軸向溫度力影響下周期離散支承鋼軌豎向振動特性分析

馮青松，汪 瑋，劉慶杰，雷曉燕

(華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013)

無縫線路減少了鋼軌接頭數量，提高了列車運行舒適性及平穩性。無縫線路中的鋼軌不能自由伸縮，當鋼軌溫升或溫降幅度(實際軌溫與鎖定軌溫差值)過大時，鋼軌內部將產生較大的軸向溫度力，極易造成無縫線路脹軌跑道或鋼軌折斷，危及列車的運行安全。因此，采用合適方式檢測無縫線路鋼軌溫度力的變化情況是鐵路工務部門日常養護維修中關注的課題之一。

目前，無縫線路溫度力的檢測方式主要包括有損檢測、半有損檢測以及無損檢測。其中，有損及半有損檢測方式主要有鋸軌法、鉆孔法以及橫向加力法,此類檢測方法在檢測過程中會對既有軌道結構的穩定性造成破壞，故只在早期使用且應用范圍不廣。無損檢測方式主要包括觀測樁法、標定軌長法、巴克豪森法、X射線法以及超聲導波法。觀測樁法和標定軌長法是早期的無縫線路溫度力檢測方式，其主要缺陷是檢測過程中人為因素影響較大，檢測結果精度不高。巴克豪森法、X射線法以及超聲導波法作為近年提出的無損檢測方法，其不足之處是只能檢測鋼軌表層或淺表層范圍內的溫度力，不能反映整個鋼軌截面的受力狀態，鋼軌內部存在傷損時檢測結果的準確性尚未得到驗證。此外，近年來還有一些軌溫及溫度力的在線監測方式，如光纖傳感器法等，這些在線監測方式在檢測前需明確線路的鎖定軌溫，現實中受現場條件制約，無縫線路實際鎖定軌溫一般不等于線路的設計鎖定軌溫，目前還沒有較精確的測得無縫線路實際鎖定軌溫的方法。另外，我國共有十多萬公里的無縫線路，若大范圍使用在線監測技術，檢測成本將大幅提高。

由結構振動理論可知，內部存在縱向力時，梁的振動特性(如自振頻率等)會發生改變。利用這一結構振動原理，可為鋼軌內部溫度力的檢測提供一種可能途徑。近年來，專家學者開始了這方面的研究。傳統軌道結構振動特性分析中，通常只考慮豎向荷載作用[1-10]，結合軸向溫度力的研究較少。文獻[11-14]通過運用有限元方法，并結合Timoshenko梁在理論上分析軸向溫度力影響下的鋼軌在低頻范圍內(0～100 Hz)的振動特性。由于低頻范圍內鋼軌共振頻率隨軸向溫度力的變化不明顯，需拆除一定數量的扣件，使軌枕間距達到8.4 m以提高共振頻率對溫度力的敏感程度。文獻[15]建立了有砟軌道的三維梁單元模型，通過周期結構理論以及Floquet變換方法分析軌道結構頻散特性與溫度力的關系，但建模及分析過程比較復雜。

本文根據無縫線路軌道結構特點，將鋼軌考慮為無限長彈性梁，軌下支承結構等間距布置。通過周期結構波數有限元理論建立軸向溫度力影響下軌道結構的周期支承梁模型，分析軸向溫度力影響下周期支承鋼軌在0～5 000 Hz范圍的振動特性，并探討軌枕間距對振動特性的影響。

1 軸向溫度力影響下周期離散支承鋼軌的頻散及位移方程

1.1 周期支承結構位移響應及頻散方程

根據周期結構波數有限元方法，荷載作用時的周期離散支承彈性體運動微分方程為[16]

( 1 )

式中：M、K0、K1、K2均為常數矩陣；P(x,t)為作用于彈性體上的荷載；q(x,t)為截面上n個節點的位移響應，每個節點的位移均由三個方向的位移分量表示，即沿x方向的位移響應u、沿y方向的位移響應v和沿z方向的位移響應w。因此q(x,t)可表示為

( 2 )

圖1 軸向溫度力作用下軌道結構周期離散支承梁模型

對于圖1所示的周期離散支承軌道結構，作用于鋼軌上的荷載由兩部分構成，即外荷載Pe(x,t)和軌下支承結構提供的支承力Ps(x,t)。當作用于彈性體上的外荷載為移動諧荷載時，Pe(x,t)可表示為

Pe(x,t)=δ(x-x0-ct)P0eiΩt

( 3 )

式中：δ(·)為Dirac函數；x0為荷載的初始作用位置；c為荷載移動速度；P0為諧荷載幅值；Ω為諧荷 載圓頻率。

( 4 )

設彈性體在外荷載Pe(x,t)以及支承力Ps(x,t)作用下的位移響應分別為qe(x,t)和qs(x,t)。根據線性疊加原理，彈性體在荷載作用下的位移響應可表示為

q(x,t)=qe(x,t)+qs(x,t)

( 5 )

式中：qe(x,t)，qs(x,t)滿足

( 6 )

將式( 3 )及式( 4 )代入式( 6 )中，并做傅里葉變換，可得彈性體在荷載作用下的位移響應表達式為

( 7 )

