問題激興趣 類比引思考

梁陽梅 秦健

【摘要】本文以人教版八年級(jí)上冊(cè)《分式方程》第一課時(shí)教學(xué)為例，論述“類比”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，總結(jié)出“類比—合作探究—總結(jié)”的學(xué)習(xí)方法。

【關(guān)鍵詞】《分式方程》 問題導(dǎo)入 類比 方法歸納

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）05A-0022-05

一、教材分析

《分式方程》是人教版八年級(jí)上冊(cè)第十五章第三節(jié)的內(nèi)容，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程，它是整式方程的延伸和拓展，是人們認(rèn)識(shí)方程的一次提升，它與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，是描述現(xiàn)實(shí)生活的重要方程模型，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。解分式方程既是分式有關(guān)知識(shí)在解方程中的應(yīng)用，又是進(jìn)一步研究其他方程和解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。教會(huì)學(xué)生“檢驗(yàn)”是教學(xué)過程中必不可少且的環(huán)節(jié)，這個(gè)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想和程序化思想。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）了解分式方程的概念；

（二）會(huì)用去分母的方法解可化為一元一次方程的分式方程，體會(huì)化歸思想；

（三）了解需要對(duì)分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)的原因；

（四）在探究分式方程解法過程中培養(yǎng)學(xué)生類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生克服困難的信心，讓學(xué)生獲得成就感，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)利用去分母的方法解分式方程；

難點(diǎn)：了解分式方程產(chǎn)生增根的原因。

四、學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)以及七年級(jí)已經(jīng)學(xué)過一元一次方程以及二元一次方程組的解法，在學(xué)習(xí)本章的第一、二節(jié)時(shí)掌握了分式的概念和分式的約分、通分、四則運(yùn)算，學(xué)生的這些已有知識(shí)為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)。學(xué)生第一次接觸分式方程，在對(duì)整式方程的認(rèn)識(shí)還不夠深入的情況下，就遇到比解整式方程復(fù)雜的求解過程和可能產(chǎn)生增根的新情境，學(xué)生對(duì)此內(nèi)容的接受會(huì)有很大的困難，特別是產(chǎn)生增根的原因，學(xué)生缺乏認(rèn)知準(zhǔn)備。學(xué)生由于解整式方程產(chǎn)生思維定式，即所有方程都是有解的，導(dǎo)致對(duì)有些分式方程“無解”產(chǎn)生疑惑和不理解。因此在教學(xué)時(shí)，教師一方面鋪設(shè)好學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)臺(tái)階，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，化新為舊、化生為熟，從等式性質(zhì)2出發(fā)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解分式方程時(shí)產(chǎn)生增根的原因，另外一方面教師要積極創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生多交流討論、發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

五、教學(xué)實(shí)錄

（一）巧妙導(dǎo)入，歸納概念

教師用“2017年朱日和基地閱兵式”視頻中空中戰(zhàn)機(jī)片段進(jìn)行導(dǎo)入并提出問題：在某次飛行中，殲20在靜風(fēng)中的速度為1500千米/時(shí)，如果它以此速度順風(fēng)飛行760千米和逆風(fēng)飛行740千米的時(shí)間相等，則當(dāng)時(shí)的風(fēng)速為多少？學(xué)生列出方程：[7601500+x=7401500-x]

師：大家觀察一下這個(gè)方程，它有什么特點(diǎn)？

生1：未知數(shù)的位置發(fā)生了變化。

師：哦，未知數(shù)的位置發(fā)生了變化，很好！以前我們學(xué)習(xí)過的方程都有哪些？

生：一元一次方程、二元一次方程。

師：你能快速地將下面4個(gè)方程進(jìn)行分類嗎？

（1）3[x]-2=5；（2）[2x+y=4x-y=2]；（3）[x+13-x-12=1]；

（4）[x4+y5=4.]

師：誰是一元一次方程呀？

生：（1）和（3）。

師：那（2）（4）呢？

生：二元一次方程。

師：對(duì)，沒錯(cuò)！這兩類方程有什么共同特點(diǎn)？

師生：左右兩邊都是整式。

師：所以我們可以把這兩類方程稱作整式方程。而我們今天列出來的這個(gè)方程跟以往的整式方程對(duì)比，正如前面那名同學(xué)所說的，未知數(shù)的位置發(fā)生了變化，像這樣，分母當(dāng)中含有未知數(shù)的方程我們把它稱為分式方程。

師：結(jié)合分式方程的定義，我們來看一看下面6個(gè)方程中，哪些是分式方程。

（1）[x-22]=[x3]；（2）[1x-2]=[3x]；（3）[4x]+[3y]=7；（4）2x+[x-15]=10；（5）[3-xπ]=[x2]；（6）x-[1x]=2.

