探究關于兩個正方形完美結合的中考試題

摘 要：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，當兩正方形放在一起時，可以組題考查多種重點考點以及數學幾何模型。善于發現題目當中涉及的手拉手模型、對角互補模型、一線三直角模型等重要的模型將有助于培養學生的數學思維能力。

關鍵詞：正方形；結合；模型

正方形作為特殊的四邊形，具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，堪稱“完美”。當“完美”的兩正方形放在一起時，可以組合成很多“完美”的試題。接下來本文就來探究關于兩個正方形完美結合的中考試題。

一、 當頂點與頂點重合時，考查方向為手拉手模型

當兩個正方形有公共頂點時，相鄰的頂點連接的兩條邊形象地可以看作兩雙手，善于發現和應用這個模型，有助于提高學生的幾何推理能力。

例1 如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連接AG、CE交于點H。

（1） 求證：△ADG≌△CDE；

（2） 試問線段AG和線段CE有什么關系？請說明理由；

（3） 求證：HD平分∠AHE。

簡證：（1）由正方形的性質得出AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，證出∠ADG=∠CDE，由SAS證明△ADG≌△CDE；（2）AG=CE，且AG⊥CE.由（1）得AG=CE，根據三角形內角和定理，可得∠AHC=90°，所以AG⊥CE；（3）由前兩問利用等面積法可以得出全等三角形對應底邊上的高相等，再根據角平分線的逆定理得出HD平分∠AHE。

[評析與延伸]本題在設置旋轉的過程中要注意正方形的性質，挖掘可以證明三角形全等的條件。本題們還可以給出兩個正方形的邊長，去考查正方形DEFG繞點D旋轉的過程中，△ACF的面積的取值范圍。還可以進一步拓展等腰三角形或等邊三角形的手拉手問題。

二、 頂點在中心或者對角線上，考查方向為對角互補模型

當正方形的一個頂點在另外一個正方的中心上或對角線上時，正方形重疊組成的四邊形對角始終保持互補狀態，此時的90°的對角互補模型需要抓住兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形的特性解決問題。

例2 如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′交BC于點E，A′D′交CD于點F。

（1） 求證：OE=OF；

（2） 若正方形ABCD的邊長為1，試求旋轉過程兩個正方形重疊部分的面積。

簡證：（1）由正方形的性質可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性質就可以得出OE=OF；（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四邊形OECF=S△BOC，S△BOC的面積就可以得出結論。

[評析與延伸]本題考查了正方形的性質的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等得出OE=OF是關鍵。本題還可以考查正方形A′B′C′D′繞著點O旋轉，EF的長度的最小值或給出參數邊，結合二次函數求最值。

三、 頂點在邊長上，考查方向為一線三直角模型

當有一個直角的頂點在另外一個正方形的邊長上時，一條直線上的三個頂點含有三個相等的角此時就可以證明相似或全等實現邊角的轉化。

例3 如圖，正方形的頂點在另一個正方形的邊BC上（點D不與點B、C重合），且兩個具有公共頂點A，

（1） 求證：∠BAD=∠CDE；

（2） 試求∠DCE的度數。

簡證：（1）首先通過三角形的外角或者同角的余角相等可以得到∠BAD=∠CDE；（2）再作輔助線EH⊥BC于H，由（1）易得△DEH≌△ADB，推出EH=BD，DH=AB=BC，即得，CH=BD=EH，由EH⊥BC，推出△ECH為等腰直角三角形，即得，∠ECH=45°，即可推出∠DCE為135°。

[評析與延伸]本題的設置正方形頂點在一條邊上，可以明顯構造出一線三直角模型，根據已知推出△DEH≌△ADB，進而得到△ECH為等腰直角三角形。記直線本題還可以給出邊，利用一線三等角模型證明△DPC∽△ABD，再去找對應邊成比例。

以正方形為背景的題目通常難以突破，原因是沒有很好地挖掘題目中隱含的模型，綜合運用所學數學知識解題。在教育教學中，不斷滲透數學思想和數學模型將有助于培養學生的數學思維能力。

參考文獻：

[1] 張寧.以“共頂正方形”為模型的中考試題及變式探究[J].中學數學，2014（4）：92-94.

[2] 李印.探究由教材中的習題演變而來的中考試題[J].中國數學教育，2009（12）：34-36.

作者簡介：陳成通，廣東省東莞市，東莞市光明中學。