基于(T，S)策略的裝備可修復備件兩級庫存配置建模

吳龍濤， 王鐵寧， 可榮博， 曹鈺

(1.陸軍裝甲兵學院 裝備保障與再制造系， 北京 100072； 2.61377部隊， 廣東 深圳 518017)

0 引言

隨著裝備升級換代和修理方式變革，可修復備件在備件保障經(jīng)費中所占比重越來越大。在制定備件配置計劃時，既要滿足規(guī)定的備件保障效能指標要求，又要盡量減少備件配置費用。當前我軍裝備備件保障工作中，關于可修復備件的保障機制尚不完善，一方面故障件長期積壓，得不到及時修復和再利用；另一方面由于供應不及時經(jīng)常發(fā)生短缺，保障效果不理想。因此，完善可修復件保障機制，合理配置可修復備件在各級的庫存種類和數(shù)量，對于提高裝備戰(zhàn)備完好性和備件保障效益具有重要作用。

由Sherbrooke提出并完善的METRIC理論[1]，是可修復備件庫存控制領域的理論基礎，應用十分廣泛。多年來，國內(nèi)外眾多學者紛紛對此進行了應用推廣和性能改進，取得了顯著成果。羅祎等[2]基于VARI-METRIC理論建立了3級供應體系的備件配置模型；阮旻智等[3]增加了備件體積和質(zhì)量約束，以任務成功率為目標建立了作戰(zhàn)單元攜行備件配置模型；聶濤等[4]研究了METRIC理論在K:N冗余雷達系統(tǒng)備件供應優(yōu)化中的應用；阮旻智等[5]、Park等[6]和張帥等[7]放寬了METRIC模型中的無限維修渠道假設，基于排隊論對備件供應渠道進行了修正；Lau等[8]、徐立等[9]和Yoon等[10]同時放寬了無限維修渠道和穩(wěn)態(tài)泊松需求假設，分別建立了時變需求和伽馬隨機需求的系統(tǒng)使用可用度模型；劉任洋等[11]提出了考慮橫向供應的多級不完全修復件初始庫存配置方案；周亮等[12]則建立了串件拼修策略和非穩(wěn)態(tài)需求下的裝備可用度模型；Nowicki等[13]和阮旻智等[14]對求解METRIC模型的邊際分析算法進行了改進；Tovia等[15]和Basten等[16]還分別將維修渠道配置和備件修理級別分析與備件配置進行了組合優(yōu)化。

通過查閱國內(nèi)外文獻發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的可修復備件研究成果幾乎都以(S-1，S)庫存策略為前提，即每當基層倉庫消耗1件庫存，就向基地倉庫申請1件備件。雖然可有效減少庫存配置數(shù)量和保障經(jīng)費，但主要適用于價格非常昂貴、需求率又非常低的極少數(shù)備件。對于大多數(shù)普通的可修復備件，(S-1，S)庫存策略不僅不能有效節(jié)省庫存配置成本，反而會產(chǎn)生巨大的業(yè)務量和運輸費用。結合部隊業(yè)務實際情況，大部分裝備可修復件更適合采用(T，S)庫存策略，即基層倉庫定期向基地倉庫申請備件。因此，本文首先描述了(T，S)庫存策略下裝備可修復件兩級供應保障模式；然后綜合考慮報廢率、申請延誤等因素，研究了多種基于(T，S)庫存策略的保障效能評價指標；在此基礎上，建立了以裝備使用可用度為約束、備件配置費用最低為目標，運用邊際分析法求解的最佳備件配置模型；最后通過算例對比分析，驗證了模型的合理性和有效性。