生：（2）（3）（6）。

師：大家回答得好快呀！大家是怎么判斷的？

生2：看分母的位置。

師：對(duì)！判斷一個(gè)方程是否為分式方程就看其分母是否含有未知數(shù)。大家注意方程（5）中的π是常數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】

本環(huán)節(jié)通過大閱兵的片段引出實(shí)際問題，既增強(qiáng)學(xué)生上課的興趣，也滲透了愛國(guó)主義情感，凸顯數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，為后面用分式方程解決實(shí)際問題埋下伏筆。筆者在歸納分式方程定義之前，先引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)的一元一次方程、二元一次方程（組），通過觀察發(fā)現(xiàn)兩者的共性是方程中等號(hào)兩邊均為整式，從而將它們稱為整式方程；對(duì)比新方程與舊方程，順勢(shì)得出分式方程的定義；通過習(xí)題鞏固學(xué)生對(duì)分式方程定義的理解，最后的方法小結(jié)，將學(xué)生對(duì)定義的認(rèn)識(shí)提升到判斷方程是否為分式方程的方法，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)無理數(shù)π的易錯(cuò)點(diǎn)。通過“發(fā)現(xiàn)—觀察—對(duì)比—?dú)w納—鞏固—小結(jié)”的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對(duì)分式方程的定義有較全面、深刻的認(rèn)識(shí)，達(dá)成了目標(biāo)一。

（二）回顧提煉，類比解決

師：如何解分式方程[7601500+x]=[7401500-x]？

（學(xué)生沉默不語）

師：我們?cè)鯓咏庥蟹帜傅囊辉淮畏匠棠兀?/p>

生：通過兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1，求得[x]的值。

師：怎么驗(yàn)證[x]的值是否正確呢？

生：把[x]的值分別代入方程的左邊和右邊，如果左右兩邊的值相等，[x]就是正確的，如果不相等，就錯(cuò)誤。

師：很好。接下來請(qǐng)同學(xué)們類比一元一次方程的解法，解這道分式方程。先自行思考，寫出解題過程，再以前后兩桌四人小組為單位交流，分享。8分鐘后，派代表上來展示解法。

（8分鐘后）

師：哪個(gè)小組來分享你們的解法？

生1：我是通過交叉相乘把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?60（1500-x）=740（1500+x），接著就解一元一次方程得到x=1000。

師：為什么交叉相乘能保證等號(hào)仍然成立？這么變形的依據(jù)是什么？

生1：我也不清楚，小學(xué)老師直接告訴我們的。

師：沒關(guān)系，一會(huì)我們看看有沒有其他同學(xué)可以給出合理的解釋。那么你對(duì)你所得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證了嗎？

生1：驗(yàn)證過了。

師：風(fēng)速在80km/h左右就已經(jīng)是超級(jí)大風(fēng)了，你求得的1000km/h是哪種風(fēng)？方程所得的解不僅要滿足方程，還應(yīng)符合實(shí)際意義。同學(xué)們幫忙檢查看看，這名同學(xué)的解題過程是否存在錯(cuò)漏之處？

生2：老師，我發(fā)現(xiàn)他在移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，所以結(jié)果是錯(cuò)誤的，正確的解應(yīng)該是x=20。

師：謝謝，請(qǐng)坐。你的觀察很細(xì)致。

師：我們?cè)賮砺犅犉渌瑢W(xué)的解法。

生3：我是類比一元一次方程去分母的方法，讓方程兩邊同乘分母的最簡(jiǎn)公分母，這樣分式方程就可以轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?60（1500-x）=740（1500+x）。

師：很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎觥：蜕弦幻瑢W(xué)一樣，也想到了將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解決。你能具體說說兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，方程等號(hào)仍成立的依據(jù)是什么嗎？

生3：等式的性質(zhì)。

師：有依有據(jù)，真棒！還有不同解法嗎？

生4：老師，我是先將方程左右兩邊的式子進(jìn)行通分，然后根據(jù)分式的值相等，分母又相同，所以它們的分子肯定相等，就得到了整式方程760（1500-x）=740（1500+x），我的解是x=20。

