關(guān)于一類復(fù)合函數(shù)值域問題的探討

摘要：在眾多求函數(shù)的值域問題中，有一類函數(shù)形如y=logm（ax2+bx+c），這類函數(shù)若從復(fù)合函數(shù)的角度來看，則可看成是由對數(shù)函數(shù)y=logmu和二次函數(shù)u=ax2+bx+c復(fù)合而成。對于這類函數(shù)，常見考察的題型有求函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等，本文具體探討了四種情況。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；值域；二次函數(shù)；對數(shù)函數(shù)

一、 引言

在眾多求函數(shù)的值域問題中，有一類函數(shù)形如y=logm（ax2+bx+c），這類函數(shù)若從復(fù)合函數(shù)的角度來看，則可看成是由對數(shù)函數(shù)y=logmu和二次函數(shù)u=ax2+bx+c復(fù)合而成。對于這類函數(shù)，常見考察的題型有求函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等，其中函數(shù)的值域問題對于學(xué)生來說掌握起來有些困難，其實(shí)解決這類問題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)u=ax2+bx+c的值域就是對數(shù)函數(shù)y=logmu的定義域，先由ax2+bx+c>0求u=ax2+bx+c的定義域D（即解一元二次不等式），再求u=ax2+bx+c在定義域D下的值域M（即求二次函數(shù)在限定定義域下的值域問題），最后求y=logmu在定義域M下的值域（即求對數(shù)函數(shù)在限定定義域下的值域問題）。接下來本文主要從以下幾種情況來具體探討這類函數(shù)的值域問題。

二、 情況一：a>0，b2-4ac<0

（一） 實(shí)例

例1求y=log2（x2-4x+6）的值域

解：y=log2u，u=x2-4x+6

對于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定義域D=R，在此定義域下的值域M=[2，+∞），

對于y=log2u，定義域D'=[2，+∞），在此定義域下的值域M'=[1，+∞）

舉一反三：求y=log0.5（x2-4x+6）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-4x+6

對于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定義域D=R，在此定義域下的值域M=[2，+∞），

對于y=log0.5u，定義域D'=[2，+∞），在此定義域下的值域M'=（-∞，-1]

（二） 小結(jié)

對于y=logm（ax2+bx+c），當(dāng)a>0，b2-4ac<0時(shí)，ax2+bx+c>0恒成立，對于u=ax2+bx+c，定義域D=R，值域M=4ac-b24a，+

SymboleB@ ），對于y=logmu，定義域D=4ac-b24a，+

SymboleB@ ，值域：當(dāng)m>1時(shí)，M=

logm（4ac-b24a），+

SymboleB@ ），當(dāng)0

SymboleB@ ，logm（4ac-b24a）

三、 情況二：a>0，b2-4ac≥0

（一） 實(shí)例

例2求y=log2（x2-2x-3）的值域

解：y=log2u，u=x2-2x-3

對于u=x2-2x-3由x2-2x-3>0解得定義域D=（-∞，-1）∪（3，+∞），在此定義域下的值域M=（0，+∞），

對于y=log2u，定義域D'=（0，+∞），在此定義域下的值域M'=R

舉一反三：求y=log0.5（x2-2x+1）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-2x+1

對于u=x2-2x+1由x2-2x+1>0解得定義域D=（-∞，1）∪（1，+∞），在此定義域下的值域M=（0，+∞），

對于y=log0.5u，定義域D'=（0，+∞），在此定義域下的值域M'=R

（二） 小結(jié)

對于y=logm（ax2+bx+c），當(dāng)a>0，b2-4ac≥0時(shí)，ax2+bx+c>0，對于u=ax2+bx+c，值域M=（0，+∞），對于y=logmu，定義域D=（0，+∞），值域：M'=R

四、 情況三：a<0，b2-4ac>0

（一） 實(shí)例

例3求y=log2（-x2+2x+3）的值域

解：y=log2u，u=-x2+2x+3

對于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定義域D=（-1，3），在此定義域下的值域M=（0，4]，

對于y=log2u，定義域D'=（0，4]，在此定義域下的值域M'=（-∞，2]

舉一反三：求y=log0.5（-x2+2x+3）的值域

解：y=log0.5u，u=-x2+2x+3

對于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定義域D=（-1，3），在此定義域下的值域M=（0，4]，

對于y=log0.5u，定義域D'=（0，4]，在此定義域下的值域M'=[-2，+∞）

（二） 小結(jié)

對于y=logm（ax2+bx+c），當(dāng)a<0，b2-4ac>0時(shí)，ax2+bx+c>0，對于u=ax2+bx+c，值域M=0，4ac-b24a，對于y=logmu，定義域D=0，4ac-b24a，值域：當(dāng)m>1時(shí)，M'=-

SymboleB@ ，logm4ac-b24a，當(dāng)0

SymboleB@

五、 情況四：a<0，b2-4ac≤0

對于y=logm（ax2+bx+c），當(dāng)a<0，b2-4ac≤0時(shí)，ax2+bx+c>0的解集為空，因此這種情況不用討論。

參考文獻(xiàn)：

[1]武增明.用a·b≤|a|·|b|解兩類無理函數(shù)最值問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2006年11期.

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[3]田彥武.解兩類無理函數(shù)最值問題的新視角[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007年06期.

作者簡介：

肖天，江蘇省南京市，金陵高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校。