對數學歸納法的改進

龔遠華

【摘 要】 數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法，在近年的高考試題中，不但要求能用數學歸納法去證明現成的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察—-歸納—-猜想—-證明”的思維模式，就顯得特別重要。在運用歸納法步驟②的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n=k+1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區別和聯系，但是“湊”結論這個過程往往需要一些技巧，變形難度較大，也沒具體固定的方法，這里對步驟②略作改進使其形成通法，以回避拼湊結論這個過程。

【關鍵詞】 數學歸納法；改進

一、數學歸納法的概念

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n=n0時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從nn開始的所有正整數n都成立。上述證明方法叫做數學歸納法。

數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數成立，就能保證該命題對后繼正整數都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可。特別指出的是，第二步不是判斷命題的真偽，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。

二、常規的數學歸納法關鍵步驟及易犯的錯誤

1. 關鍵步驟

用數學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步，即n=k+1時為什么成立，n=k+1時成立是利用假設n=k時成立，根據有關的定理、定義、公式、性質等數學結論推證出n=k+1時成立，而不是直接代入，這里采用的方法突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，難度大技巧性強。

2. 運用數學歸納法時易犯的錯誤

（1）對項數估算的錯誤，特別是尋找n=k與n=k+1的關系時，項數發生什么變化被弄錯。

（2）沒有利用歸納假設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。

（3）關鍵步驟含糊不清，“假設n=k時結論成立，利用此假設證明n=k+1時結論也成立”，是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環節，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規范性。

三、“湊”結論的一些技巧

“湊”結論這個過程往往需要一些技巧。變形難度較大，也沒具體固定的方法，而且易犯的錯誤因此這里對步驟②略作改進使其形成通法，以回避拼湊結論這個過程。

1. 對等式的證明

例1 用數學歸納法證明：

n∈N*■+■+…+■=■。

解析：①當n=1時，

左邊=■=■，

右邊=■=■，

左邊=右邊，

所以等式成立。

②假設n=k（k≥1）時等式成立，

即有■+■+…+■=■，

則當n=k+1時，

■+■+…+■+■

=■+■

■

下面證明：■+■=■

∵■+■-■

=■+■-■

=■

=■

=0

∴可得■+■=■

所以當n=k+1時，等式也成立。

由①，②可知，對一切n∈N*等式都成立。

方法總結：對于等式的證明可先利用假設，再利用作差或作商的辦法證明到左邊與右邊相等。

2. 對不等式的證明

例2 用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數n，不等式1+■1+■…1+■>■成立。

解析：①當n=2時，

左邊=1+■=■，

右邊=■，

∵■>■，

∴不等式成立。

②假設n=k（k≥2且k∈N*）時，不等式成立，即

1+■1+■…1+■>■

那么當n=k+1時，

1+■1+■…1+■+1+■>■·■=■

下面證明：■>■

∵k≥1

欲證■>■

即證■>■

即證4k2+8k+4>（2k+3）（2k+1）

即4k2+8k+4>4k2+8k+3

即證4>3，顯然成立。

∴n=k+1時，不等式也成立。

由①，②知，對一切大于1的自然數n，不等式都成立。

總之對數學歸納法進行改進以后，回避了拼湊過程，不需要有技巧的變形，拼湊，從而變化成更大眾的一些，更常規一些的不等式的證明。

【參考文獻】

[1] 唐子周. 關于數學歸納法的一點探索[J]. 中國科技信息，2008（03）.

[2] 張莉，賀孝賢. 數學歸納法的歷史[J]. 遼寧師范大學學報，1999（2）.