師：這個(gè)想法也不錯(cuò)哦，請(qǐng)坐。同學(xué)們，三名同學(xué)展示了自己的做法，也都得到了同樣的解。請(qǐng)細(xì)心比較，三名同學(xué)的做法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生5：我認(rèn)為相同點(diǎn)是大家都想到了把分式方程去分母后變?yōu)檎椒匠虂斫鉀Q。不同的是轉(zhuǎn)化的方法不同，但實(shí)質(zhì)上又是一樣的，因?yàn)榻徊嫦喑撕拖韧ǚ衷倭罘肿酉嗟龋鋵?shí)都和第二名同學(xué)的做法一樣，是依據(jù)等式性質(zhì)，兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母實(shí)現(xiàn)的。

師：你分析得很透徹，說出了三種去分母方法的共性，很棒！

【設(shè)計(jì)意圖】

新課程理念提到，數(shù)學(xué)課堂是討論、交流、合作的課堂。討論、合作是學(xué)習(xí)小組成員完成學(xué)習(xí)任務(wù)的手段，而交流則促進(jìn)學(xué)生成果共享。課堂上討論、交流、合作首先利于培養(yǎng)學(xué)生自主、自信的品質(zhì)和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，并利于創(chuàng)造自由、輕松愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生思維的延展。在如何解分式方程這個(gè)問題上，筆者引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)的方程的解題方法，相當(dāng)于給了學(xué)生一個(gè)方向，讓學(xué)生自主思考并求得結(jié)果。在得到結(jié)果后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生通過討論慢慢弄清楚每一步的理由，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。教師放手讓學(xué)生去思考、表達(dá)，就會(huì)收獲更多驚喜，教師在課堂上應(yīng)成為一位極具智慧的指路人。

（二）創(chuàng)造沖突，突破難點(diǎn)

（教師出示練習(xí)題：解分式方程[1x-5]=[10x2-25]，學(xué)生自主思考、獨(dú)立完成）

師：同學(xué)們?cè)诮膺@道分式方程的過程中是否遇到了困難？

生1：老師，我和解上一道分式方程一樣先去分母得到一元一次方程，解一元一次方程后得到[x=5]，但是我代入方程檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)方程的分母為0，我不知道往下該怎么表達(dá)。

生2：老師，我也得到了相同的解[x=5]，但是如果[x=5]使得分母為0，那么式子就沒有意義了，就不能說它是方程的解了，所以我認(rèn)為這個(gè)方程是沒有解的。

師：謝謝你們大膽說出了自己遇到的困難。確實(shí)很奇怪，為什么我們經(jīng)歷了相同的步驟解得x的值，在方程1中，整式方程的解[x=20]是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解[x=5]卻不是原分式方程的解呢？

生3：對(duì)比解兩個(gè)方程的過程，雖然大家都由解整式方程得到x，但是可以看到區(qū)別在于x的值在方程1中，使得分母不為0，而在方程2中，x的值使得分母為0，所以方程2就無解。

師：x的值使得分母為0的同時(shí)，也導(dǎo)致誰為0呢？

生3：應(yīng)該是最簡(jiǎn)公分母，因?yàn)樗怯筛鞣帜傅乃幸蚴较喑说玫降摹?/p>

師：那么，如果我們想檢驗(yàn)一個(gè)x的值是否是分式方程的解時(shí)，有哪些方法呢？

生4：我認(rèn)為可以代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母為0，分式方程就無解，如果最簡(jiǎn)公分母不為0，x的值就是分式方程的解。這樣比較快捷。

師：比較快捷，是相對(duì)哪種方法比較快捷？

生4：相對(duì)把x的值分別代入每一個(gè)分母要快捷。

師：同學(xué)們?cè)僬J(rèn)真思考，為什么在整式方程中，沒有出現(xiàn)過無解的情況呢？

生5：因?yàn)檎椒匠痰姆帜付际蔷唧w的數(shù)，所以分母都是有意義的。

生6：我們對(duì)整式方程去分母時(shí)，兩邊同乘的是各分母的最小公倍數(shù)，肯定不為0，但是分式方程去分母時(shí)，我們兩邊同乘的是最簡(jiǎn)公分母，我們事先不知道它的值是否為0。萬一它正好是0，那么我們這么做就違反了等式性質(zhì)的要求。

