一種基于灰色理論-隱馬爾科夫模型的裝備故障預(yù)測方法?

楊金寶 梁 勇 曹現(xiàn)憲

（1.海軍工程大學(xué)信息安全系 武漢 430033）（2.91878部隊(duì) 湛江 524000）（3.92916部隊(duì) 三亞 572425）

1 引言

隱馬爾科夫（HMM）模型是一種描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的概率模型，是由馬爾可夫鏈演變發(fā)展而來［1］。馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)離散變量的隨機(jī)過程，其一系列狀態(tài)之間的聯(lián)系，通過一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來描述。狀態(tài)之間轉(zhuǎn)變具有相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率，并且狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率僅僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)，與過去的狀態(tài)無關(guān)。與馬爾科夫鏈不同，HMM是一個(gè)雙重的隨機(jī)過程，一個(gè)隨機(jī)過程是具有有限狀態(tài)的馬爾科夫鏈，描述狀態(tài)的轉(zhuǎn)移；另一個(gè)隨機(jī)過程描述每個(gè)狀態(tài)和觀察值之間的統(tǒng)計(jì)對應(yīng)關(guān)系［2］。不僅狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，而且每個(gè)狀態(tài)的觀察值也是隨機(jī)的，站在觀察者的角度只能看到觀察值，不能直接看到狀態(tài)，而是通過一個(gè)隨機(jī)過程去感知狀態(tài)的存在及其特性。因此對觀察者而言，實(shí)際的狀態(tài)序列不能直接觀察，而被隱藏起來，因此稱為隱馬爾科夫模型。

灰色理論認(rèn)為任何隨機(jī)過程都是在一定幅值范圍和一定時(shí)區(qū)變化的灰色量，并把隨機(jī)過程看作灰色過程。該理論認(rèn)為盡管客觀系統(tǒng)數(shù)據(jù)表現(xiàn)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律即稱為灰色序列生成［3］。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。因此本文嘗試將灰色理論與HMM模型結(jié)合，用于某型裝備的狀態(tài)監(jiān)測與故障預(yù)測研究。

2 基本理論

灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律即稱為灰色序列生成。理論上一切隨機(jī)過程，不管其系統(tǒng)原始測量數(shù)據(jù)表現(xiàn)有多離亂，但它總是有某種內(nèi)在規(guī)律性，關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰颍趸潆S機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。而這個(gè)顯現(xiàn)規(guī)律性的過程稱為“變白”［16］。

2.1 灰色序列生成

灰色系統(tǒng)在建模時(shí)常用以下幾種序列緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理，使生成的數(shù)據(jù)序列具有一定規(guī)律。也就是逐步由灰變白的基本方法。

l）累加生成

累加生成［43］是使灰色過程由灰變白的一種方法，通過數(shù)據(jù)累加來弱化數(shù)據(jù)信息的隨機(jī)性，顯示出數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的規(guī)律，從而建立系統(tǒng)預(yù)測模型。對于非負(fù)序列，累加生成次數(shù)越多，數(shù)列的隨機(jī)性就弱化得越多，在GM模型中一般只對數(shù)據(jù)作一次累加生成。

稱D為X(0)的一次累加生成算子，記為1-AGO（Accumulating Generation Operation，AGO），稱 r階算子Dr為 X(0)的r次累加生成算子r-AGO，習(xí)慣上記為

非負(fù)序列經(jīng)過上述累加生成后都會(huì)減少隨機(jī)性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律。原始序列越光滑，生成后的指數(shù)規(guī)律也越明顯。

2）累減生成

累減生成［43］是在獲取增量信息時(shí)常用的生成，與累加生成是一對互逆的序列算子，設(shè)有原始序列為序列算子

稱D為X(0)的一次累減生成算子，r階算子Dr為X(0)的r次累減生成算子記為

3）均值生成

由于一些不可預(yù)知的外界因素有時(shí)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)空缺，或數(shù)據(jù)雖完整但某個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為明顯異常數(shù)據(jù)，刪除該數(shù)據(jù)也會(huì)導(dǎo)致原有數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)空缺，均值生成成為填補(bǔ)空缺數(shù)據(jù)的有效方法。設(shè)序列 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，若x*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)則稱x*(k)為緊鄰信息的均值生成，由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列稱為緊鄰均值生成序列。

