條件概率與貝葉斯公式在教學中的難度層次

摘要：簡單介紹了條件概率與貝葉斯公式的相關概念，并舉例說明了教學不同難度層次的教學例題。

關鍵詞：貝葉斯公式；教學；條件概率；先驗概率；后驗概率

概率與數理統計是一門難度較大的數學基礎課，條件概率與貝葉斯公式是概率中學生遇到的第一個難點，條件概率學的好不好透不透是概率論能否能夠順利入門的一個要點所在，如果能有一些合適的由淺入深的例題幫助學生理解，會有很好的教學效果，本文作者以多年的教學經驗總結了幾個例題與大家共享，拋磚引玉，期待與大家共同進步。

貝葉斯公式命名來自托馬斯·貝葉斯，在統計學實際應用中作用廣泛。條件概率是學過概率理論的人都知道的公式：P（B|A）=P（AB）/P（A）；即事件A和B同時發生時概率等于在發生的條件下B發生的概率乘以A發生的概率。條件概率公式與乘法公式可以推導：P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）；即，已知P（A|B），P（A）和P（B）可以計算出P（B|A）。假設{B1，B2…Bn}是概率空間B的一個劃分。則P（A）可以用全概率公式展開：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）貝葉斯公式表示成：

P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）/（P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

條件概率的第一個典型例題就是抽簽，幾乎每一本教材都會用到。五個人ABCDE抽簽選一人，先抽和后抽概率是否相等？第一個人抽中的概率為P（A）=1/5，第二個人抽中的概率為P（A-B）=P（A-）P（B/A-）=4/5×1/4=1/5，第三個人抽中的概率為P（A-·B-·C）=P（A-）P（B-/A-）P（C/A-·B-）=4/5×3/4×1/3=1/5，以此類推，每人抽中的概率都一樣。第二個例題稍微難點，五個人ABCDE抽簽選三人，先抽和后抽概率是否相等？第一個人抽中的概率為P（A）=3/5，第二個人抽中的概率為P（B）=P（A）P（B/A）+P（A-）P（B/A-）=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5，以此類推，每人抽中的概率都一樣。

第三個例子，盒子有2個黑球3個白球，隨機丟了1個，現從中任取2個球發現都是白球，問丟失的球是黑球的概率。解題先設A1={丟的是黑球}，A2={丟的是白球}，B={任取2球全是白球}，則：P（A1）=2/5，P（A2）=3/5，P（B/A1）=C23/C24=1/2，P（B/A2）=C22/C24=1/6，P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）=2/5×1/2+3/5×1/6=3/10，P（A1/B）=P（A1）P（B/A1）/P（B）=（2/5×1/2）/（3/10）=2/3。

第四個例子，有四個盒子甲乙丙丁，甲中有1黑1白2個球，乙中有1黑2白3個球，丙中有1黑3白4個球，丁是空盒。從三個盒子中各任取1球放入丁中，再從丁中任取1球，問取到黑球的概率是多少？該黑球是從甲盒中取出的概率是多少？解題先設A1={丁盒中有0個黑球}，A2={丁盒中有1個黑球}，A3={丁盒中有2個黑球}，A4={丁盒中有3個黑球}，B={從丁盒中取出一球是黑球}，C={黑球來自甲盒}則：

P（A1）=1/2×2/3×3/4=6/24，

P（A2）=1/2×2/3×3/4+1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4=11/24，

P（A3）=1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4+1/2×1/3×1/4=6/24，

P（A4）=1/2×1/3×1/4=1/24，

P（B/A1）=0，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=2/3，P（B/A4）=1，

P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）+P（A3）P（B/A3）+P（A4）P（B/A4）=6/24×0+11/24×1/3+6/24×2/3+1/24×1=13/36，

第二問的答案是P（BC）=

1/2×2/3×3/4×1/3+（1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4）×2/3×1/2+1/2×1/3×1/4×1/3=12/72P（C/B）=P（BC）/P（B）=12/26=6/13

貝葉斯公式和條件概率看起來都很簡單，但是在自然科學社會生活等各個領域應用十分廣泛。同時該理論本身也蘊含了極其深刻的思想。在現代社會大數據飛速發展的時代，從海量的數據中篩查數據解決相關問題，貝葉斯公式和條件概率也有著非常廣泛的應用，因此搞清弄懂概念打好基礎學好概率論有著非常重要的意義。

參考文獻：

[1]茆詩松著.貝葉斯統計[M].中國統計出版社.

[2]祝東進，郭大偉著.概率論與數理統計[M].國防工業出版社.

作者簡介：

王文相，江蘇省連云港市，江蘇財會職業學院。