1 備件保障過程描述

采取(T，S)庫存策略的裝備可修復備件兩級供應保障過程如圖1所示。每個基層級單位由基層部隊、基層倉庫和基層維修機構組成；每個基地級單位由基地倉庫和基地維修機構組成；基層倉庫和基地倉庫分別配置指定數(shù)量的可修復備件。基層部隊裝備部件發(fā)生故障時，如果基層倉庫有備件，就調(diào)撥備件實施換件維修，恢復裝備性能；如果基層倉庫備件庫存為0，則等待本級修復或下一周期基地補給后再進行換件維修。故障件在基層具有一定的修復概率(如果本級沒有修復能力，則修復概率為0)，修復后存入本級倉庫；如果基層不能修復，則先由基層倉庫暫存。基層倉庫按周期T定期向基地倉庫申請備件，申請量為庫存配置量S與申請時庫存余量的差。在申請的同時，基層倉庫將其暫存的本周期無法修復的故障件上交基地修復。基地倉庫接到申請后，向各基層倉庫補給備件，同時對接收的故障件進行修復，修復后存入本級倉庫；如果不能修復則報廢，同時向廠家訂購同樣數(shù)量的新備件維持整體庫存水平。訂購的備件在下一周期內(nèi)到達。

2 備件庫存配置建模

2.1 基本思路與模型假設

圖2所示為(T，S)庫存策略下基層備件庫存量的變化過程。其中：t1、t3和t5為基層倉庫備件申請時刻，則申請周期T=t3-t1=t5-t3；t2、t4和t6為基層倉庫申請備件到達時刻。由于基層需求上報和基地倉庫調(diào)撥過程都需要花費一定時間，所以從備件申請開始到補給到達之間存在一定的時間延誤tD=t2-t1=t4-t3=t6-t5. 而且，由于延誤時間內(nèi)的備件消耗，補給到達后基層備件庫存數(shù)量一般小于S. 基層倉庫在申請時刻t1、t3和t5同時上交無法自行修復的故障件。為了避免故障件逐年積壓失修，假設每次上交的故障件都可以在接下來的一個申請周期內(nèi)得到修復。例如：在t1時刻回收的故障件將在[t1,t3]周期內(nèi)得到修復；而因報廢向廠家訂購的新備件將在[t3,t5]周期內(nèi)到達。

設當前為t3時刻，在已知備件需求(包括預防性維修需求和修復性維修需求)分布[17]的條件下，可以計算出在上一申請周期[t1,t3]內(nèi)各基層故障件數(shù)量的概率分布。將上一周期內(nèi)各基層故障件數(shù)量之和與基地倉庫備件庫存配置數(shù)量S0比較，即可得出基地倉庫可補給備件數(shù)量。在此基礎上，結合下一周期[t3,t6]內(nèi)的故障件數(shù)量概率分布，即可計算下一周期內(nèi)任一時刻基層的裝備使用可用度。因為申請延誤的存在，下一周期的時間區(qū)間應為[t3,t6]，即T+tD，而不是[t3,t5]或T.

為了便于建模和求解，進行如下假設：

1)申請周期T和申請延誤tD均固定不變；

2)每次裝備停用都是由單一部件故障造成的；

3)基層各項備件需求相互獨立，均服從泊松分布；

4)修復故障件所需子級備件充足，無短缺；

5)不存在串件拼修和橫向調(diào)劑供應。

2.2 備件短缺分析

設基層單位數(shù)量為I，裝備可修復件共J項，基層倉庫i(i=1,2,…,I)第j(j=1,2,…,J)項備件的故障率為λij，本級可修復概率為rij，平均修復時間為Wij，庫存配置數(shù)量為Sij,第j項備件在基地的報廢率為b0j，庫存配置數(shù)量為S0j. 基于圖2中的t3時刻，計算在下一周期結束時刻t6基層倉庫i第j項備件的期望短缺數(shù)。

基層倉庫i第j項備件的庫存配置Sij中，一部分用于滿足本級可修復備件需求，另一部分用于滿足本級無法修復備件需求。根據(jù)Palm定理，基層維修機構i第j項備件在修復數(shù)量Mij服從均值為λijrijWij的泊松分布P(mij),基層倉庫i下一周期內(nèi)本級無法修復的備件需求Dij服從均值為λij(1-rij)(T+tD)的泊松分布P(dij).Mij與Dij的和構成了基層倉庫i下一周期的備件需求Xij. 由于Mij與Dij相互獨立，根據(jù)泊松分布的可加性，Xij服從泊松分布P(xij)，且均值為

E[Xij]=λijrijWij+λij(1-rij)(T+tD).

