“畢達哥拉斯樹”教學研究報告

一、問題

“畢達哥拉斯樹”這一教學內容源自人教版數學教材五年級上冊總復習單元中的一道思考題：一個直角三角形的三條邊長分別是3cm、4cm、5cm。以這三條邊分別為邊長畫三個正方形，這三個正方形的面積各是多少？通過研讀教材，我們認為，教材的編寫意圖是讓學生借助“以一個直角三角形的三條邊為邊長，分別向外作三個正方形”，發現這三個正方形面積之間的關系，進而研究直角三角形三邊之間的關系，為今后中學學習勾股定理作鋪墊。而勾股定理的證明，人教版教材安排在八年級下冊。五年級的孩子研究這一高難度的內容，我們該如何把握好度？為此，我們進行了以下的思考與分析。

1.如果教學僅僅停留在解決“你能發現這三個正方形面積之間有什么關系嗎”這一問題的層面，只需引導學生通過計算找出每組中三個正方形面積之間的關系即可，思維含量顯然不夠。如果拔高為勾股定理的證明，學生又難以理解。這節課的教學目標究竟該如何定位？

2.根據教材要求，以直角三角形的三條邊為邊長，分別向外作三個正方形，再計算它們的面積，對大部分學生來說非常簡單。如何才能引導孩子們發現三個正方形面積之間的關系？并且發現在三角形中，唯有直角三角形才有此種關系？

3.對五年級學生來說，勾股定理非常抽象，難以理解。如何才能化抽象為具體，讓學生經歷完整的數學探究過程，形成解決實際問題的策略，培養研究事物的能力？

根據五年級學生現有的知識基礎和思維水平，經過討論，我們將本節課的教學目標定位為：通過面積證法，經歷直角三角形三邊關系的探索過程，發展學生的合情推理能力，體會數形結合的思想；通過介紹有關勾股定理的知識，拓展學生的視野，豐富學生的數學知識。

為了達成教學目標，我們通過查找資料，發現“畢達哥拉斯樹”可以作為這一內容的探究素材，它是根據勾股定理畫出來的一個可以無限重復的圖形。因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為“畢達哥拉斯樹”，也叫“勾股樹”。借助這一素材，教師通過設計基于學情的研究活動，引導孩子們經歷“觀察—發現—猜測—驗證—得出結論”的全過程，讓他們真正成為數學知識的研究者、發現者。

二、實踐

基于以上思考，我們對教材進行了創造性處理，將一道習題設計成一堂兼具數學味、思維味、文化味的新授課。主要教學過程如下：

（一）情境導入

師：同學們，老師給大家帶來了一棵樹，它叫畢達哥拉斯樹。（板書課題）大家有什么問題嗎？

生1：畢達哥拉斯樹是什么意思？

生2：數學課為什么要看樹？

師：是啊，這棵樹與我們數學有什么關系呢？今天我們一起走近神奇的畢達哥拉斯樹。

（二）探索新知

1.觀察樹，發現數學特征

師：畢達哥拉斯樹馬上要華麗登場了，請大家仔細觀察。（課件演示樹的動態形成過程，如圖1所示）

生（驚叫）：哇，好漂亮……

師：你們有什么發現？

生3：我發現這棵樹全是由正方形和三角形組成的。

師：用數學的眼光看世界，真棒！

生4：我發現這棵樹上的三角形全都是直角三角形。

師：你是怎么發現的？

生4：這些三角形中都有一個角標上了直角符號，說明它們全是直角三角形。

師：好一雙善于發現的眼睛！

生5：我發現這棵樹上正方形和直角三角形的排列是有規律的，每個直角三角形的周圍都有三個正方形。

師：真像他說的這樣嗎？我們一起看一看。（師生一起逐組觀察驗證）確實！正是這樣一組一組的圖形排列在一起，就形成了一棵茂盛的畢達哥拉斯樹。每組中一個直角三角形周圍都有三個正方形，我們既可以看成是以直角三角形的三條邊為邊長，分別向外作出的三個正方形，也可以看作是由三個正方形用邊長首尾相連圍成的一個直角三角形。那是不是任意三個正方形的邊長首尾順次連接，都能像這樣圍成一個直角三角形呢？為什么？