師：沒錯(cuò)，從具體的數(shù)到一般的式子，我們要考慮得更為嚴(yán)謹(jǐn)一些。因此，對(duì)于分式方程，我們有必要對(duì)所得的x的值進(jìn)行檢驗(yàn)。這個(gè)x的值最基本的條件是先要保證分式方程有意義，也就是保證最簡(jiǎn)公分母是不為0的，其次它還應(yīng)保證方程兩邊的值相等，哪一點(diǎn)是與解整式方程最大的區(qū)別？

生6：要保證原方程有意義是以前不用考慮的。

師：對(duì)，所以為了突顯這一區(qū)別，在解分式方程過程中，我們應(yīng)把它呈現(xiàn)出來。

（教師板書解分式方程[1x-5]=[10x2-25]的過程：

兩邊同乘（x+5）（x-5）得：x+5=10

解得：x=5

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，（x+5）（x-5）=0，

所以x=5不是原分式方程的解，

原分式方程無解）

【設(shè)計(jì)意圖】

筆者在本環(huán)節(jié)的第一個(gè)問題是：“在解決這道分式方程的過程中你是否遇到了困難？”提出這樣一個(gè)問題，是因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的快樂與否對(duì)學(xué)生來說比分?jǐn)?shù)更重要，所以教師要及時(shí)關(guān)注和關(guān)心學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的情感體驗(yàn)，給予學(xué)生充分的關(guān)懷和安全感，讓他們敢于在課堂上說出自己的困惑，教師既能夠及時(shí)了解學(xué)情，又能引導(dǎo)其他學(xué)生打開進(jìn)一步探索的思路。“為什么我們經(jīng)歷了相同的步驟解得x的值，在方程1中，整式方程的解是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？”“為什么在整式方程中，沒有出現(xiàn)過無解的情況呢？”這兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩道分式方程以及對(duì)比分式方程與整式方程的求解步驟，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致分式方程出現(xiàn)有解和無解兩種情況的原因，并且理解在解分式方程的步驟中添加“檢驗(yàn)”這一步的重要性和必要性。學(xué)生通過對(duì)比找出差異，有助于進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)的理解。在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)容易混淆時(shí)，或當(dāng)新學(xué)的概念、方法與以往的概念、方法類似時(shí)，或當(dāng)數(shù)學(xué)概念之間存在互逆關(guān)系時(shí)，教師可采用對(duì)比教學(xué)法。

（三）練習(xí)與總結(jié)，鞏固新知

師：下面，請(qǐng)同學(xué)們完成練習(xí)。（出示練習(xí)題：解方程[xx+1=2x3x+3+1]）

（學(xué)生完成練習(xí)，教師與學(xué)生歸納解分式方程常見的錯(cuò)誤：①去分母時(shí)，漏乘原方程的整式部分；②約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，沒有注意添括號(hào)；③漏檢驗(yàn)）

師：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你掌握了哪些知識(shí)？在學(xué)習(xí)新知的過程中你體會(huì)到了哪種重要的數(shù)學(xué)思想？

生1：我認(rèn)識(shí)了分式方程，還學(xué)會(huì)怎樣解分式方程。

生2：我覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要非常嚴(yán)謹(jǐn)，注意討論字母的值，遇到字母要能夠類比學(xué)習(xí)數(shù)字時(shí)的方法，不要害怕。

生3：我掌握了解分式方程的一般步驟，必須要檢驗(yàn)，因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)無解的情況，這點(diǎn)和解整式方程是不同的。

師：謝謝你們的分享！我們?cè)诒竟?jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)——分式方程的定義、分式方程的解法，三個(gè)基本步驟——去分母、解整式方程、檢驗(yàn)，常用的思想有化歸，即將未知轉(zhuǎn)化為已知，還有類比舊知的思路、方法學(xué)習(xí)新知。

【設(shè)計(jì)意圖】

學(xué)生通過做題、歸納易錯(cuò)點(diǎn)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，也解決了本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)。

“在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你掌握了哪些知識(shí)？”“在學(xué)習(xí)新知的過程中你體會(huì)到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想？”這兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行回顧、反思，從學(xué)生的小結(jié)情況可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生能夠說出本節(jié)課的重要知識(shí)點(diǎn)：分式方程的定義、去分母的方法、解分式方程的一般步驟、檢驗(yàn)的必要性等，也能說出本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想：類比一元一次方程的解法學(xué)習(xí)分式方程解法，把未知的分式方程化歸為已知的一元一次方程來解決。對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)習(xí)思想進(jìn)行整理性小結(jié)，學(xué)生有了更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)養(yǎng)成及時(shí)小結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