(1)

在申請時刻t3，基地接收各基層倉庫上交的在[t1,t3]周期內(nèi)產(chǎn)生的無法自行修復的故障件，并向基層倉庫補給同樣數(shù)量的備件。設這部分備件數(shù)量為D0j，則D0j服從泊松分布P(d0j)，且均值為

(2)

其中，來自基層倉庫i的需求所占比例為

(3)

同時，基地在t1時刻接收并在[t1,t3]周期內(nèi)進行修復的故障件中，還會產(chǎn)生一定數(shù)量報廢件，這部分備件在下一周期[t3,t5]內(nèi)才能由廠家補給到位。設這部分備件數(shù)量為O0j，則O0j服從均值為λ0jb0j的泊松分布P(o0j).D0j和O0j共同組成了基地倉庫在t3時刻的待接收備件數(shù)量X0j. 根據(jù)泊松分布的可加性同樣可得，X0j服從均值為λ0j(1+b0j)的泊松分布P(x0j).

若基地倉庫待接收備件數(shù)量X0j≤S0j，則基地倉庫就能完全滿足各基層倉庫的備件需求，使其庫存恢復到Sij，進而當基層倉庫i在下一周期T+tD內(nèi)恰好發(fā)生Sij+1次需求時，就會出現(xiàn)恰好1次短缺。同樣，若X0j>S0j且fij(X0j-S0j)=1，基地倉庫的補給只能使基層倉庫i的庫存恢復到Sij-1，進而當基層倉庫在下一周期內(nèi)發(fā)生Sij次需求時，也會出現(xiàn)恰好1次短缺。依此類推，綜合各種情況可得，基層倉庫i第j項備件在下一周期恰好發(fā)生1次短缺BOij的概率為

(4)

同理，基層倉庫i第j項備件恰好發(fā)生k次短缺的概率為

(5)

由此可知，在下一周期結束時刻t6，基層倉庫i第j項備件的期望短缺數(shù)為

(6)

2.3 備件庫存配置模型

常用的備件保障效能評價指標包括裝備使用可用度、備件滿足率和保障延誤時間等。裝備使用可用度描述了裝備在實際使用時的可用性，綜合考慮了維修和保障延誤等影響因素，是評價保障效能的主要指標，其計算公式為

(7)

(8)

式中：Zj為第j項備件單車安裝數(shù)；Ni為基層部隊i的裝備數(shù)量。

在下一周期末，所有基層部隊組成的系統(tǒng)裝備使用可用度則可表示為

(9)

此外，根據(jù)備件庫存量和待接收備件數(shù)量的概率分布可計算出備件滿足率。基層倉庫i第j項備件在下一周期末的備件滿足率為

(10)

則在下一周期末系統(tǒng)備件滿足率為

(11)

備件庫存配置的目標是在滿足規(guī)定的裝備使用可用度要求下，使總體備件保障費用最低。結合部隊實際和本文研究重點，在此只考慮備件購置費用和備件運輸費用兩部分。設第j項備件單價為cj萬元，則備件購置費用為

(12)

設保障周期時長為P，基地與基層i之間往返1次的備件運輸費用為pi萬元，則備件運輸費用為

(13)

綜合(12)式和(13)式，總體備件保障費用C=C1+C2. 因此，備件庫存配置模型可描述為

(14)

式中：φ為設定的保障效能指標閾值。

3 模型求解算法

邊際分析法是求解METRIC模型最常用的方法。與遺傳算法等群智能優(yōu)化算法相比，邊際分析法過程簡單、結果穩(wěn)定，不會丟失最優(yōu)解，在解空間規(guī)模不是特別大的情況下非常適用。因此，本文選用該方法對模型求解。

(14)式的決策變量是一個記錄基地倉庫和基層倉庫各項備件庫存量的二維矩陣:

(15)

利用邊際分析法對模型進行求解的步驟如下：

1)初始化決策變量S=0；

2)通過不斷迭代執(zhí)行邊際分析，在每一次迭代過程中，遍歷決策變量矩陣的每一個位置，依次計算其邊際效益值

(16)