2.2 灰色模型的建立

由上述灰色序列生成方法，我們采用累加生成來構(gòu)建灰色模型。

計(jì)算GM（1，l）模型的背景值：

2.3 HMM預(yù)測的基本原理

HMM作為一種信號(hào)動(dòng)態(tài)時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)模型，非常適合處理連續(xù)動(dòng)態(tài)信號(hào)，并且它具有學(xué)習(xí)功能、自適應(yīng)能力，能夠通過訓(xùn)練獲取知識(shí)來監(jiān)測系統(tǒng)的狀態(tài)［4］。隱馬爾可夫模型在工業(yè)過程性能監(jiān)控和故障分類領(lǐng)域，都獲得不錯(cuò)的效果。

1）HMM的基本參數(shù)

HMM根據(jù)觀測信號(hào)的性質(zhì)分為兩類：連續(xù)隱馬爾可夫模型（CHMM）和離散隱馬爾可夫模型（DHMM）。HMM包括具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率陣A的Markov鏈和輸出觀測值的隨機(jī)過程，其狀態(tài)是不確定或不可見的（即隱藏的），只有通過觀測序列的隨機(jī)過程才能表現(xiàn)出來（即通過觀測概率矩陣B相聯(lián)系）［6］。一個(gè)HMM可以由下列參數(shù)描述［23］：

N：模型中馬爾可夫鏈的狀態(tài)數(shù)目。記N個(gè)狀態(tài)為S1，S2，…SN，記t時(shí)刻馬爾科夫鏈所處的狀態(tài)為 q 且

M：每個(gè)狀態(tài)對應(yīng)的可能的觀測值數(shù)目。記M個(gè)觀測值為O1，O2，…OM，記t時(shí)刻的觀測值為Oj且

式（7）中q1，表示初始時(shí)刻1的狀態(tài)；

對于連續(xù)HMM，B是一組觀測值概率函數(shù)即：

故一個(gè)HMM可記為：λ=(N，M，π，A，B)，簡寫為：λ=(A，B，π)。

預(yù)測就是確定方法來調(diào)整模型參數(shù)λ=(A，B，π)，使得出現(xiàn)某一個(gè)給定的觀察序列的概率最大。用解方程的方法來求解是行不通的。對給定一個(gè)有限的觀察序列作為學(xué)習(xí)集，估計(jì)模型參數(shù)的最好的方法并不存在。但是我們可以找出參數(shù) λ=(A，B，π)使得 P(O|λ)局部最大化［7］。

首先確定在給出模型參數(shù)和觀察序列的前提下，t時(shí)刻為狀態(tài)qi，j時(shí)刻為狀態(tài)Sj的概率，即：

從前向及后向變量的定義，可以將ξt(i，j)寫成以下形式：

如果將γt(i)關(guān)于t求和，則可得從狀態(tài)Si轉(zhuǎn)出的次數(shù)期望，即除了t=T時(shí)刻外，從狀態(tài)Si中轉(zhuǎn)出的次數(shù)的期望。類似的，將關(guān)于t從1到T-1求和，則可得從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj轉(zhuǎn)移的次數(shù)的期望［8］，用式子表示如下：=從狀態(tài)Si轉(zhuǎn)出的次數(shù)的期望=從狀態(tài)Si轉(zhuǎn)到 Sj的次數(shù)的期望