( 8 )

式中：

D(β,ω)=-ω2M+K0+iβK1+β2K2

( 9 )

ω=Ω-βc

(10)

(11)

(12)

式( 7 )與式( 8 )之和即為周期離散支承彈性體在移動諧荷載作用下的位移響應。

根據彈性體在荷載作用下的位移響應求解表達式可知，對于周期離散支承彈性體，要使其自由振動存在，則有

(13)

式中：H(ω)為支承結構的動力柔度矩陣[17]，該表達式即為周期離散支承彈性體的頻散方程。

1.2 軸向溫度力影響下周期支承鋼軌動力學方程

將圖1模型中的鋼軌考慮為Timoshenko梁，軌枕考慮為質量塊，軌下支承結構(扣件及墊板、軌枕和道砟)對鋼軌的支承作用通過動力柔度矩陣模擬。溫度應力考慮為集中力作用，同時不考慮梁截面變形。軸向溫度力作用下周期離散支承鋼軌豎向振動的運動微分方程可表示為

(14)

式中：ρ為鋼軌密度；A為鋼軌橫截面積；w為鋼軌的豎向位移響應；N為軸向溫度力，以壓為正；κ為截面剪切系數；G為鋼軌的剪切模量；θ為截面的轉角；I為鋼軌截面慣性矩；E為鋼軌彈性模量；P0為豎向荷載幅值。由于支承結構提供的支承彎矩對鋼軌豎向振動特性的影響較小，分析中該部分的影響可以忽略不計[17]。將式(14)用周期結構波數有限元方法表示，則有

(15)

式中：kbv為道砟豎向剛度；kpv為扣件及墊板豎向剛度；ms為軌枕質量；bs為軌枕寬度；ω為鋼軌圓頻率。鋼軌、扣件及道砟的剛度采用復阻尼形式，考慮各自的損失因子。

2 模型驗證

本章主要分析無軸向溫度力影響時周期離散支承鋼軌的頻散曲線，以及在單位固定諧荷載作用下荷載作用點處的位移幅值曲線。為方便結果比對，分析中選用的軌道結構參數與文獻[17]一致。其中，鋼軌采用UIC60鋼軌，扣件及墊板、軌枕及道砟等軌下部件的材料參數見表1，考慮軌道結構的對稱特性，取半結構分析，軌枕間距為0.6 m，軸向溫度力N=0，外荷載為單位固定諧荷載。

表1 鋼軌及軌下部件的參數取值

由式( 5 )～式(15)可得周期離散支承鋼軌的頻散曲線及跨中作用單位固定諧荷載時荷載作用點處的位移幅值曲線，如圖2(b)、圖3(b)所示。將結果與文獻[17]中的分析結果對比，可以看出兩者具有較好的一致性。

圖2 周期離散支承鋼軌頻散曲線

圖3 周期支承鋼軌荷載作用點處的鋼軌位移幅值曲線

圖3分析比較了單位固定諧荷載作用下連續支承模型和周期離散支承兩種模型在荷載作用處的鋼軌位移幅值曲線。從圖3可以看出，當分析頻率在1 000 Hz以下時，周期離散支承模型與連續支承模型得到的分析結果基本一致；當分析頻率高于1 000 Hz時，采用周期離散支承模型能夠得到相應的共振頻率，連續支承模型則無法得到。因此，對于有砟軌道，當分析頻率低于1 000 Hz時，建議采用計算效率較高的連續支承模型分析軌道結構的振動特性較合適，當分析頻率高于1 000 Hz時，采用周期離散支承模型更合適。

圖4為周期離散支承鋼軌跨中作用單位固定諧荷載時荷載作用點處的鋼軌位移幅值曲線。從圖4可以看出，在分析頻率0～5 000 Hz內，周期離散支承鋼軌共存在5階共振頻率，即圖中標示的共振頻率A(80 Hz)、C(527 Hz)、D(1 080 Hz)、G(2 947 Hz)及H(4 675 Hz)。其中，共振頻率D及H分別為周期離散支承鋼軌前兩階pinned-pinned共振頻率。由于共振頻率點處鋼軌位移幅值曲線均存在較明顯的峰值，易于識別，因此，本文將共振頻率A、C、D、G及H作為分析指標，探討軸向溫度力及軌枕間距變化對共振頻率的影響。

圖4 周期離散支承鋼軌跨中作用單位固定諧荷載時跨中的鋼軌位移幅值曲線

3 軸向溫度力影響分析

梁的兩端作用軸向溫度力時，其振動特性(如結構的共振頻率)將會發生改變。本章根據無縫線路鋼軌在使用過程中可能出現的溫升或溫降幅度，確定相應的溫度力幅值，分析內部軸向溫度力變化對鋼軌共振頻率的影響。溫升幅度及溫度力幅值的取值見表2，溫度力幅值以拉為正。分析中鋼軌為UIC60鋼軌，軌枕間距為0.6 m，各部件的材料參數與表1一致。