六、教學(xué)反思

在本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)，筆者將課本的輪船航行問題改編成飛機(jī)的飛行問題，以建軍90周年的大閱兵為背景，自然引出本節(jié)課的問題，有效地吸引了學(xué)生的注意力，同時(shí)滲透了強(qiáng)軍強(qiáng)國(guó)的愛國(guó)主義教育。接著，將所得的方程與之前的一元一次方程、二元一次方程進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生明確新方程與整式方程的最大區(qū)別為：分母含有未知數(shù)，順勢(shì)得出分式方程的概念，教學(xué)效果不錯(cuò)。

在學(xué)生掌握分式方程的定義后，接下來著重學(xué)習(xí)它的解法。在展開探究活動(dòng)前，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的相關(guān)解法，意在啟發(fā)學(xué)生通過類比一元一次方程去分母的過程來求解分式方程。筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠想到“去分母”，但是對(duì)“如何去分母”存在困難，不能類比尋找最小公倍數(shù)的方法聯(lián)想到尋找最簡(jiǎn)公分母，再根據(jù)等式性質(zhì)實(shí)現(xiàn)去分母；部分學(xué)生會(huì)運(yùn)用小學(xué)知識(shí)“交叉相乘”實(shí)現(xiàn)去分母；部分學(xué)生運(yùn)用近期所學(xué)的分式的通分將分式方程兩邊進(jìn)行通分，再根據(jù)等式左右兩邊的值不變，實(shí)現(xiàn)去分母。針對(duì)學(xué)生存在的困難，筆者認(rèn)為可以通過以下途徑突破難點(diǎn)：（1）復(fù)習(xí)一元一次方程時(shí)，強(qiáng)調(diào)去分母的方法和依據(jù)；（2）針對(duì)“交叉相乘”“通分”的去分母方法進(jìn)行追問：為什么能這么做？其依據(jù)是什么？使學(xué)生明白它們歸根結(jié)底就是通過等式的性質(zhì)——等式兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母而實(shí)現(xiàn)的；（3）對(duì)比最小公倍數(shù)和最簡(jiǎn)公分母兩個(gè)概念，讓學(xué)生理解從數(shù)到式在運(yùn)算中的區(qū)別與聯(lián)系；（4）設(shè)計(jì)一組練習(xí)，鞏固去分母。

學(xué)生在學(xué)習(xí)整式方程過程中，已經(jīng)形成了一種定式思維：方程都是有解的。所以對(duì)于分式方程無解的情況，他們?cè)谒枷肷虾茈y接受，進(jìn)而就不能理解“檢驗(yàn)”這一步的必要性。第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)要達(dá)到的教學(xué)目的有兩個(gè)：（1）明白分式方程為什么無解；（2）理解分式方程檢驗(yàn)的必要性以及掌握分式方程檢驗(yàn)的方法。怎樣才能激發(fā)學(xué)生對(duì)“無解”的好奇和深思，怎樣才能讓學(xué)生透徹理解“檢驗(yàn)”必要性？筆者認(rèn)為，通過直觀的“對(duì)比”效果會(huì)比較好。因此，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)對(duì)比。

對(duì)比1：“對(duì)比方程2和方程1”，為什么經(jīng)歷同樣的解題步驟，方程1中整式方程的根是分式方程的根，而方程2中整式方程的根卻不是分式方程的根？請(qǐng)談?wù)勀愕目捶ā?/p>

對(duì)比2：“為什么分式方程可能有解可能無解，但是整式方程卻總是有解呢？你能說明其中的原因嗎？”兩次對(duì)比之后，從學(xué)生的課堂反應(yīng)看出，絕大多數(shù)學(xué)生能夠明白：方程兩邊所乘的最簡(jiǎn)公分母的值是否為0影響了解的情況；整式方程兩邊同乘的是具體的不為0的數(shù)，所以總是有解。抓住解的情況不同，筆者順勢(shì)追問：“既然分式方程可能有解、可能無解，那么我們?nèi)绾悟?yàn)證x=a是否為分式方程的解呢？”（學(xué)生的方法主要分為兩種，第一種是沿用以前的檢驗(yàn)方式，把x=a分別代入方程左右兩邊進(jìn)行計(jì)算，看左邊是否等于右邊；第二種是把x=a代入最簡(jiǎn)公分母，觀察最簡(jiǎn)公分母的值是否為0）