3 基于GM（1，1）-馬爾科夫預(yù)測模型處理方法

3.1 GM（1，1）模型的建立

設(shè)原始序列為

式中：x0(k)≥0;k=0，1，…，n。

對x0作一階累加處理，有

對x1作緊鄰均值生成，生成后的數(shù)列為

作最小二乘估計(jì)，計(jì)算GM（1，1）的模型參數(shù)a，u。

則GM（1，1）模型 x0(k)+az1(k)=b的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足：

通過時(shí)間響應(yīng)式得到估計(jì)值序列為

3.2 GM（1，1）模型的檢驗(yàn)

灰色模型的檢驗(yàn)主要有四種檢驗(yàn)方法：平均相對誤差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、均方差比值檢驗(yàn)、小誤差概率檢驗(yàn)。上述四種檢驗(yàn)方法都是通過殘差對模型的精度進(jìn)行判斷，其中平均相對精度誤差、均方差檢驗(yàn)都要求值越小檢驗(yàn)結(jié)果越好，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、小誤差概率要求值越大檢驗(yàn)結(jié)果越好。常用的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)見表1。

表1 精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表

對 于 p0≤0.70，C≤0.65，ε0≤0.70，Δ≥0.10 的模型，一般被認(rèn)為是不合格的模型。如果建立模型的平均相對誤差、關(guān)聯(lián)度、均方差比值或小誤差概率中有兩個(gè)或兩個(gè)以上在允許的范圍內(nèi)，則認(rèn)為模型是合理的。如果全部不合格，則需要進(jìn)行修正。

4 基于GM（1，1）-馬爾科夫模型的裝備故障預(yù)測

本文提出的基于馬爾科夫和灰色理論的裝備故障預(yù)測流程如下。

首先用灰色預(yù)測模型GM（1，1）得出的預(yù)測值與實(shí)際值比較，得出誤差，形成一個(gè)殘差數(shù)列，然后對該數(shù)列再進(jìn)行馬爾科夫預(yù)測，增加模型的預(yù)測精度。運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測法進(jìn)行預(yù)測，主要工作就是馬爾科夫預(yù)測模型的構(gòu)建，即利用初始狀態(tài)的概率向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來推測預(yù)測對象未來某一時(shí)間所處的狀態(tài)。

用Pij(k)表示預(yù)測對象由狀態(tài)θi經(jīng)過k次轉(zhuǎn)移至狀態(tài)θj的概率，即k步轉(zhuǎn)移概率：

式中：Mij(k)為自由狀態(tài)θ經(jīng)過k次轉(zhuǎn)移至狀態(tài)θj的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)；Mi為處于狀態(tài)θi的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。Pij(k)構(gòu)成的矩陣為

P(k)稱為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

馬爾科夫預(yù)測的步驟如下：

1）劃分預(yù)測對象的狀態(tài)。為了構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，首先要進(jìn)行狀態(tài)劃分，即將數(shù)據(jù)序列分成若干狀態(tài)。對GM（1，1）模型預(yù)測后的殘差序列進(jìn)行狀態(tài)劃分，其任一狀態(tài)θi可以表達(dá)為：。對于 θi的含義、狀態(tài)劃分?jǐn)?shù)目n和灰

計(jì)算后得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P(k)。

4）建立模型進(jìn)行預(yù)測。通過一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，確定了系統(tǒng)未來的轉(zhuǎn)移狀態(tài)后，也就確定了灰元 θ1i，θ2i，即 確 定 了 預(yù) 測 值 的 變 動(dòng) 區(qū) 間 為預(yù)測值可由下式計(jì)算：元θ1i，θ2i的確定，可以根據(jù)研究對象和原始數(shù)據(jù)來確定。

2）統(tǒng)計(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，即統(tǒng)計(jì)Mij(k)。它表示狀態(tài)在θi，經(jīng)過k次轉(zhuǎn)移至狀態(tài)θj的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。該模型中k的取值為1，表示一步轉(zhuǎn)移。

3）計(jì)算轉(zhuǎn)移概率和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。計(jì)算公式為