生6：肯定不是！你看，圍成大三角形的三個正方形明顯就大一些，圍成小三角形的三個正方形明顯就小一些。要是隨便對換一下，肯定圍不成的。

師：看來三個正方形能否圍成一個直角三角形，與正方形的大小是有關系的。每一組中三個正方形的大小究竟是什么關系呢？（學生要求選一組進行研究）從哪一組開始研究比較好呢？

生7：我覺得可以選樹干最下面三個最大的正方形圍成一個直角三角形這一組，因為這棵樹是從這一組開始長成的。

師：這個方法可真好！我們遇到像這樣比較復雜的問題時，可以從它最基本的組成元素開始研究。

2.研究規律

生14：我覺得，如果三個正方形之間存在S甲+S乙=S丙的關系，用這三個正方形的邊長就一定能圍成一個直角三角形。（其他學生同意他的說法）

師：這種猜想是否正確呢？我們怎樣驗證？

生15：我覺得可以先隨意畫更多的直角三角形，量出它們的邊長，再算一算，看是否全部符合S甲+S乙=S丙的關系。

生16：還可以把兩個不同大小的正方形沿著直角邊擺好，然后算一算邊長用來做斜邊的正方形面積應該是多少，再找到這個正方形，實際擺一擺驗證一下。

師：你們想的辦法都非常好。老師為每組準備了大小不同的若干正方形，還有一張畫有直角的練習紙，請動手圍一圍、算一算，看能圍成直角三角形的三個正方形之間是否存在S甲+S乙=S丙的關系。

學生研究之后匯報研究結果。

3.發現三邊關系

師：如果用字母a、b、c分別表示甲、乙、丙的邊長，那么這三個正方形面積之間的關系用字母怎樣表示呢？（生17：a2+b2=c2）請仔細觀察，我們將正方形的邊長脫離出來。（課件演示）現在，在直角三角形中，a、b、c分別表示什么？

生18：a、b表示直角三角形的兩條直角邊，c表示直角三角形的斜邊。

師：說得對！那a2+b2=c2在直角三角形中表示什么？

生19：一條直角邊的平方加另一條直角邊的平方等于斜邊的平方。

師：一條直角邊的平方加另一條直角邊的平方可以簡說成兩直角邊的平方和。（板書）剛才我們得到這個關系式的前提條件是什么？

生（齊）：直角三角形。

教師完善板書：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。學生齊讀結論。

4.研究規律的適用范圍

師：剛才我們探究出直角三角形三邊關系是a2+b2=c2。看到這個結論，你們還有什么疑問嗎？

生：鈍角三角形和銳角三角形中，是否也存在a2+b2=c2這種三邊關系呢？a2+b2=c2這種三邊關系是不是直角三角形獨有的呢？

師：你們的問題提得很有價值！大家想一想，直角三角形的三邊關系a2+b2=c2在鈍角三角形和銳角三角形中是否也適用呢？

生20：我覺得應該適用，因為它們都是三角形，都有三條邊。

生21：我覺得不適用，因為直角三角形中有直角，而鈍角三角形和銳角三角形中沒有，它們不一樣。

師：究竟誰說得對呢？我們用什么辦法驗證？

生22：我們可以像研究畢達哥拉斯樹上的每組圖形一樣，畫一些鈍角三角形和銳角三角形，量一量、算一算，看看是否也有這樣的關系。

師：大家覺得這種研究方法怎么樣？

生23：我認為不好。太麻煩了！我覺得可以利用剛才老師發給我們的學具進行想象。比方說，我們已經研究出這一組三個正方形可以擺成一個直角三角形。（邊擺邊說）現在把兩條直角邊稍微挪動，使它變成一個銳角（或者變成鈍角），這樣就將直角三角形變成了一個銳角三角形（或者鈍角三角形）了。（師：對）現在再看原來的斜邊，變成銳角三角形后，原來的斜邊就變短了，變成鈍角三角形后，原來的斜邊又變長了，所以銳角三角形與鈍角三角形中都沒有這樣的三邊關系；只有直角三角形存在a2+b2=c2的三邊關系。（全場掌聲雷動）