對(duì)比3：比較兩種檢驗(yàn)方法，你認(rèn)為哪種更適合分式方程？為什么？

至此，本環(huán)節(jié)的教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成，在此基礎(chǔ)上規(guī)范和完善練習(xí)2的解題過程，并讓學(xué)生由此歸納出解分式方程的一般步驟。

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，筆者以兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課進(jìn)行知識(shí)和方法兩個(gè)方面的回顧反思：

1.在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你掌握了哪些知識(shí)？學(xué)會(huì)了哪些學(xué)習(xí)方法？

2.在學(xué)習(xí)新知的過程中你體會(huì)到了哪種重要的數(shù)學(xué)思想？

筆者觀察學(xué)生的小結(jié)情況發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生能夠說出本節(jié)課的重要知識(shí)點(diǎn)：分式方程的定義、去分母的方法、解分式方程的一般步驟、檢驗(yàn)的必要性等，也能說出本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想：類比一元一次方程的解法學(xué)習(xí)分式方程解法，把未知的分式方程化歸為已知的一元一次方程。

【評(píng)析】

（一）重視知識(shí)的切入點(diǎn)，使學(xué)生明確“學(xué)什么、怎么學(xué)”

本節(jié)課以建軍90周年的大閱兵為背景引出問題，讓學(xué)生回顧一元一次方程、二元一次方程的解法，激活學(xué)生的原有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生類比研究一元一次方程的方法來研究分式方程，使學(xué)生明確本節(jié)課“學(xué)什么、怎么學(xué)”，讓學(xué)生有法可循而不至于無從下手，為探究環(huán)節(jié)的教學(xué)鋪墊。這一開門見山的設(shè)計(jì)，準(zhǔn)確地抓住了本節(jié)課的切入點(diǎn)。

（二）重視讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生“好學(xué)、學(xué)好”

數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)是思考，數(shù)學(xué)是思維的體操。在教學(xué)過程中，梁老師始終注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，重視讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，在如何解分式方程這個(gè)問題上，梁老師只引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)方程的相關(guān)解法，相當(dāng)于給了學(xué)生一個(gè)方向，接下來怎么走到終點(diǎn)，就得靠學(xué)生想辦法。學(xué)生通過自主探究、合作學(xué)習(xí)來主動(dòng)發(fā)現(xiàn)結(jié)論，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的全過程，獲得基礎(chǔ)知識(shí)，基本能力也得到培養(yǎng)，主體作用得到了充分的發(fā)揮。課堂驚喜不斷，有師生真實(shí)的、充滿情感的、智慧的互動(dòng)。這樣的教學(xué)實(shí)踐取得了良好的教學(xué)效果，梁老師不僅教給學(xué)生知識(shí)，更注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。這充分體現(xiàn)了“教師在課堂上應(yīng)成為智慧的指路人”這一新課標(biāo)理念。

（三）重視教學(xué)設(shè)計(jì)的環(huán)環(huán)相扣，誘學(xué)生“步步深入”

縱觀整個(gè)教學(xué)過程，梁老師找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，以解決情境中的問題、尋求方法為主線，層層設(shè)疑，環(huán)環(huán)相扣，誘學(xué)生“步步深入”，讓學(xué)生逐步完成對(duì)知識(shí)的理解和深化。課堂設(shè)計(jì)的兩個(gè)探究活動(dòng)，給學(xué)生提供了很大的探究空間，學(xué)生探究興趣盎然，思維得以展現(xiàn)，探究效果顯著，是“真探究”。學(xué)生在“觀察”“思考”“計(jì)算”中體驗(yàn)、經(jīng)歷、感受，形成積極的、生動(dòng)的、自主合作的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在實(shí)踐的過程中付出了自己的努力，體會(huì)到成功的快樂。

（四）重視方法總結(jié)，提升學(xué)生思維品質(zhì)

教學(xué)中，梁老師引導(dǎo)學(xué)生探求解題思路與解題本身存在的規(guī)律、反思解題中所犯的錯(cuò)誤，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”進(jìn)行方法總結(jié)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，學(xué)生能運(yùn)用通法舉一反三，以不變應(yīng)萬變。（秦健）

（責(zé)編 劉小瑗）