5 算例與分析

我們通過“某裝備遠(yuǎn)程維修支援系統(tǒng)”以及相關(guān)調(diào)研活動(dòng)獲取并整理得某樣本區(qū)域2008年至2016年的某型裝備故障發(fā)生率（見表2）。

表2 某樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率（%）

由式（13）～（18）計(jì)算得預(yù)測結(jié)果（見表3）。

表3 某樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率預(yù)測過程及結(jié)果（%）

由式（5）～（12）計(jì)算得預(yù)測誤差（見表4）。

選取具有代表性的相對誤差檢驗(yàn)和均方差比值檢驗(yàn)兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)，精度都達(dá)到了一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。分別選取2015年和2016年的故障發(fā)生率估計(jì)值用馬爾科夫進(jìn)行殘差修正，得新的估計(jì)值、相對誤差和未修正之前對比見表5。由表5看到，灰色模型經(jīng)過馬爾科夫鏈修改過后，精度明顯提高［16］。

對2017年該樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率進(jìn)行預(yù)測。從2008年t為0算起，此時(shí)t=9。計(jì)算得：

表4 某樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率預(yù)測誤差（%）

表5 馬爾科夫修正后誤差對比（%）

該樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率預(yù)測結(jié)果為

利用灰色預(yù)測模型計(jì)算出2017年在該樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率的預(yù)測值與實(shí)際值存在誤差，將誤差值構(gòu)成新的數(shù)列。由于這些數(shù)據(jù)的單位過大，為保證預(yù)測精確度和計(jì)算的方便性，結(jié)合幾年來該樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率的具體情況，將數(shù)據(jù)序列劃分為五個(gè)狀態(tài)，這些狀態(tài)界限都是上界限包含在區(qū)間內(nèi)，下界限不包含在區(qū)間內(nèi)，具體見表6。

表6 狀態(tài)劃分表

通過對2015年和2016年某樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率的預(yù)測的馬爾科夫修正可以看出GM（1，1）模型和馬爾科夫預(yù)測的科學(xué)性和合理。同時(shí)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可以得出2017年該樣本區(qū)域某型裝備故障發(fā)生率預(yù)測值為12.605%。

6 結(jié)語

針對復(fù)雜電子裝備由于系統(tǒng)復(fù)雜性、故障關(guān)聯(lián)性以及監(jiān)測信息不完備而引起的系統(tǒng)故障樹或多信號(hào)模型很難建立的情況，提出利用HMM作為分類器，實(shí)現(xiàn)對早期故障因素模式的識(shí)別，并對HMM的類型、結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)的選擇進(jìn)行了分析［15］。在此基礎(chǔ)上提出了基于馬爾科夫模型（HMM）與灰色理論相結(jié)合的某電子裝備故障發(fā)生率的預(yù)測方法，通過詳細(xì)分析其、故障發(fā)生率、故障類型與潛在故障因素之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系和特點(diǎn)，對預(yù)測模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而建立其符合該型裝備故障發(fā)生率的灰色-馬爾科夫預(yù)測模型，通過實(shí)例驗(yàn)證了該預(yù)測模型具有一定的狀態(tài)預(yù)測精度。由于各種條件限制，預(yù)測模型還存在不足，一是數(shù)據(jù)采集量還很小，數(shù)據(jù)質(zhì)量不夠高；二是對于故障模式的識(shí)別算法在數(shù)據(jù)有限的情況下，分析和識(shí)別準(zhǔn)確度偏低，還難以達(dá)到很高的精度。下一步將繼續(xù)深入地研究基于HMM的模式識(shí)別模型，實(shí)現(xiàn)在不同數(shù)據(jù)量情況下的參數(shù)優(yōu)化。同時(shí)研究基于多傳感器的裝備狀態(tài)監(jiān)控和信息采集技術(shù)，彌補(bǔ)人工信息采集的局限，建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化、通用化的故障信息數(shù)據(jù)庫，以進(jìn)一步提高預(yù)測精度。