式中：one(i,j)為與S結構相同且第i行第j列值為1、其他位置值為0的矩陣；

3)將最大的邊際效益值max (Δij)所對應的決策變量S中位置Sij的值加1，即Sij=Sij+1；

4)根據(jù)(9)式計算系統(tǒng)裝備使用可用度A. 若A≥φ，停止迭代，決策變量S所表示的即為最優(yōu)備件配置方案；否則，返回步驟2繼續(xù)迭代。

4 算例分析

設保障系統(tǒng)由1個基地和2個基層單位構成，某型主戰(zhàn)坦克在2個基層單位的列裝數(shù)量均為50輛。從該型坦克的小修備件中選取了3項典型可修復備件作為代表進行庫存配置，備件相關參數(shù)設置如表1所示。備件在基層與基地之間往返一次的運費為p1=p2=1萬元(參考鐵路貨運價格)。

表1 備件參數(shù)設置Tab.1 Parameter setting of spare parts

備件申請周期T分別取0.5 a、1.0 a、2.0 a，申請延誤時間tD分別取0 a、0.1 a、0.2 a，保障周期P設為50 a，可用度約束設為φ=0.95，運行邊際分析法進行求解，得到如表2所示的最佳備件庫存配置方案。

由表2可見，相同條件下，申請延誤時間越長，備件配置數(shù)量和費用就越多。相同條件下，隨著申請周期的延長，備件配置數(shù)量和費用更多，但花費的運輸費用更少。綜合來看，當申請周期設為1.0 a時，總體保障費用最低。

表2 最佳備件配置方案Tab.2 Optimal spare parts allocation

顯然，(T，S)庫存策略可以減少備件運輸頻次，但會增加備件配置數(shù)量；而(S-1，S)庫存策略可以減少備件配置數(shù)量，但會增加備件運輸頻率。由此可知，影響兩種庫存策略的主要因素是備件故障率和價格。因此，下面通過變化備件故障率和價格對本文提出的(T，S)庫存策略和VARI-METRIC模型[2]中的(S-1，S)庫存策略進行對比分析。備件故障率分別取表1中的故障率及其0.1倍，備件價格分別取表1中的備件價格及其5.0倍；(T，S)庫存策略中取T=1.0 a、tD=0.1 a，(S-1，S)庫存策略中備件在基地與基層單位之間往返1次的運費設定為0.3萬元(參考地方物流價格)，得到兩種庫存策略下備件保障費用隨保障周期變化情況如圖3所示。

由圖3(a)可知：當備件的基層故障率約在10件/a、價格約在1.5萬元/件時，若保障周期小于10 a，則(S-1，S)庫存策略更優(yōu)，即保障費用更低；若保障周期大于10 a，則(T，S)庫存策略更優(yōu)。由圖3(b)可知：保持故障率不變，價格提高5.0倍，若保障周期小于45 a，則(S-1，S)庫存策略更優(yōu)；若保障周期大于45 a，則(T，S)庫存策略更優(yōu)。由圖3(c)和圖3(d)可知，當備件的基層故障率小于1件/a、價格高于1.5萬元/件時，(S-1，S)庫存策略明顯更優(yōu)。

5 結論

本文結合部隊實際情況，綜合考慮報廢率、申請延誤等因素，建立了基于(T，S)庫存策略的可修復備件兩級庫存最佳配置模型，并與當前主流的基于(S-1，S)庫存策略的VARI-METRIC模型進行了對比分析。結果表明：

1)本文建立的模型能夠有效解決(T，S)庫存策略下可修復備件的兩級庫存配置問題。

2)當備件價格低于1.5萬元、基層故障率大于10件/a時，達到同等保障效果采取(T，S)庫存策略比(S-1，S)庫存策略所需保障費用更少。

3)當備件價格高于1.5萬元、基層故障率小于1件/a時，達到同等保障效果采取(S-1，S)庫存策略比(T，S)庫存策略所需保障費用更少。

4)本文研究內(nèi)容對于提高部隊可修復備件保障效益、完善可修復備件保障機制具有重要意義。