基于內點法的最優潮流計算及算例分析

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(廣西大學電氣工程學院，廣西 南寧 530004)

1 引言

最優化方法形成的歷史較短，它主要采用數學手段提出各種系統的優化途徑及方案，為電力系統運行提供科學決策的依據。最優潮流問題要求算法具有收斂速度快的同時還要求算法簡介，計算量少，以便其應用計算機求解。其求解常用的方法有：線性規劃法、二次規劃法、梯度及牛頓類算法、內點法和智能方法等[1]。

2 最優潮流模型及內點法

2.1 最優潮流模型

最優潮流模型的假設有：

(1)投入運行的火電機組的數量和運行情況已知。

(2)水電機組的出力已定。

(3)已知電網結構并且無變動。

數學意義上，最優潮流就是在一定約束條件下尋求最優狀況的問題。其中主要包含各種變量、約束條件和目標函數?，F在對已上三個方面做簡單的介紹。

常見的模型中，變量主要分為兩大類。一類是控制變量;另一類是狀態變量。

最優潮流考慮的系統約束條件有：

(1)各節點功率平衡約束(細分為有功和無功兩種)。

(2)各有功電源有功出力上下界約束。

(3)各無功電源無功出力上下界約束。

(4)系統中所能提供無功功率約束。

(5)移相器抽頭位置約束。

(6)可調變壓器抽頭位置約束。

(7)各節點電壓幅值上下界約束。

(8)各支路傳輸功率約束。

其中(1)約束為等式約束，其余約束為不等式約束。

最優潮流的目標函數根據實際情況不同有很多，最常用通常為以下兩種：

(1)系統運行成本最小。該目標函數一般表示為火電廠煤耗量最少，即費用最低。由于其他成本變動不大，所以不考慮發電機組啟動、停機和維護等費用，即認為發電成本為煤耗成本。其中發電廠的成本耗費特性是求解最優問題的關鍵，它決定了最終求解是否最優，還影響求解過程所用方法和最優模型的建立。其耗量特性通常用一個階數少于3的多項式表示。若不滿足該條件，目標函數將呈現非凸性，造成OPF收斂困難[2]。

(2)有功功率損耗最小。

實際調度運行中模型的目標函數主要是滿足系統耗量最小，即耗費最低。其函數如下：

目標函數：

(1)

式中PGi表示系統中發電機的有功功率；a0i、a1i、a2i為其耗量特性曲線參數。

約束條件：

(i∈SB)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

以上函數中式(2)為等式約束,即節點功率平衡方程；式(3)～(6)為不等式約束,依次為有功功率約束條件，無功功率約束條件，節點電壓約束條件，復功率約束條件。在所建立模型之中用極坐標來表示節點電壓。

2.2 最優潮流問題的內點法

最初，內點法的思路是通過在可行域內反復迭代最終得到最優解。因此，應在可行域內取目標變量的初值。并在求解過程中目標變量接近設定的邊界時與之對應的目標函數會迅速增加，由此得到的解均在設定的邊界以內[3]?？墒窃谝幠］^大實際問題中，難以找到符合條件的初始點。本模型中使用跟蹤中心軌跡內點法，其優勢在與迭代計算中松弛變量和拉格朗日乘子滿足不等式約束條件(通常與零比較)即可，簡化了模型迭代過程。

為了便于分析，可做如下假設：把 [(1)～(6)]簡化為一般非線性函數：

obj. min.f(x)

(7)

s.t.h(x)=0

(8)

(9)

其中：式(7)為目標函數，對應于普通模型中式(1)，為非線性函數。式(8)對應于普通模型中式(2)，是非線性的；式(9)中的不等式約束也是非線性函數。在該模型中采用的基本思路如下。

首先，將不等式轉化為等式約束：

(10)

(11)

其中松弛變量l=[l1,…,lr]T，u=[u1,…,ur]T，應滿足

u>0,l>0

(12)

這樣，原問題變為優化問題A：

obj. min.f(x)

s.t.h(x)=0

u>0,l>0

由此，所求函數經過變換后，可以滿足可行域范圍內與原函數f(x)接近，而在接近邊緣時則差異很大。因此可得到優化問題B：

s.t.h(x)=0

其中擾動因子(或稱障礙常數)μ>0。

變換之后的拉格朗日函數為：

(13)

式中：y=[y1,…,ym]，z=[z1,…,zr]，w=[w1,…,wr]為拉格朗日乘子。目標函數存在極小值的必要條件是拉格朗日函數對所有變量及乘子的偏導數為0[4]：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：L=diag(l1,…,lr)，U=diag(u1,…,ur)，Z=diag(z1,…,zr)，W=diag(w1,…,wr)。由式(18)和式(19)可以解得:

定義

Gap=lTz-uTw

(20)

可得

(21)

式中：Gap稱為對偶間隙。但是，上式中參數μ所取值會導致計算過程中收斂效果較差。實際中采用

(22)

式中：σ∈(0,1))稱為中心參數。為取得較好收斂特性，通常取0.1。由于μ>0，u>0，l>0,由式(18)和式(19)可知道z>0,w<0。

對[(14)～(19)]線性化后得到修正方程組為：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

寫成矩陣形式

(29)

由于其系數矩陣是個(4r+m+n)×(4r+m+n)的方陣，因此迭代過程將變的非常復雜。需對其進行適當的簡化：

(30)

現在，我們只需對一個相對較小的(m+n)×(m+n)對稱矩陣進行LDLT分解，在求出結果后回代即可。這樣，不僅減少計算量，同時簡化了算法[5]。

方程(30)可以求解出第次迭代的修正量，由此可求出下次計算的新變量：

x(k+1)=x(k)+αpΔx

(31)

l(k+1)=l(k)+αpΔl

(32)

u(k+1)=u(k)+αpΔu

(33)

y(k+1)=y(k)+αdΔy

(34)

z(k+1)=z(k)+αdΔz

(35)

w(k+1)=w(k)+αdΔw

(36)

式中：αp和αd為步長。

程序算例的流程圖如圖1所示。其中初始化部分包括：

(1)設置松弛變量l、u，保證[l,u]T>0。

(2)設置拉格朗日乘子z、w、y，保證[z>0,w<0,y≠0]T。

(3)設優化問題各變量的初值。

(4)設置中心參數σ∈(0,1)，并設置計算精度ε=10-6，迭代次數初值是k=0，最大迭代次數kmax=50。

3 算例計算

本文中采用內點法對9節點系統進行最優潮流計算，9節點系統具體參數數據見表1～表3。

圖1 基于內點法的潮流算法流程圖。

表1 9節點系統支路數據

表2 9節點系統發電機數據

表3 9節點系統負荷數據

在初始化時，各變量初值可以根據不同情況而設置。本計算中，各節點電壓初值均為1，相角初值均取0，電壓上界取1.06，電壓下界取0.94[6]；松弛變量，li=1,ui=1；拉格朗日乘子zi=1，wi=-0.5。按圖1所示的模型計算，當程序收斂時，需要進行12次迭代。計算結果如下：

表4 發電機出力

計算所得整個系統的燃料費用為5303.629。

表5 各節點電壓相量

表6 支路有功功率

4 結語

通過計算可以發現，采用內點法進行的尋優求解有效的簡化了計算過程，減少迭代次數，提高實踐應用的效率。

本文對最優潮流的內點法求解進行了深入的研究，構建了考慮穩定約束的最優潮流模型，并詳細推導了其內點法求解過程。通過算例分析經行驗證，有效簡化了最優潮流的計算過程。