正確區分增根、無解、有解

丁霞

解分式方程通常是在分式方程兩邊同時乘最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程.有時由于x的取值范圍發生變化，得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解，這種在解題過程中增加的解稱為分式方程的增根.本文以一個含有字母系數的分式方程為例，幫助同學們正確理解、區分“增根、無解、有解”的問題.

一、會產生增根

【例1】當k為何值時，關于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]會產生增根？

【分析】分式方程要產生增根，最簡公分母必須為零，即x=2或x=-2.因此可通過x=2或x=-2來討論k的取值問題.

【解】去分母得：2（x+2）+kx=3（x-2）.

化簡整理得：（1-k）x=10.

若方程產生增根，則增根為x=2或x=-2.

將x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4.將x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6.故當k=-4或k=6時，原方程會產生增根.

【點評】利用增根的定義求解的問題是較為重要的題型，解決的方法是：（1）將分式方程去分母轉化為整式方程；（2）讓最簡公分母為零，確定增根；（3）將增根代入轉化后的整式方程，解之就可得到欲求的待定系數的值.

二、不會產生增根

【例2】當k為何值時，關于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]不會產生增根？

【分析】“不會產生增根”是“會產生增根”的對立面，由此我們可以先求出分式方程產生增根時k的值，然后把這些值一一排除，即可得到分式方程不會產生增根時k的值.

【解】同例1，得到當k=-4或k=6時，原方程會產生增根.故當k≠-4且k≠6時，原方程不會產生增根.

【點評】當k=-4時，分式方程產生增根x=2；當k=6時，分式方程產生增根x=-2，故當k≠-4且k≠6時，原方程不會產生增根.這里需要注意的是：連接詞用“且”，不能用“或”，也就是k≠-4、k≠6必須都滿足時，分式方程才不會產生增根.

三、無解

【例3】當k為何值時，關于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]無解？

【分析】將分式方程去分母轉化為整式方程，整式方程無解則原方程無解；整式方程雖有解，但這個解使最簡公分母為零，是增根，則原方程也無解.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

當k=1時，得：0·x=10，該方程無解，從而原方程也無解.當原方程有增根時，原方程也無解.若原方程產生增根，則增根為x=2或x=-2.

將x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4，即當k=-4時，原方程會產生增根x=2，無解；將x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6，即當k=6時，原方程會產生增根x=-2，無解.

綜上所述：當k=1或k=-4或k=6時，原方程無解.

【點評】分式方程無解不僅僅是由于有增根，也有可能是由于轉化得到的整式方程本身就無解.因此，大家考慮問題要全面.

四、有解

【例4】當k為何值時，關于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]有解？

【分析】分式方程有解，說明去分母后得到的整式方程不但有解，而且它的解一定不是增根.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

因為方程有解，且這個解不是增根，所以，（1）k≠1；（2）x≠2，即k≠-4；（3）x≠-2，即k≠6.綜上所述：當k≠1且k≠-4且k≠6時，原方程有解.

【點評】無解的反面即為有解.

五、解為正數（負數）

【例5】當k為何值時，關于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]的解是正數？

【分析】先去分母將分式方程轉化為整式方程，再對得到的整式方程進行討論.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

因為解是正數，從而有x>0且x≠2.則[1-k>0，1-k≠5，]解之得：k<1且k[≠]-4.綜上所述：當k<1且k[≠]-4時，原方程的解是正數.

【點評】解含有字母系數的分式方程，通常是去分母，將分式方程轉化為整式方程，把未知數用含字母系數的代數式表示，然后根據條件列不等式.需要注意的是解為正數（負數），意味著方程一定有解，因此要排除增根！

分式方程的增根不是原方程的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根，利用這一點可以解決有關增根的問題.

同類訓練：

1. 當k為何值時，關于x的方程[kx2-1]=[2x+1+51-x]會產生增根？

2.當k為何值時，關于x的方程[3x+6x-1]=[x+kxx-1]不會產生增根？

3. 當k為何值時，關于x的方程[kxx-2]=[4x-2+1]無解？

4.當k為何值時，關于x的方程[6x-1=][x+3xx-1-kx]有解？

5.當k為何值時（k的范圍），關于x的方程[3x+k2x+1=2]的解是負數？

參考答案：

1.當k=-4或k=-10時，原方程會產生增根.

2.當k≠-3且k≠5時，原方程不會產生增根.

3.當k=1或k=2時，原方程無解.

4.當k≠-5且k≠-3時，原方程有解.

5.當k<2且k≠[32]時，原方程的解是負數.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）