驗證猜想的角色。學生的猜想是否有價值，是否合理正確，必須經過驗證。從某種意義上說，學生學習的本質就是不斷驗證猜想的過程。如果只猜想不驗證，他們的學習就可能一知半解。猜想經過驗證如果被發現是錯誤的，就要調整或重新猜想，如果正確就可以確定為模型。現階段學生無法嚴格證明猜想，只能通過舉例驗證。

繼上一環節學生提出猜想后他們紛紛通過舉例：（6+4）×2=6×2+4×2，（12+18）×25=12×25+18×25等進行驗證；引導學生嘗試舉反例說明猜想錯誤時，他們無法找到符合要求的例子，反而發現正例不勝枚舉。在此基礎上，教師引導學生小組合作分類驗證——用三個數都是一位數、兩位數、三位數分別驗證，尤其是重點驗證算式中有“0”時猜想否成立。這樣，學生驗證猜想的過程就是他們經歷知識形成的過程。學生通過舉正例和找反例加深自己對猜想的進一步認識。引導學生把猜想和驗證有機結合起來，猜想才有意義。

四、表達者角色

所謂表達者角色，就是學生在建模過程中用文字、算式、圖形或表格等進行數學模型表達的角色。學生對數量關系的解釋、說明等模型表達過程，是學生思考、判斷和合理歸納的過程。模型必須表達正確、簡潔，才算得上真正建構成功。

本課教師引導學生嘗試用一個等式表示規律的本質特征時，有的用“（我+你）×他=我×他+你×他”表示，有的用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示，有的用“（○+□）×◎=○×◎+□×◎”表示，有的用“（m+n）×f=m×f+n×f”表示，有的用“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”表示……經過討論，大家一致同意，用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示乘法分配律模型，并發現其本質是c組（a+b）分成c個a加c個b的和，c個a加c個b的和可以配成c組（a+b）。豐富多彩的表達形式經過優化與選擇，形成統一的數學模型（a+b）×c=a×c+b×c，簡潔、清晰，且符合約定俗成的習慣，能有效促進學生對新知的理解，能幫助他們重構數學知識和思維方法，并使所學數學知識真正具有模型價值。

五、應用者角色

所謂應用者角色，就是學生建模后靈活應用模型的角色。模型應用是數學建模的宗旨，也是對模型最客觀、公正的檢驗。一個有效的數學模型必須回歸生活實踐進行檢驗，以便充分發揮數學模型在生活中的特殊作用。

本課在引導學生應用模型時，教師先引導他們根據乘法分配律填運算符號，如（6+8）×3=6□3□8□3；接著引導他們在□里填數，如（12+200）×3=□×3+□×3和66×28+66×32+66×40=（□+□+□）×□；然后引導他們思考×（□+□）=□×+ □×；再引導他們觀察下列算式可以分成哪幾組：①（4+5）×6，②3×（10+8）， ③（10+6）×4，④5×（6+3），⑤4×6+5×6，⑥3×10+3×8，⑦10×4+6×4，⑧5×6+5×3；最后引導學生解決實際問題：有一個長方形操場，長是140米，寬是60米，這個操場的周長是多少米？學生在正向、逆向應用中能進一步理解和掌握乘法分配律模型。

六、拓展者角色

所謂拓展者角色，就是學生在建模后根據實際情況對模型進行適當拓展的角色。拓展模型是基于已有模型生成的，學生只有熟練掌握已有模型才能形成新的數學模型。對模型適度拓展與重塑有助于學生更進一步掌握數學模型。

學生解決之前提出的問題④時，有的學生列式（6-4）×24，有的學生列式6×24-4×24，他們認為這兩個算式相等，即（6-4）×24=6×24-4×24。教師引導學生根據算式聯想時，很快有學生根據乘法分配律提出（a-b）×c=a×c-b×c的猜想，并嘗試舉例驗證。隨后，學生進一步聯想到把兩個數的和拓展為3個數的和、4個數的和，甚至更多數的和，嘗試驗證后，他們也就建構了新的數學模型，即（a+b+d+……）×c=a×c+b×c+d×c+……引導學生適當拓展乘法分配律模型是很有價值的數學思考，不但能幫助他們鞏固所學知識，而且能啟發他們延伸學習內容，拓寬知識視野，提升探究能力。

（作者單位：江蘇省泰興市襟江小學？搖？搖？搖江蘇省泰興市南沙小學）