PHM系統中的測試不確定優化選擇建模

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(1.空軍工程大學 裝備管理與無人機工程學院，西安 710051； 2.空軍工程大學 航空工程學院，西安 710038)

0 引言

預測與健康管理(PHM)是實現狀態維修保障的關鍵技術，目前新研制軍用飛機明確提出必須裝備預測與健康管理系統。通過對某型軍用飛機預測與健康管理系統的使用數據分析，系統針對飛機故障的提前預警與故障隔離定位精度較高，但系統發生虛警的概率非常嚴重，即在使用過程中，系統評估飛機的狀態發生故障，但是經過拆卸故障組件進行內場測試檢驗后，發現組件正常。據某飛行基地的統計，某型飛機在試飛間發生的故障虛警率已占到總故障率的90%，這極大的影響了飛機的日常飛行保障工作。

為了解決這類問題，相關學者機構開展了以下研究。一是把系統中的不確定性因素當成隨機變量，引入到狀態評估模型中，然后采用相應濾波算法模型，將不確定性消除，文獻[1-3]就是采用這種方法。作者在文獻[4-5]中把測試不確定性概率和概率分布變量引入到狀態預測評估模型中，然后采用貝葉斯濾波或粒子濾波的方法，降低不確定性的影響。這種方法存在兩個問題：一是不確定性的先驗概率和分布不容易確定，第二是作者將此方法應用到某型飛機的預測與健康管理系統評估模型中，在實際使用中并未顯著降低系統虛警率。解決虛警率的另一種思路，是采用多種方法融合的方式[6-7]，但是這只能消除模型評估的不確定度，并且各個模型融合權重的確定，又帶來狀態評估的不確定性。

軍用飛機預測與健康管理系統發生虛警的重要根源，是因為其工作在復雜的自然環境和電磁環境中，致使狀態評估監測信號發生了偏移，造成測試的不確定性，測試的不確定性進入狀態評估模型中，從而引起預測與健康管理系統的虛警[8]。因此，作者認為，要從根本上降低系統的虛警率，必須從預測與健康管理的根源解決，即在選擇狀態評估測試點時必須考慮信號測試的不確定性，從而優化預測與健康管理的狀態評估策略，再結合相應的濾波方式和融合方法，這樣才能有效降低系統虛警率。

目前國內外關于測試點優化選擇的文獻，大多不考慮測試的不確定性，只考慮故障覆蓋率、隔離率、測試成本等因素的影響[9-12]。而考慮測試不可靠性的測試點選擇模型中，相關研究將測試的不確定性看作隨機變量，采用概率建模的方法對測試的不可靠度進行評估，并基于概率論對測試性優化選擇進行研究[13-17]。然而使用傳統概率論的前提是必須有充足的歷史數據，使獲得的概率分布充分接近實際概率。復雜環境下軍用飛機測試不確定數據嚴重缺失，限制了傳統概率論在不確定測試優化選擇研究中的應用。這種情況下，只能利用專家的知識和經驗來估計PHM中的測試不確定性，并給出專家信度。此時，若堅持使用概率論來處理專家信度，則可能導致錯誤決策。

本文基于滿足自對偶、次可加的不確定理論研究PHM系統中的測試不可靠度，通過建立測試不確定條件下的測試優化選擇模型，將不確定條件下的測試優化選擇問題轉化為不確定優化選擇問題，并利用不確定變量和不確定分布，在期望值準則和樂觀值準則下，將不確定優化選擇模型，轉化為帶有專家信度的確定性優化選擇模型，并通過實例給出了不確定優選選擇模型的建模和求解過程。

1 不確定理論

定義1.1：(Liu[18])假設Γ是一個非空集合。L是Γ上的一個σ-代數。σ-代數L中的每一個元素Λ被稱作一個事件。如果L到[0,1]的集函數M滿足如下三條公理：

1)M{Γ}=1；

2)對任何事件Λ，成立M{Λ}+M{Λc}=1；

則稱M為不確定測度，稱三元組(Γ,L,M)為不確定空間。

定義1.2：(Liu[18])不確定變量ξ是從不確定空間(Γ,L,M)到實數集的一個可測函數，即：對實數上的任意Borel集B，有{ξ∈B}={y∈Γ|ξ(y)∈B}是一個事件。

定義1.3：(Liu[18])不確定變量ξ的分布函數Φ定義為：對任意實數x，

Φx=M{ξ≤x}

定義1.4：(Liu[18])如果，對任意α∈(0,1)，不確定分布Φ的逆函數Φ-1(α)存在且唯一，那么，我們稱不確定分布Φ是正則的。

定義1.5：(Liu[18])設ξ1,ξ2,…，ξn是獨立正則的不確定變量，對應的不確定分布函數分別為：Φ1,Φ2,…，Φn。如果f(x1,x2,…，xn)是一個關于x1,x2,…，xm嚴格遞增，關xm+1,xm+2,…，xn于嚴格遞減的嚴格單調函數，那么

ξ=f(ξ1,ξ2,…，ξn)

