關(guān)于混合體積界值估計(jì)的注記

吳笑雪 楊林

摘要：該文運(yùn)用分析學(xué)中的Hlder不等式探究了凸體理論中的混合體積，得到混合體積的一個(gè)界值估計(jì)。

關(guān)鍵詞：凸體；Hlder不等式；混合體積

一、 引言與預(yù)備知識(shí)

分析學(xué)、幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的三大方向，他們相互映襯，相互滲透。分析學(xué)中的Hlder不等式是分析不等式中的基本不等式（參見[1]），它在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中占有重要作用。該文將運(yùn)Hlder不等式去探索凸體理論中幾何量之間的關(guān)系。凸體理論是研究凸體及星體的理論，其中最重要之一為Brunn Minkowski理論，該理論由經(jīng)典Brunn Minkowski理論經(jīng)LpBrunn Minkowski理論到現(xiàn)今的Orlicz Brunn Minkowski理論，已取得豐碩的成果。

如Minkowski不等式，Brunn Minkowski不等式，Log Brunn Minkowski不等式等吸引了無(wú)數(shù)中外數(shù)學(xué)研究者，如Brunn、Minkowski、Alexandrov、Lutwak、張高勇等（參見[2-3]）。

設(shè)K為歐氏空間Rn中的點(diǎn)集，若對(duì)λ∈[0，1]與x，y∈K，都有λx+（1-λ）y∈K，則稱K為凸集。若K為具有非空內(nèi)點(diǎn)的緊凸集，則稱K為凸體。用Kn表示Rn中凸體之集，Kn0表示Rn中以原點(diǎn)為其內(nèi)點(diǎn)的凸體之集合，B表示Rn中的單位球。

若K∈Kn，其支持函數(shù)hK（·）為hK（u）=max{x·u：x∈K}，u∈Sn-1，其中Sn-1為Rn中的n-1維單位球面。若K，L∈Kn，存在x∈Rn，λ∈R+，有K=x+λL，稱K與L位似。

若K∈Kn，則K的體積V（K）為V（K）=1n∫Sn-1hK（u）dS（K，u），其中dS（K，u）為K在u方向上的面積微元。

對(duì)K，L∈Kn，λ，μ≥0（不同時(shí)為0），K與L的Minkowski線性組合λK+μL由hλK+μL（u）=λhK（u）+μhL（u）確定。

若K，L∈Kn，則K與L的一階混合體積V1（K，L）定義為

V1（K，L）=1nlimσ→0+V（K+σ·L）-V（K）σ

=1n∫Sn-1hL（u）dS（K，u）

著名的Minkowski不等式為V1（K，L）≥V（K）n-1nV（L）1n。

若K∈Kn，則K的i（0≤i≤n-1）階均質(zhì)積分Wi（K）=1n∫Sn-1hK（u）dSi（K，u），當(dāng)i=0時(shí)，W0（K）=V（K），當(dāng)i=n-1時(shí)，Wn-1（K）=B（K）為寬度積分。

若K，L∈Kn，則K與L的i階混合均質(zhì)積分Wi（K，L）=1n∫Sn-1hL（u）dSi（K，u），當(dāng)i=0時(shí)，W0（K，L）=V1（K，L），當(dāng)i=n-1時(shí)，Wn-1（K，L）=B（L）。

文中研究的log Brunn Minkowski不等式內(nèi)容之一為：

命題若K，L∈K20，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則∫S1hKloghLhKdS（K，u）≥V（K）logV（L）V（K）。

文中不僅給出命題的新證明方法，還做出如下猜測(cè)：若K，L∈Kn0且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nV（K）V1（K，L）V（L）。該文探究積分∫Sn-1h2KhLdSi（K，u），并給出了一個(gè)界值估計(jì)，即得

定理若K，L∈Kn，c（K，L）為關(guān)于K與L的幾何量，則

nWi（K）2Wi（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）≤nc（K，L）Wi（K）2Wi（K，L）

定理證明及推論

為得到定理，還需要Hlder不等式與逆的Hlder不等式作為輔助工具。現(xiàn)先對(duì)幾個(gè)數(shù)作簡(jiǎn)記

C（p1，p2）（x，y）=xp1+yp2x

1p1y1p2，1p1+1p2=1，（p1>1），

Xi=‖fi（x）‖pipi=∫Xfi（x）pidx1pi（i=1，2）。

引理1設(shè)fi（x）（i=1，2）為可測(cè)閉集X上非負(fù)連續(xù)函數(shù)。若fi（x）pi可積，且1p1+1p2=1（p1>1），則‖∏2i=1fi（x）‖1≤∏2i=1‖fi（x）‖pi。

引理2設(shè)fi（x）（i=1，2）為可測(cè)閉集X上滿足01），則∏2i=1‖fi（x）‖pi≤T（p1，p2）（mi，Mi，Xi）‖∏2i=1fi（x）‖1。

現(xiàn)運(yùn)用引理1與引理2來(lái)給出定理的證明。

證明由hK=h2KhL12·h12L及引理1得

W2i（K）=1n∫Sn-1hKdSi（K，u）2

=1n∫Sn-1h2KhL12·hL12dSi（K，u）2

≤1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·1n∫Sn-1hLdSi（K，u）

=1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）

即得nWi（K）2Wi（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）。

由1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）=1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·1n∫Sn-1hLdSi（K，u）及引理2得

1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）≤c（K，L）1n∫Sn-1h2KhL12h12LdSi（K，u）2=c（K，L）W2i（K）即得∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）≤nc（K，L）Wi（K）2Wi（K，L），從而定理得證。

特別地，當(dāng)定理中i=0時(shí)，結(jié)合W0（K）=V（K），W0（K，L）=V1（K，L），即得

推論1若K，L∈Kn，c（K，L）同上，則nV（K）2V1（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nc（K，L）V（K）2V1（K，L）。

由推論1及Minkowski不等式可得

推論2若K，L∈Kn，c（K，L）同上，則

∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nc（K，L）V（K）1+nnV（L）1n。

參考文獻(xiàn)：

[1]HARDY G，LITTLEWOOD J，POLYA G. Inequalities[M].New York： Cambridge Univ. Press，1952.

[2]BOROCZKY K，LUTWAK E，YANG D，ZHANG G. The log Brunn Minkowski inequality[J].Adv. Math.： 2012，231： 1974-1997.

[3]SCHNEIDER R. Convex Bodies： The Brunn Minkowski Theory（second expanded edition）[M].New York： Cambridge Univ. Press，2014.

作者簡(jiǎn)介：吳笑雪，楊林，貴州省銅仁市，銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院。