表2 無縫線路鋼軌溫升幅度與溫度力對應關系

圖5為周期離散支承鋼軌豎向振動共振頻率與軸向溫度力之間的變化關系。從圖5可以看出，周期離散支承鋼軌豎向振動各階共振頻率均隨軸向溫度拉力的增加而增大，隨軸向溫度壓力的增加而減小。此外，根據圖5(f)可以看出，共振頻率越大，其受軸向溫度力的影響越明顯；共振頻率D、G及H受軸向溫度力的影響最明顯，其平均變化率分別約為0.098、0.14、0.21 Hz/℃，即當軌溫變化約為10、7和5 ℃時，共振頻率D、G、H的頻率變化幅度為1 Hz。因此，可以將共振頻率D、G、H作為無縫線路鋼軌內部溫度力大小的主要評價指標。

圖5 周期離散支承鋼軌豎向振動各階共振頻率隨溫升幅度變化規律及平均變化率

4 軌枕間距影響分析

軌枕間距對軌道結構振動特性有較大影響。有砟軌道的部分維修作業(如搗鼓、換枕)，會不可避免地對原有軌枕布置產生一定的影響。因此，分析不同軌枕間距條件下，軸向溫度力對周期離散支承鋼軌豎向各階共振頻率的影響是必要的。分析中，軌枕間距取值為0.55～0.65 m。無縫線路鋼軌內部溫度力取值同表2。鋼軌及軌下支承結構的材料參數取值同表1。

圖6(a)、(c)、(e)、(g)、(i)為不同溫升幅度下，軌枕間距變化對周期離散支承鋼軌各階共振頻率的影響。從圖6可以看出，周期離散支承鋼軌豎向振動各階共振頻率均隨軌枕間距的增加而減小，且共振頻率越大，軌枕間距對其影響越明顯。圖6(b)、(d)、(f)、(h)、(j)為不同軌枕間距下共振頻率隨軸向溫度力的平均變化率，當軌枕間距為0.60 m時，共振頻率A、C、D、G、H隨鋼軌溫升的平均變化率分別為1.63×10-6、2.1×10-3、0.098、0.144和0.205 Hz/℃。分析頻率低于1000Hz時，周期離散支承鋼軌的共振頻率(A、C)隨軸向溫度力的平均變化率隨軌枕間距的增加而增大；分析頻率高于1 000 Hz時，周期離散支承鋼軌的共振頻率(D、G、H)隨軸向溫度力的平均變化率隨軌枕間距的增加而減小。可見鋼軌共振頻率隨溫度力的變化關系受軌枕間距的影響較大，采用振動方法分析無縫線路鋼軌內部溫度力時需先確定軌枕間距。

圖6 軌枕間距對鋼軌共振頻率的影響及共振頻率隨溫升的平均變化率

5 結論

本文建立軸向溫度力作用下軌道結構周期離散支承梁模型，通過周期結構波數有限元方法分析無軸向溫度力作用時周期離散支承鋼軌豎向振動的頻散特性及位移響應，確定了0～5 000 Hz范圍內鋼軌的共振頻率。通過改變軸向溫度力及軌枕間距分析鋼軌共振頻率的變化規律，得到以下結論：

(1)對于有砟軌道結構，分析其在1 000 Hz以下頻帶范圍的豎向振動特性時，可以采用計算效率較高的連續支承梁模型，分析結果與采用周期離散支承梁模型得到的結果基本一致；對于1 000 Hz以上的頻帶，采用周期離散支承梁模型較為合適，其可求得軌道結構在高頻范圍的pinned-pinned共振頻率。

(2)對于軸向溫度力影響下的周期離散支承軌道結構，鋼軌豎向振動各階共振頻率均隨軸向溫度拉力的增加而增大，隨軸向溫度壓力的增加而減小，且共振頻率越大，其受軸向溫度力的影響越明顯。其中共振頻率D、G、H受軸向溫度力影響最明顯，其平均變化率分別為0.098、0.14、0.205 Hz/℃。因此，可將共振頻率D(1 080 Hz)、G(2 947 Hz)、H(4 675 Hz)作為無縫線路鋼軌內部溫度力大小的主要評價指標。

(3)當軌枕間距發生變化時，鋼軌豎向振動各階共振頻率均隨軌枕間距的增加而減小，且共振頻率越大，其受軌枕間距的影響越明顯。在1 000 Hz以下頻帶內，周期離散支承鋼軌的共振頻率(A、C)對軸向溫度力的敏感性(平均變化率)隨軌枕間距的增加而增大；在1 000 Hz以上的頻帶內，周期離散支承鋼軌的共振頻率(D、G、H)對軸向溫度力的敏感性隨軌枕間距的增加而減小。因此，采用振動法分析無縫線路鋼軌內部溫度力時需先確定軌枕間距。

本文分析中未考慮梁截面變形的影響，根據相關研究[18]，當頻率高于3 000 Hz時，橫截面變形會對梁的振動特性產生影響，此時鋼軌采用實體模型分析更合適。因此，在后續研究中，將結合梁截面變形影響，探討軸向溫度力對周期離散支承鋼軌豎向振動特性(3 000 Hz以上)的影響。