2 測試不確定優化選擇模型

2.1 測試優化選擇建模

1)有限的故障模式集，S={s1,s2,…,sm}，其中表示故障模式的總數目；

2)有限的可用測試集，T={t1,t2,…,tn}，其中表示測試的總數目；

3)測試相關矩陣，D=[dij]m×n，其中dij∈{0,1}，dij=0代表故障si發生時tj測試通過，dij=1故障si發生時tj測試不通過；

4)各個測試的成本，CP={CP1,CP2,…,CPn}；

5)測試選擇向量，X=(x1,x2,…xn)T表示對應的測試是否被選擇，即：xi=1代表ti被選擇，xi=0代表ti未被選擇；

8)測試優化選擇模型

2.2 測試不確定優化選擇建模

在測試優化選擇模型中，當某一故障si發生時，測試相關矩陣D=[dij]m×n中dij=0對應的測試tj肯定通過，對應的dij=1的測試tj肯定測試不通過。然而，實踐證明，這一假設并不完全成立，在實際工作過程中，由于電磁干擾、不可靠傳感器、非直接測量和環境變化等因素的影響，測試本身存在很大的不確定性，為此本文引入測試不確定度的概念。

1)測試不確定度ξ=(ξ1,ξ2,…ξn)，代表測試ti的測試不可靠程度，其中0≤ξi≤1，ξi=0代表測試完全可靠，ξi=1代表測試完全不可靠，我們假定其不確定分布為Φ(ξ)。

3)測試相關矩陣：在測試不可靠條件下，測試相關矩陣D=[dij(ξ)]m×n。測試不可靠條件下，對應dij=0時，故障si發生時tj測試不通過的不確定度為ξj，即：dij(ξ)=ξj；測試不可靠條件下，對應dij=1時，故障si發生時tj測試不通過的不確定度為1-ξj，即：dij(ξ)=1-ξj；綜合可得：dij(ξ)=dij+(-1)dijξj

(3)故障檢測率，在測試不可靠的情況下，故障檢測率為測試在不可靠條件下故障檢測數與故障模式總數的比值。

4)故障隔離率，在測試不可靠的情況下，故障隔離率為測試在不可靠條件下的故障隔離數與可檢測故障數比值。

6)漏檢率，為由于測試不可靠造成的故障漏檢數與可檢測故障數的比值。

7)測試不確定優化選擇模型

約束條件：

3 測試不確定優化選擇模型求解

3.1 不確定目標函數求解

3.2 不確定約束條件求解

[定義3.1]集合Ai={j|dij=1}(i=1,2,…,m)，集合Bi={j|dij=0}(i=1,2,…,m)

Ak={j|dkj=1}(k=1,2,…,m,k≠i)，集合Bk={j|dkj=0}(k=1,2,…,m,k≠i)

對于j∈Ai，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=1-ξj

對于j∈Bi，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=ξj

1)檢測率不確定約束條件求解

在樂觀值準則下：

2)隔離率不確定約束條件求解

對于j∈Ai∩Ak，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=1-ξj，dkj(ξ)=dkj+(-1)dkjξj=1-ξj

對于j∈Ai∩Bk，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=1-ξj，dkj(ξ)=dkj+(-1)dkjξj=ξj

對于j∈Bi∩Ak，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=ξj，dkj(ξ)=dkj+(-1)dkjξj=1-ξj

對于j∈Bi∩Bk，dij(ξ)=dij+(-1)dijξj=ξj，dkj(ξ)=dkj+(-1)dkjξj=ξj

在樂觀值準則下：

3)虛警率不確定約束條件求解

在樂觀值準則下：

4)漏檢率不確定約束條件求解

在樂觀值準則下：

在期望值準則和樂觀值準則下，利用不確定變量逆分布將測試不確定優化模型轉化為，帶有專家信度確定性優化選擇模型：

在約束條件里，為了求解Φ-1(α)，Liu[19]給出了99-表如表1所示。其中第一行代表α的大小，即Φ(x)，第二行代表不確定度ξi的大小，即Φ-1(α)。對于ξi的函數f(ξi)，利用運算法則可知其對應的99-表如表2所示。

表1 ξ變量99-表

表2 f(ξ)變量99-表

4 實例分析

則目標函數:

表3 故障測試矩陣

虛警率約束條件：

5 結論

軍用飛機由于復雜自然環境和電磁環境的干擾，其PHM系統的狀態監測信號發生偏移，從而引發系統虛警。為從根源上降低虛警率，必須在測試優化選擇建模時考慮測試的不確定性。本文將不確定理論應用到測試性建模過程中，通過構建帶有專家信度的測試不確定優化選擇模型，將測試不可靠條件下的測試性建模問題轉化為不確定優化問題，同時解決了基于概率論研究測試不確定性問題，無法有效獲得先驗概率的限制。目前，將不確定理論用于解決PHM系統中的不確定性問題研究的成果尚不多見，因此本文的研究具有很強的前瞻性，論文所研究的相關理論和模型可用于指導解決PHM系統中的其他不確定性問題，包括狀態預測的不確定性、保障決策的不確定性等問題。