（三）了解數學文化

師：同學們，今天我們通過對畢達哥拉斯樹進行觀察、研究，借助正方形的面積，探究出在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。你們知道嗎？我們探究出的直角三角形三邊關系是數學史上非常著名的一個定理———畢達哥拉斯定理。相傳最早發現這條定理的是古希臘著名的數學家畢達哥拉斯。他是怎樣發現的呢？我們一起來聽聽他的故事。（課件播放故事）

師：剛剛上課的時候，有同學提出疑問：畢達哥拉斯樹是什么意思？現在你找到問題的答案了嗎？（生1：知道了）那你說說你的理解。

生1：因為這棵樹是運用畢達哥拉斯定理畫出來的。

師：說得對！老師這里收集了很多畢達哥拉斯樹的圖片（出示圖3）。這些樹雖然大小不同、形狀各異，但都是運用畢達哥拉斯定理畫出來的。早在三千多年前，我國數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”，所以畢達哥拉斯定理在我國也叫勾股定理，或者商高定理。在今后的數學學習中，我們還要進一步學習和研究。

三、討論

鄭毓信教授曾說：“如果您的教學始終只是停留于知識與技能的層面，您恐怕就只能算是一個教書匠；如果您的教學能夠很好地體現數學的思維，您就是一個智者，您給學生帶來了真正的智慧；然而，如果您的數學教學能給學生無形的文化熏陶，那么，即使您只是一個小學教師，即使您身處偏僻的深山或邊遠地區，您卻是一個真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價值。”正是基于這樣的認識，我們工作室認為，數學課堂應當是具有數學味、思維味和文化味的“三味課堂”。

在畢達哥拉斯樹一課的研究中，我們借助美觀奇妙的畢達哥拉斯樹作為直角三角形三邊關系研究的載體，整個教學緊緊圍繞引導學生探尋直角三角形三邊關系展開，畢達哥拉斯定理成為課堂教學顯而易見的研究目標，呈現出明顯的“數學味”。

在整個研究過程中，教師以畢達哥拉斯樹引入，激發學生的學習興趣，然后進行引導，逐步由扶到放：發現三個正方形能否圍成一個直角三角形與正方形的大小有關系→研究有什么樣的關系→發現畢達哥拉斯樹上某一組圍成直角三角形的三個正方形具有S甲+S乙=S丙的關系→研究是不是所有能圍成直角三角形的三個正方形面積之間都存在這種關系→猜想怎樣的三個正方形邊長首尾順次連接一定能圍成一個直角三角形→研究這種三邊關系是否是直角三角形獨有的。孩子們通過觀察、猜想、歸納、驗證、遷移、質疑、反思，緊扣直角三角形三邊關系這一核心內容，發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，如數學家般親身經歷了定理的發生發展全過程，感受了數學思想的魅力，增長了智慧，讓整個課堂充滿了濃濃的思維味。

全課以畢達哥拉斯樹開場，又以畢達哥拉斯樹結束，前后照應，形成了課堂結構之美。尤其是多姿多彩的畢達哥拉斯樹的欣賞，以及畢達哥拉斯定理、勾股定理的介紹，讓孩子們拓寬了視野，增長了見識，數學文化在孩子們的心田悄悄地扎根。

（此文系湖南省教育科學“十三五”規劃一般資助課題“小學數學‘三味課堂研究”課題階段性成果，課題批準號：XJK016BZXX034）

（執筆人：譚念君、張新玨、徐旺、李闖）