整數標準分解式的數論函數及其均值的漸近公式

摘要：本文給出了整數標準分解式的數論函數β（n，p）和它的均值∑p≤nβ（n，p）的定義，推出均值∑p≤nβ（n，p）的漸近公式公式。

關鍵詞：數論函數；均值；漸近公式

一、 引言與主要結論

在[1]的第68個問題中，p為一個素數，給一數列k=ep（n），k為p在n的標準分解式中的指數。本文給出n的標準分解式中的數論函數β（n，p）的定義，推出并證明了均值∑p≤nβ（n，p）的漸近公式。本文中[x]表示不超過x的最大整數，a（m，p）表示m在p進制表示中數字之和。用π（x）表示不超過x所有素數的個數，并且

π（x）=xlnx+a2xln2x+…+akxlnkx+O（xlnk+1x）；

定義1設p（p≥2）為任意素數，n為給定一個正整數，如果n=a1p+a2p2+…+asps其中

1≤ai≤p-1，i=1，2，…，s，稱a（n，p）為n在p進制中數字之和函數，即a（n，p）=∑si=1ai。

定義2設p（p≥2）為任意素數，n為給定一個正整數，n=pk11pk22…pktt（pi為素數），稱β（n，p）為p在n的標準分解式中的指數函數，它的值為p在n的標準分解式中的指數；B（n，P）=∑p≤nβ（n，p）為函數β（n，p）的均值。

定理設p（p≥2）為任意素數，n為給定一個正整數，則

∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）

其中k是任意的正整數，ci（i=1，2，…）是一些可計算的常數。

二、 相關引理及定理的證明

引理1設n為任意正整數，p為素數，α（n，p）表示p在n！標準分解式中的指數，則

α（n，p）≡∑

SymboleB@ i=1npi=1p-1（n-a（n，p）），（1）

引理2在n的標準分解式中質因數p（p≥2）的指數

β（n，p）≡∑

SymboleB@ i=1npi-n-1pi=1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p）），（2）

引理3設n為任意正整數，p為素數，則a（n，p）≤p-1lnplnn。（3）

下面進行定理的證明

證明：因為∑p≤nβ（n，p）=∑p≤nβ（n，p）+∑n

等式右邊第一部分由引理2可知

∑p≤nβ（n，p）

=∑p≤n1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p））

=∫n321xdπ（x）+A+O（1n）+∑p≤na（n-1，p）-a（n，p）p-1。（4）

又因為

∫n321xdπ（x）=lnlnn+B+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n）

由引理3得

∑p≤na（n，p）p-1≤∑p≤nlnnlnp=lnn∑p≤n1lnp≤lnn∑p≤n1≤nlnn，

于是，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+a+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n）

所以，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）。

證畢。

參考文獻：

[1]F.Smarandache.only problem，not solutions.Xiquan Publ.House.Chicage，1993，54—55.

作者簡介：

車雨紅，陜西省渭南市，渭南師范學院數理學院。