自選數值有文章 取值范圍記心上

李長春

分式的化簡和求值歷來是中考必考知識點.近幾年各地中考中頻繁出現一類開放性分式化簡求值試題，這類題型一般要求將給定的分式先化簡，然后選取一個你認為合適的數作為相關字母的值，代入求值.命題者往往喜愛在自選“合適的數”上大做文章，設置陷阱.解答這類問題時，同學們往往容易疏忽“分式的分母不能為零”這一個隱含條件，所選數值有時恰好使原分式的分母為零或使化簡過程中的分式分母為零，從而出錯.下面從2017 年中考數學試卷中采擷幾道相關試題，結合口訣“自選數值有文章，取值范圍記心上”進行分析，供大家參考.

一、在給定的幾個數值中選取合適的數

【例1】（2017·邵陽）先化簡[x2x+3·x2-9x2-2x][+xx-2]，再在-3，-1，0，[2]，2中選一個適合的x值代入求值.

【分析】根據分式的乘法和加法運算法則，先將式子進行化簡，得到最簡結果后，再從所提供的x的值中選取合適的數代入求值.要注意選擇雖多，但并不是每一個都可以！要根據題意確定x的取值范圍，即要使原式和計算過程中的所有分式的分母均不為零.

【解】原式=[x2x+3·x+3x-3xx-2+xx-2]

=[xx-3x-2+xx-2=x2-3x+xx-2=x2-2xx-2=xx-2x-2]

[=x]，因為當x=-3、0或2時，原分式無意義，所以合適的x的值為-1或[2].所以，當x=-1時，原式=-1，或當x=[2]時，原式=[2].

【點評】在提供的5個數中選一個適合的x值，看似自由，實有“分式的分母不為零”的限制，最后可以選取的只有兩個.同學們稍不留神就會掉進陷阱.

二、在給定的范圍內選取合適的數

【例2】（2017·威海）先化簡[x2-2x+1x2-1][÷x-1x+1-x+1]，然后從[-5]

【分析】根據分式的加、減法和除法法則可以化簡原式，然后在[-5]

【解】原式=[x-12x+1x-1÷x-1-x-1x+1x+1]

=[x-1x+1×x+1x-1-x2+1=-1x]，

因為分式有意義時，x+1≠0，x-1≠0，x≠0，所以x≠-1，x≠1，x≠0，又因為[-5]

當x=-2時，原式=[-1-2=12]；當x=2時，原式=[-12] .

【點評】本題考查因式分解、分式的化簡求值、分式有意義的條件和估算無理數的大小.解答本題容易疏忽“分式的分母不能為零”這一隱含條件，應注意所選的x的值必須使得原分式有意義.

三、在給定的不等式組解集中選取合適的數

【例3】（2017·鄂州）先化簡，再求值：[x-1+3-3xx+1÷x2-xx+1]，其中x的值從不等式組[2-x≤3，2x-4<1]的整數解中選取.

【解】原式[=x2-1x+1+3-3xx+1÷xx-1x+1]

[=x2-3x+2x+1×x+1xx-1=x-1x-2x+1×x+1xx-1]

[=x-2x].解不等式組[2-x≤3，2x-4<1，]得：-1≤x<[52]，所以不等式組的整數解為-1、0、1、2.又因為分式有意義時，x+1≠0，x-1≠0，x≠0，所以x≠±1、0，從而x=2.當x=2時，原式=0.

【點評】本題主要考查分式的化簡求值及解一元一次不等式組的能力，熟練掌握分式的混合運算順序和法則是解題的關鍵.

四、在給定的方程的解中選取合適的數

【例4】（2017·安順）先化簡，再求值：[x-1÷2x+1-1]，其中x為方程x2+3x+2=0的根.

【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，然后求出方程x2+3x+2=0的根為-1和-2，特別要注意的是當x=-1時，分式[2x+1]無意義，所以x=-1必須舍去.

【解】原式=[x-1][÷2-x-1x+1=x-1÷1-xx+1]

=[x-1×x+11-x=-x-1]

解方程x2+3x+2=0，得x1=-1，x2=-2.

當x=-1時，分式[2x+1]無意義，所以x=-1舍去；

當x=-2時，原式=-（-2）-1=1.

【點評】本題主要考查分式的化簡求值及解一元二次方程的能力.倘若擔心化簡出錯，可以將x=-2代入原式直接計算，進行驗證，但答卷上必須先化簡，再求值.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）